Построение волнистой линии через Кривые Безье

Доброе время суток, хабровчане. Сегодня я хочу рассказать вам про рисование симметричной волнистой линии при помощи Кривых Безье, используя только 2 точки.

Предисловие

При создании CAD-систем, часто возникает необходимость рисования не просто прямых линий, а волнистых или ломаных. Так как в обоих случаях линия симметрична относительно прямой, проходящей через начальную и конечные точки, то необходимо вычислить точки, лежащие на параллельных главной прямых. О том, как это сделать, пойдет речь ниже.

Немного математики

Рассмотрим небольшой отрезок. Кривая Безье для этого отрезка должна отдаленно напоминать синусоиду. Хотя и не будет являться ей.
Пусть А — начальная точка, а B — конечная.

Точка C — середина отрезка АB

Точки D и E — середины отрезков AC и CB соответственно


Теперь необходимо получить точки D' и E'. У этих точек одно свойство — они принадлежат отрезкам, которые параллельны AB, но находятся на расстоянии от него.
Рассмотрим вектор . Необходимо найти два вектора, которые перпендикулярны вектору .



Это обыкновенное линейное уравнение с двумя переменными, которое, как известно, имеет бесконечное множество решений.
Для нахождения первого решения примем за параметр, влияющий на длину вектора.
Тогда координаты первого вектора будут равны:

Второй перпендикулярный вектор вычисляется на основе первого.

Для получения координат точек D' и E', необходимо прибавить к координатам точки D координаты вектора , а к координатам точки E — координаты вектора .
Зная координаты точек A, D', E' и B, можно построить зигзаг или кривую Безье.

Немножко программирования

Нарисуем кривую Безье при помощи технологии GDI+ с использованием Windows Forms.
Для начала, опишем класс Vector2

public class Vector2
{
  public int X,Y //координаты вектора
  //конструктор
  public Vector2(int x,  int y)
  {
     X=x; 
     Y=y;
  }
}

Так же объявим пару переменных для хранения параметров

 int x0,y0;//координаты первой точки
 int x1,y1;//координаты второй точки
 int amplitude;//параметр a

 Pen pen = new Pen(new SolidBrush(Color.Black)); //кисть для рисования простой линии
  Pen pen2 = new Pen(new SolidBrush(Color.Red));//кисть для рисования кривой.

Теперь напишем код для рисования.

 public void Draw(Graphics g)
 {
            
            g.SmoothingMode = SmoothingMode.HighQuality; //включаем Anti-Aliasing
            // координаты стартовой точки
            Point mainStart = new Point(x0, y0);
            // координаты конечной точки
            Point mainEnd = new Point(x1, y1);
            //С - середина отрезка AB
            Point mainCenter0 = new Point((mainStart.X + mainEnd.X) / 2, (mainStart.Y + mainEnd.Y) / 2);
            //D- середина отрезка AС
            Point mainCenter1 = new Point((mainStart.X + mainCenter0.X) / 2, (mainStart.Y + mainCenter0.Y) / 2);
            //E- середина отрезка СB
            Point mainCenter2 = new Point((mainCenter0.X + mainEnd.X) / 2, (mainCenter0.Y + mainEnd.Y) / 2);
            //Вектор AB
            Vector2 lineVector = new Vector2(mainEnd.X - mainStart.X,  mainEnd.Y - mainStart.Y );
            //вектор a1
            Vector2 orthoVector1 = new Vector2( amplitude,  -lineVector.X * amplitude / lineVector.Y );
            //вектор a2
            Vector2 orthoVector2 = new Vector2(-orthoVector1.X, -orthoVector1.Y);

            //очищаем экран
            g.Clear(Color.White);
             
            //транслируем точку D в точку D'
            mainCenter1.Offset(orthoVector1.x, orthoVector1.y);
             
            //транслируем точку E в точку E'
            mainCenter2.Offset(orthoVector2.x, orthoVector2.y);
            
            //рисуем кривую Безье
            g.DrawBezier(pen2, mainStart, mainCenter1, mainCenter2, mainEnd);
            //рисуем простую линию
            g.DrawLine(pen, mainStart, mainEnd);
}

Теперь осталось вызвать этот метод для вашего объекта Graphics.

В результате работы метода должно получиться что-то подобное:


А теперь изменим параметр «Амплитуда» (он же параметр a). Получаем другой результат:


Очевидно, что данный параметр довольно сильно влияет на саму кривую Безье, напоминая силу натяжения нити или амплитуду синусоиды.

Чтобы поставить кривую в зависимость от амплитуды, можно перед вычислением нормализовать вектор , а потом умножить его на скаляр — на амплитуду.
Тогда длина перпендикулярных векторов равна амплитуде.

Всем спасибо за внимание.