Намедни был написан пост, в котором предлагалось попытаться найти выигрышную стратегию для интересной лотереи, в которой игрок в каждом коне игры может сам указывать свой шанс на победу, а в случае выигрыша устроитель лотереи берёт себе скромные 5%. Пусть его будут звать Геннадий Обмануев.
Как же возможно выиграть у Геннадия в казалось бы заведомо проигрышную игру?
1. Каждый кон мы будем ставить фиксированную ставку в 1 рубль.
2. Мы будем играть 10 000 конов, и потому возьмём наш стартовый капитал равным 10 000 рублей, чтобы в худшем случае мы не остались должны Геннадию и ушли от него просто с пустыми карманами.
3. Мы договариваемся с Геннадием о том, что раз уж мы сыграем много конов, то не удобно каждый раз когда мы выигрываем откуда-то брать 5 копеек, а потому мы платим ему его комиссию по результатам нескольких конов, благо деньги у нас есть. Это условие упростит понимание нашей стратегии игры.
Поскольку мы имеем возможность выбирать, с какой вероятностью выигрыша мы будем играть следующий кон, то действовать всякий раз будем так:
1. Подбрасываем обыкновенную монетку
2. Если выпадает орёл, то мы назначаем вероятность выигрыша в следующем коне лотереи равную 0.5
3. Если выпадает решка, то мы смотрим на оставшиеся у нас деньги, округляя копейки: если оставшаяся сумма кратна 5, то мы играем следующий кон с вероятностью выигрыша 0.1, если же оставшаяся у нас сумма не кратна 5, то играем кон с вероятностью выигрыша 0.75
4. Играем серию из 200 конов, после чего отдаём Геннадию комиссию за все выигранные нами коны.
Как можно предположить, мы должны бы проигрывать. Действительно, все части нашей стратегии по отдельности должны приводить к проигрышу. Однако, численное моделирование показывает, что мы как правило будем оставаться в выигрыше. Ниже будет дана ссылка на строгое математическое объяснение.
На графике показан прирост нашего капитала по результатам серий из 200 игр каждая, всего 50 серий. В данном случае мы выиграли в результате десяти тысяч игр 692 рубля и 55 копеек.
Параметры стратегии в приведённом мною примере не уникальны и любознательный читатель получит удовольствие, найдя более выигрышное их сочетание.
На примере этой лотереи мы наблюдаем математический парадокс Паррондо в действии. Парадокс заключается в том, что сочетание двух проигрышных игр, сыгранных достаточно много раз, при определенных условиях может быть выигрышным [1]. Это контр-интуитивно потому, что мы привыкли рассматривать такие игры как испытания Бернулли, не связанные друг с другом и упускаем из внимания тот факт, что в нашем случае капитал на который мы играем является фактором, делающим отдельные коны связанными друг с другом.
Парадокс используется как объяснительная модель в разных областях науки, от термодинамических феноменов до лингвистического анализа и новых подходов к сжатию данных [2].
1. S. N. Ethier, J. Lee: Limit theorems for Parrondo's paradox
2. D. Abbot: Developments in Parrondo’s Paradox
Как же возможно выиграть у Геннадия в казалось бы заведомо проигрышную игру?
Введем дополнительные условия:
1. Каждый кон мы будем ставить фиксированную ставку в 1 рубль.
2. Мы будем играть 10 000 конов, и потому возьмём наш стартовый капитал равным 10 000 рублей, чтобы в худшем случае мы не остались должны Геннадию и ушли от него просто с пустыми карманами.
3. Мы договариваемся с Геннадием о том, что раз уж мы сыграем много конов, то не удобно каждый раз когда мы выигрываем откуда-то брать 5 копеек, а потому мы платим ему его комиссию по результатам нескольких конов, благо деньги у нас есть. Это условие упростит понимание нашей стратегии игры.
Как выиграть у Геннадия?
Поскольку мы имеем возможность выбирать, с какой вероятностью выигрыша мы будем играть следующий кон, то действовать всякий раз будем так:
1. Подбрасываем обыкновенную монетку
2. Если выпадает орёл, то мы назначаем вероятность выигрыша в следующем коне лотереи равную 0.5
3. Если выпадает решка, то мы смотрим на оставшиеся у нас деньги, округляя копейки: если оставшаяся сумма кратна 5, то мы играем следующий кон с вероятностью выигрыша 0.1, если же оставшаяся у нас сумма не кратна 5, то играем кон с вероятностью выигрыша 0.75
4. Играем серию из 200 конов, после чего отдаём Геннадию комиссию за все выигранные нами коны.
Каковы будут результаты?
Как можно предположить, мы должны бы проигрывать. Действительно, все части нашей стратегии по отдельности должны приводить к проигрышу. Однако, численное моделирование показывает, что мы как правило будем оставаться в выигрыше. Ниже будет дана ссылка на строгое математическое объяснение.
На графике показан прирост нашего капитала по результатам серий из 200 игр каждая, всего 50 серий. В данном случае мы выиграли в результате десяти тысяч игр 692 рубля и 55 копеек.
Параметры стратегии в приведённом мною примере не уникальны и любознательный читатель получит удовольствие, найдя более выигрышное их сочетание.
Объяснение.
На примере этой лотереи мы наблюдаем математический парадокс Паррондо в действии. Парадокс заключается в том, что сочетание двух проигрышных игр, сыгранных достаточно много раз, при определенных условиях может быть выигрышным [1]. Это контр-интуитивно потому, что мы привыкли рассматривать такие игры как испытания Бернулли, не связанные друг с другом и упускаем из внимания тот факт, что в нашем случае капитал на который мы играем является фактором, делающим отдельные коны связанными друг с другом.
Парадокс используется как объяснительная модель в разных областях науки, от термодинамических феноменов до лингвистического анализа и новых подходов к сжатию данных [2].
1. S. N. Ethier, J. Lee: Limit theorems for Parrondo's paradox
2. D. Abbot: Developments in Parrondo’s Paradox