Как запускать скрипт при попытке подключения к SSH-серверу?

Если же надо мониторить даже попытки коннекта к ssh-порту,
то в правила файрвола, до строки разрешающей коннект к порту ssh, надо добавить примерно следующее:
-A INPUT -p tcp --dport 22 -j LOG --log-prefix "SSH Login request: "
А мониторить лог уже на предмет «SSH Login request: », в этой строке будет и откуда была попытка подключения.

Вы все-таки, определите задачу. А то Вы спросили о возможности реализации своего замысла, без определения задачи. Возможно Вам совсем и не надо, чтоб скрипт запускался по сигналу от ssh.
Как вариант, поменять шел для юзера, но тогда и при попытке входа локально, скрипт будет отрабатывать.
Ждем пояснений конкретной цели.

Немного поправил строку в файрволе, правильнее так:
-A INPUT -p tcp -m state --state NEW --dport 22 -j LOG --log-prefix "SSH Login request: "

Большое спасибо за такой подробный ответ!