Фракталы
или красота математики своими глазами
Если взять простую числовую последовательность комплексных чисел
Z(i+1) = Z(i)^2 + C
то видно, что она должна расти. Бенуа Мандельброт задался вопросом — с какой скоростью растет эта последовательность в зависимости от начальной величины С?
Все это звучит очень скучно, не правда ли? До тех пор, пока мы не зададим цвет: чем быстрее растет эта последовательность, тем пусть ярче будет цвет точки, определяемой координатами точки С на плоскости. Получается вот такой график:
Это уже интереснее, чем просто формула! Если вместо простой яркости точки цвет определить каким-нибудь цветным градиентом, то получится еще красивее:
Ну что, мы посмотрели на забавный цветной график простенькой формулы. В принципе, тут можно было бы и закончить, но давайте полюбопытствуем: что там за красные завитушки на границе черного и желтого цвета? Приблизим картинку:
Еще ближе:
Мы видим, что на граничных значениях график формулы имеет очень интересный вид. Немного усложним формулу, чтобы разнообразить ее поведение на стабильных участках:
Посмотрим, как ведет себя формула на других участках плоскости, перемещаясь по плоскости и масштабируя график:
Попробуем для разнообразия другие цвета и другие участки:
Как мы видим, простая формула расцветает всеми цветами и удивительными узорами — достаточно просто перемещаться по плоскости и погружаться все глубже и глубже внутрь узора. Такие рекурсивные узоры называются фракталами.
Формула такая не единственная — например, фрактал множества Жюлиа зависит уже от двух коэффициентов и может выглядеть, например, так:
Я постарался вкратце рассказать вам о том, что мне интересно — о фракталах. Как говорится, лучше один раз увидеть, чем сто раз услышать. Свою первую программу с фракталами я написал в середине 1980-х годов, работала она долго и пользоваться ей было сложно — нужно было вводить координаты и масштаб вручную. Времена меняются, и с появлением планшетов исследовать красоты фракталов стало проще простого — одно движение пальцев, и перед тобой открывается новый мир!
P.S. Представленные изображения фракталов получены в моей собственной программе Magic Fractals, написанной для iOS.