Как обновить ядро linux сразу после установки, не перегружая систему?

Загрузиться без иксов. Установить все, что надо, обновиться. И ОК.
В арче, кстати, ядро 3.4.4.

Kexec.

sudo apt-get install имяпакета, как и везде в дебиан.
ну или sudo apt-get update && sudo apt-get dist-upgrade, чтобы уже всё одним махом и в sudo reboot,
если не поднимется с текущим ядром, можно выбрать по грую меню (esc клавиша) safe mode или предыдущее ядро

Собственно главное поднять сеть, насколько я помню, уже в 11 версии оно пыталось сразу ставить самые свежие версии пакетов из сети

Смонтируйте установленную систему в /mount/чтототам и чрутнитесь в неё.

Нужно положить новое ядро в /boot и прописать его в загрузчике. Если загрузчик — grub, то там есть кнопочка e, с помощью которой можно отредактировать параметры загрузки, в том числе и путь к ядру.
Обычно ядра так собраны, что им ещё нужен соответствующий initrd.img, так что его тоже не забудьте. Скачать можно через инет, репозитории все доступны из браузера.

Это было на случай, если система не грузится вообще, а очень хочется.

Если же система таки грузится хоть немного, например, в режиме Super (Single?) User, когда дают голую консоль — то можно попытаться обновить ядро через менеджер пакетов.

kexec