В этой публикации началось рассмотрение интересной задачки — отношения соседних чисел в обобщенном ряду Фибоначчи (в котором каждый следующий член оказывается равен сумме $inline$k$inline$ предыдущих.
К сожалению, задачка не была доведена до логического окончания, и брошена при неполном ответе для случаев 3 и 4.
Просто чтобы закрыть тему, рассмотрим ряд, образованный рекуррентным соотношением
$$display$$f_n= \sum_{i=n-k-1}^{n-1}f_i$$display$$
Нас интересует предельное значение отношения $inline$\frac{f_n}{f_{n-1}}$inline$, которое можно получить следующим образом:
$$display$$\frac{f_n}{f_{n-1}}=\frac{\sum_{i=n-k-1}^{n-1}f_i}{f_{n-1}}=\frac{f_{n-1}+\sum_{i=n-k-1}^{n-2}f_i-f_{n-k-2}}{f_{n-1}}=\frac{2\cdot f_{n-1}-f_{n-k-2}}{f_{n-1}}=2-\frac{f_{n-k-2}}{f_{n-1}}$$display$$
Обозначая отношение соседних членов ряда как $inline$x=\frac{f_n}{f_{n-1}}$inline$, получаем:
$$display$$x=2-\frac{1}{x^k}$$display$$
Нетрудно убедиться, что уравнение для $inline$k=2$inline$ имеет тот же корень, что и классическое уравнение $inline$x^2-x-1=0$inline$.
Практически очевидно, что для больших значений $inline$k$inline$ предельное значение отношения соседних членов равно 2, а в предельном случае $inline$k=1$inline$ оно просто равно 1 (каждый следующий член равен предыдущему).
Уравнение
$$display$$x=2-\frac{1}{x^k}$$display$$
легко решается обычным методом итераций; вот несколько перввых его решений:
К сожалению, задачка не была доведена до логического окончания, и брошена при неполном ответе для случаев 3 и 4.
Просто чтобы закрыть тему, рассмотрим ряд, образованный рекуррентным соотношением
$$display$$f_n= \sum_{i=n-k-1}^{n-1}f_i$$display$$
Нас интересует предельное значение отношения $inline$\frac{f_n}{f_{n-1}}$inline$, которое можно получить следующим образом:
$$display$$\frac{f_n}{f_{n-1}}=\frac{\sum_{i=n-k-1}^{n-1}f_i}{f_{n-1}}=\frac{f_{n-1}+\sum_{i=n-k-1}^{n-2}f_i-f_{n-k-2}}{f_{n-1}}=\frac{2\cdot f_{n-1}-f_{n-k-2}}{f_{n-1}}=2-\frac{f_{n-k-2}}{f_{n-1}}$$display$$
Обозначая отношение соседних членов ряда как $inline$x=\frac{f_n}{f_{n-1}}$inline$, получаем:
$$display$$x=2-\frac{1}{x^k}$$display$$
Нетрудно убедиться, что уравнение для $inline$k=2$inline$ имеет тот же корень, что и классическое уравнение $inline$x^2-x-1=0$inline$.
Практически очевидно, что для больших значений $inline$k$inline$ предельное значение отношения соседних членов равно 2, а в предельном случае $inline$k=1$inline$ оно просто равно 1 (каждый следующий член равен предыдущему).
Уравнение
$$display$$x=2-\frac{1}{x^k}$$display$$
легко решается обычным методом итераций; вот несколько перввых его решений:
1 1.00000
2 1.61803
3 1.83929
4 1.92756
5 1.96595
6 1.98358
7 1.99196
8 1.99603
9 1.99803