Задача о двух старушках, которые отправились в путь на рассвете

    Условие задачи из знаменитой книги В.И.Арнольда «Задачи для детей от 5 до 15 лет»:
    Из A в B и из B в A на рассвете (одновременно) вышли навстречу друг другу (по одной дороге) две старушки.Они встретились в полдень, но не остановились, а каждая продолжала идти с той же скоростью, и первая пришла (в B) в 4 часа дня, а вторая (в A) в 9 часов вечера. В котором часу был в этот день рассвет?

    Предлагаю вам послушать (МР3) обсуждение этой задачи на радио «Говорит Москва» (С.Доренко, А.Оношко), и попробовать решить ее, прежде, чем лезть под кат, чтобы сравнить…

    Первый вариант: система уравнений
    Именно так решал ее я, сначала написав систему уравнений типа вот этой (s — это расстояние от А до В, х — время от рассвета до полудня):


    Решить ни ее, ни похожую систему у меня долго не получалось (неизвестных всегда оказывалось на одно больше, чем уравнений, а избавиться от лишней — не выходило). Наконец, написав систему двух уравнений для расстояний АО и ОВ (О — точка встречи в полдень):
    ,
    удалось избавиться от «лишних» неизвестных (скоростей), перемножив левые и правые стороны двух уравнений. В результате, произведение скоростей сократилось, а из оставшегося уравнения t2=36 искомое время легко нашлось:
    12-t=6.

    Надо сказать, что провозился я час или два, а потом, через несколько дней, когда вернулся к задаче, вконец запутался и полез за решением в интернет, где и нашел…

    Второй вариант: пропорция

    Поскольку задача «детская», то и решение имеет вполне детское. Если составить пропорцию длин отрезков пути АО/ОВ с точки зрения первой и второй старушки, то получим:
    ,
    откуда сразу следует уравнение t2=36. (Даже скорости в пропорции не нужны, достаточно понимания того, что отрезки пути пропорциональны времени).

    Таким образом, задачу вполне может решить и ученик начальной школы: это типичная олимпиадная задачка, которые я ненавижу с детства (надо — мне по крайней мере — убить кучу времени, чтобы найти решение). Между тем, задача простая, и, если ее рассматривать с практической точки зрения (получения ответа, а не поиска элегантного решения, которым, несомненно, является вариант 2), в наши дни я бы использовал…

    Третий вариант: быстрое численное решение.
    Я приведу его в виде документа Mathcad:


    Сначала задаются начальные приближения к неизвестным (включая взятое «с потолка» оценочное значение s=20 км). Затем стандартный численный алгоритм ищет решение той самой системы уравнений, которую мы выписали в самом начале, затратив всего пару минут. Здесь s рассматривается, как неизвестная переменная, в результате получающаяся равной начальному приближению 20 км.

    Повторив расчеты для серии различных разумных s, получим, что решение для s остается равным начальному приближению, а искомое время х всегда равно 6 часам. Это весьма строгое решение задачи (поскольку несложно просканировать весь интервал разумных расстояний АВ), которое, признаюсь, мне нравится больше всего, хотя и выглядит немного туповатым.

    В заключение, приведу те же расчеты для s=50 км (и с использованием в расчетах единиц измерения):

    Нерепетитор.ру 21,91
    Компания
    Поделиться публикацией
    AdBlock похитил этот баннер, но баннеры не зубы — отрастут

    Подробнее
    Реклама
    Комментарии 91
    • НЛО прилетело и опубликовало эту надпись здесь
      • –6
        Ну, мне хотелось:
        (1) поделиться интересной задачей (послушайте подкаст — людей цепляет)
        (2) выдвинуть (спорный) тезис о том, что лучше тупо и быстро решить при помощи мат.редактора, чем терять время на поиск элегантного точного решения
        • НЛО прилетело и опубликовало эту надпись здесь
          • +2
            Тупо и быстро за одну минуту в уме решил с помощью элегантного точного решения вместо того, чтобы терять время на возню с мат.редактором. ЧЯДНТ?
            • –4
              Вы молодец. А я вот, хоть и сам математик, не смог даже за час. Из тех, кому я предлагал решить задачу, не решил пропорцией ни один. Речь о том, как помочь таким, как мы.
              • +4
                Я сразу же представил 2 графика изменения координаты от времени обеих старушек, наложенных друг на друга. И там сразу видно 2 треугольника, которые, очевидно, подобны друг другу, откуда и вытекает пропорция.

                Тут вероятно, математики делятся а тех, кто представляет себе картинки, и тех, что быстро фигачит кучу формул.
                • +1
                  Да. Я — геофизик по образованию — представлял себе, как по небу восходит Солнце, а старухи все идут и идут, и их тени сначала уменьшаются к полудню, а потом опять вытягиваются. И именно так, как Вы говорите: решение начал не с графиков, а с формул (и это, наверно, плохо, т.к. сначала надо думать, а потом писать).
                  • 0
                    У меня на треугольники воображения не хватило, я представил себе одномерную картинку. Два отрезка, у них есть длины в метрике одной старушки и в метрике другой. Метрики линейны, значит, отношение одинаково. Наверное, если бы дошёл до формул, получилась бы как раз пропорция.
                  • +2
                    Ну вот я например быстро нафигачил кучу(!) из четырех(!) формул. Решение заняло не более 3 мин.
                    Честно говоря, и это раздражает, все чаще появляются публикации типа "[...]-ские ученые смоделировали на компьютере [......], посмотрите на полученные картинки". При этом совершенно не видна ни точность полученного решения, ни границы устойчивости, ни зависимость от начальных параметров. Когда-то среди западных ученых ходил такой мем: «а русские это делают аналитически», так пусть это мем не умирает. Головой думать надо.
              • +1
                Я просто оставлю это здесь.
                Айзек Азимов «Чувство Cилы»
                www.lib.ru/FOUNDATION/feelpowr.txt
                • –1
                  А я Вам в ответ расскажу быль. Мой русский коллега читал лекции по физике студентам в одной североамериканской стране. И вот, в середине лекции ему понадобилось то ли умножить, то ли разделить два числа, и он сделал это на краю доски в столбик. Это была сенсация! Студенты тут же восхищенно стали спрашивать «Маэстро, что вы сделали там, на краю доски?» и сначала не верили, что это возможно. Остаток лекции был посвящен столбику.
          • 0
            del
            • +5
              Взять мЕньшую скорость = 1 и решить за 2 минуты.
              • –4
                Но это будет формально неправильно, т.к. скорость не равна 1, а зависит от АВ.
                (Хотя примерно так я и решил в варианте 3, только, перебрав скорости от 0 до 10 — вряд ли старушка бежит быстрее).
                • +3
                  Это будет вполне правильно, так как никто не говорит об 1 км/ч. За единицу можно принимать любой отрезок.
                  • –2
                    Согласен. Но только вот мне не очевидно, что, к примеру, и для 1 км, и для 3 км, получится один и тот же ответ.
                    • +5
                      Километры здесь не причем. Пусть скорость одной старушки — 1 попугай в час. Тогда расстояние OB — равно 4 попугая. Скорость второй старушки — 4/t попугая в час. Расстояние OA получается равным 9*4/t попугая. Первая старушка (со скоростью 1 попугай в час) прошла OA за t часов. Имеем 36/t = t.
                      • 0
                        Признаю, Вы абсолютно правы.
                  • +1
                    Скорость (а вернее, её численное значение) зависит, в первую очередь, от единиц измерения. То же касается и любых других величин, например, расстояния.

                    Принять расстояние за единицу означает начать измерять все другие расстояния тем, сколько раз в них укладывается эта выбранная дистанция. Скорость тогда будет измеряться в дистанциях в час.

                    Точно так же можно поступить со временем (километры в период), или с расстоянием и временем одновременно (дистанции в период). А если выбрать эталонное для всех расстояние и назвать его, скажем, километром… и эталонное время и назвать его часом… догадываетесь, что будет?

                    Если же принять за единицу скорость, то именно скорость и будет первичной величиной, а расстояние и время станут через неё выражаться. Подобным образом измеряется потреблённая электроэнергия: мощность (скорость потребления энергии) в киловаттах умножается на время в часах и получаются киловатт-часы (кВт*ч), хотя вообще-то энергия измеряется в джоулях.
                    • +3
                      Принять расстояние за единицу означает начать измерять все другие расстояния тем, сколько раз в них укладывается эта выбранная дистанция

                      Исчерпывающий ответ.

                      В этой задаче существенно, что скорость «медленной» бабуси v2 = 2v1/3. Расстояние между селами? соотвественно, пропорционально скорости v1 при фиксированном времени движения.

                      А бабки это будут, или автобусы, или нерелятевистские звездолёты — это неважно.

                      Задача эта очень «арнольдовская», и в методическом плане бесценна, и вот почему.

                      Главная проблема выпускников школ, с которой сталкиваюсь я в своей практике — дети боятся вводить в решение заранее неизвестный параметр. Вот решали бы мы эту задачу с пришедшими ко мне новичками, и сразу всплыл бы вопрос: «Но мы же не знаем v1 и v2, не знаем s, как мы можем их писать?» То что скосроти выражаются через s а потом s сокращается — да это надо показывать, и не на одном примере, а постоянно вбрасывать в задания необходимость ввода алгебраического параметра при решении. Почему-то в последние годы этому не учат в школе. Хотя сама «идеология» такой дисциплины как «Алгебра» предусматривает твердые навыки работы с «буквенными» величинами.

                      Решать такую задачу численно, а тем более возводить на таком примере здание методики — это абсурд, такой же как подбор Эдисоном материала для нити накаливания электрической лампочки в свое время (были на удачу перепробованы тысячи материалов, включая человеческий волос).

                      Соль и смысл этой задачи как раз в выявлении связи между скоростями (бесконечное множество решений, лежащих на прямой v2 = 2v1/3) и сведение системы к уравнению с одной неизвестной t.

                      P. S.: Ещё один повод пожалеть о том, что такой ученый как Арнодльд ушел от нас безвозвратно…
                    • 0
                      Но это будет формально неправильно, т.к. скорость не равна 1

                      Формально это называется перейти к безразмерной скорости, и данный прием очень распространен в численных методах, для получения общенных результатов в пространстве параметров
                      • –1
                        Да, я полностью признаю, что можно взять s=1 и безразмерную скорость. Хороший метод решения.
                  • +3
                    Затем стандартный численный алгоритм ищет решение той самой системы уравнений, которую мы выписали в самом начале, затратив всего пару минут


                    Пару минут? Mapple 1997 года выпуска аналитически решает за 0.1 сек
                    • –1
                      Спасибо за решение в Maple.
                      Говоря о паре минут, я имел в виду время на набивание и отладку программы. Конечно, любой мат.редактор должен ее решить. Наверняка SMath Studio тоже — я узнал о существовании этой симпатичной русской разработке совсем недавно, когда стал писать сюда про Маткад.
                    • +2
                      первая система из уравнений вполне решается, если с помошью первых двух уравнений выразить сложение скоростей, и заменить им сложение скоростей в третьем уравнениии. путь сокращается и остается только искомое время.
                      • –6
                        я не догадался, спасибо
                      • +2
                        Задача была в яндекс-контрольной чтд.
                        • +7
                          Вот берёте первую систему, которую вы построили, и в первых двух выражениях представляете v1 и v2 через s и x, подставляете в третье и сокращаете s. Всё, дальше решаете обычное квадратное уравнение.

                          Или могли бы сразу принять расстояние за единицу, это ни на что не влияет.

                          В общем, фигнёй какой-то занимаетесь. Надо было в школе математику внимательнее слушать.
                          • –2
                            image легко превращается в систему из 2 уравнений с 2 неизвестными — t и v1/v2
                            • +1
                              Решается легко. Пусть a — прошла первая бабушка до встречи, b — прошла вторая. x и y — их скорости. Тогда a/x = b/y — время прошедшее до встречи (с рассвета до полудня). Также имеем b/x=4 и a/y=9. Перемножая получаем (a*b)/(x*y)=36, но a/x = b/y, поэтому (a/x)^2=36. Значит они встретились через 6 часов. Рассвет в 6 утра.
                              • –1
                                Вы, конечно, тоже правы. Я бы назвал это модификацией 1-го варианта. Т.е. догадаться, как написать такую систему уравнений, чтобы она легко решалась.
                              • 0
                                На самом деле, самое первое уравнение в статье решается очень просто, ибо при выводе t расстояние сократится.
                                Само решение
                                image
                                • –5
                                  Безусловно, Вы правы. Только надо было сначала догадаться сложить два первых уравнения, а потом — разложить v1(t+9)=v1(t+4)+5v1 (Ваша вторая строчка). Это совсем нетривиально.
                                  • 0
                                    Т.к. я строю свою классификацию вариантов решения, я бы выделил Ваше решение в 4-й вариант (давайте я назову его 0-м, чтобы соблюсти очередность):
                                    (0) быстро написать систему уравнений и придумать нетривиальный способ ее решения
                                    (1) немного попотеть и написать такую систему уравнений, чтобы она легко решалась
                                    (2) составить пропорцию — детский «олимпиадный» вариант
                                    (3) быстро написать систему уравнений и отдать электронным мозгам (мат.редактору).
                                    • +2
                                      Нетривиально? Orly? Это изучается в 8 классе на уроках алгебры. Вы всё ещё называете себя математиком?
                                  • +7
                                    Хорошая задачка, я подкину своим ученикам, готовящимся к ЕГЭ, спасибо.

                                    Тем не менее, я непонимаю
                                    это типичная олимпиадная задачка, которые я ненавижу с детства

                                    как можно любить математику, ненавидя сложные задачи?
                                    Между тем, задача простая, и, если ее рассматривать с практической точки зрения (получения ответа, а не поиска элегантного решения, которым, несомненно, является вариант 2), в наши дни я бы использовал…

                                    Вы понимаете в чём дело — в наши дни, как и в любые другие «не наши» дни, у любого инструмента есть своя, вполне определенная область применения. Численные методы — для тех задач, где аналитическое решение нельзя получить, либо его получение сопряжено с трудностями, не оправдываемыми конечной целью. Там где есть возможность получить аналитику, лучше это сделать, так как аналитика — это и упрощение дальнейшей работы, и возможность исследовать решение задачи, с целью выявления практически значимых особенностей.

                                    При обучении же, операции с алгебраическими уравнениями в общем виде приучают человека анализировать, обобщать фундаментальные законы, получать новые результаты и исследовать их. Такой подход нельзя исключать из системы обучения точным наукам.

                                    Подход, декларируемый цитируемой фразой неприемлем с моей точки зрения, как педагога. Извините

                                    • 0
                                      Спасибо за комментарий! «Как учить математике в наши дни?» — тема, которую мне очень хотелось бы инициировать этой статьей. Сейчас есть три тенденции:
                                      (1) все как и в 19-м...20-м веке. «Русское классическое образование».
                                      (2) натаскивание на ЕГЭ (а чтобы поступить в топовый ВУЗ — натаскивание на олимпиадные задачи)
                                      (3) а может быть, надо оглянуться вокруг и понять, что мы живем в 21 веке, мир изменился, и надо вообще учить вообще по-другому? Посмотрите, что делают сейчас финны (а они взяли в свое время лучшее от советского образования) — отход от предметов, обучение по темам…
                                      • +2
                                        Посмотрите, что делают сейчас финны

                                        По поводу того, что делают финны есть тема на GT, в которой я изложил свою точку зрения (в контексте рассматриваемого там вопроса). Второй раз в пучину спора на эту тему не хотелось бы уходить.
                                        а может быть, надо оглянуться вокруг и понять, что мы живем в 21 веке, мир изменился, и надо вообще учить вообще по-другому?

                                        Определенно, менять методики образования надо. Но не надо делать так, как это делается сейчас.

                                        Существенно то, что имеется необходимость учить детей основам применения IT-решений в различныйх областях знаний. Особое занчение тут имеет преподавание дисциплин естественнонаучного цикла.

                                        Однако, надо понимать, что IT-решения — это инструмент, разгружающий руки, но не отключающий голову. Абстрактное мышление, логику, умение анализировать имеющиеся результаты и синтезировать новое знанение невозможно развить, если выбросить на помойку
                                        классическое образование»

                                        которое как раз таки ориентировано на закрепление перечисленных фундаментальных основ.

                                        Чтобы хорошо считать на компьютере в пакете, надо уметь проводить выкладки кардашем на бумаге, иначе за сложностью решаемых задач теряется суть процесса и уходит понимание фундаментальных принципов.
                                    • +8
                                      Коллеги тут предложили интересные варианты:
                                      1. Бабушки двигаются со скоростями близкими к c.
                                      2. А и Б находятся за полярным кругом.
                                      3. А и Б находятся достаточно далеко друг от друга на одной параллели, время рассвета разное.
                                      • +8
                                        Про линейные размеры бабушек ничего не сказано. Так что стоит учесть и квантовые эффекты.
                                      • 0
                                        Я тоже сразу подумал о задаче, когда бабушки пилили после встречи 36 и 16 часов соответственно.
                                        • +1
                                          В книжке Арнольда найдутся задачки по вкусу Вашим коллегам. Навскидку — про охотника и медведя:
                                          Охотник прошел от своей палатки 10 км на юг, повернул на восток, прошел прямо на восток еще 10 км, убил медведя, повернул на север и, пройдя еще 10 км, оказался у
                                          палатки. Какого цвета был медведь и где это все было?

                                          На досуге попробую порешать. По крайней мере, любопытно оценить эффект явления (3).
                                          • +1
                                            Ну это боян с целым множеством решений, находящихся в окрестностях двух точек, одна из которых находится в ареале обитания определённого вида медведей.
                                            Однако в задачнике, начиная примерно с 20-25 номеров становится интересно…
                                            • +1
                                              В доме одна квадратная комната, и на каждой стене по окну. Каждое окно выходит на юг. В одно из окон заглянул медведь. Какого он был цвета?
                                              • 0
                                                Формализма ради, если дом стоит прямо на полюсе, то его окно заметает довольно большой угол дуги (для стороны комнаты 4 м и окна 2 м получится около 30 градусов). Так что, если я стою у края окна перпендикулярно стене, я буду смотреть не точно на юг, а на азимут 165 или 195.

                                                Ситуацию спасла бы идеально круглая комната :)
                                            • +1
                                              Видимо, он вокруг какого-то полюса ходил, если у него из трех перпендикулярных отрезков получилась замкнутая фигура. Соответственно, медведь был белым.
                                              • +1
                                                Серверного.
                                                На южном полюсе медведи не живут. Это ответ на детскую загадку почему белые медведи не едят пингвинов. :)
                                              • +1
                                                разумеется численно?
                                              • 0
                                                Жалко что-то бабушек стало: сначала просто на ногах весь день, потом еще и скорости нечеловеческие приходится развивать, да вдобавок всё это на холоде происходит и в разное время суток. Хотя… если бабушки и вправду всё это могут… тогда наверное пусть они меня жалеют.
                                              • 0
                                                Задача замечательно решается аналитически в той же Математике:

                                                image

                                                image

                                                • 0
                                                  Wolfram alpha тоже неплохо справилась: solve (x+4) v_1=s, (x+9) v_2 = s, x (v_1 + v_2) = s for x.


                                                  UPD: комментарий неактуален (не заметил, что ссылка на изображении в комментарии выше как раз и ведёт на Wolfram Alpha).
                                                • –1
                                                  Спасибо! Именно это я и хотел сказать: можно долго думать, решая уравнение на бумажке. А можно за пару минут написать уравнения и отдать дорешать компьютеру. Что лучше?

                                                  На что делать упор в обучении математике: на (1) понимание (правильно выписать уравнения) или (2) на то, чтобы ломать голову над заковыристым поиском их решения? Заранее скажу, что у меня самого убежденности нет.

                                                  • +1
                                                    Мое скромное мнение — в образовательных целях в математике компьютер нужно использовать только лишь для проверки правильности решения. Т.е. польза таких задач как раз в том, чтобы понять, как оно работает. Считаю, что для математика это должно быть также важно, как для программиста знать устройство компьютера. Когда придет понимание, уже не нужно считать синус pi/4, ведь мы уже знаем, причем тут окружность и уже умеем раскладывать в ряд Тейлора (опять же, понимая зачем)

                                                    Потому я на месте преподавателя ругал бы ученика за решение без понимания. Это как подгонять решение под результат с последней страницы задачника.

                                                    Моя логика решения данной задачи сводится ровно к такой же от пользователя bay73 несколькими комментариями выше ТУТ
                                                    • +1
                                                      В том то и дело, что в данной задаче (да и в математике вообще) «понимание» мало связано со способностью выписать уравнения. Выписывание уравнений — это чисто механическая задача и без понимания смысла не имеющая (так же как и использование компьютера).
                                                      В первую очередь решающий должен понимать что отсутствие каких-либо данных о длинах означает то, что за единицу измерения длины может быть принята любая величина, а в итоговом ответе все длины сократятся. Как только это понять — можно автоматически выписывать решение (причем решать можно алгебраически, геометрически, на пальцах и т.п.)
                                                    • 0
                                                      И таким образом численным решением вы потеряли решение где x с обратным знаком. Пусть в этой конкретной задаче и не важно, но это показывает один из преимуществ решения аналитически, даже в такой простой задаче. Также не видны закономерности между величинами, которые можно получить аналитически (смотрите например на два сообщения выше, решение в Математике).
                                                      • –3
                                                        Во-первых, ничего я не потерял. Я просканировал физически разумные расстояния от 100 метров до 100 км. И получил правильный ответ (корень -6 соответствует отрицательным s). Скорее наоборот, при решении уравнения t2=36 мне надо дополнительно задумываться, какой корень выбрать 6 или -6.

                                                        Но глобально Вы абсолютно правы, численное решение нельзя считать строгим.
                                                        (1) Мы не можем быть уверены в том, что оно единственно (а вдруг, выбрав другие начальные приближения, решение получится другим).
                                                        (2) мы вполне могли пропустить (гипотетически) решение для какой-то малой области s внутри интервала 0.1...100.
                                                        • 0
                                                          Не совсем понял, какая именно часть кода отвечает за «сканирование расстояний»?
                                                          • 0
                                                            В коде — это возможность задания начального приближения. Т.е. строчка s=20 (на первом скриншоте) и s=50 (на втором).

                                                            Несложно оформить зависимость решения от начального приближения s функцией:


                                                            Тогда можно нарисовать график:
                                                            • –1
                                                              Позволю себе заметить, что, при написании статьи, акцент выбран неверно.

                                                              Решение такой простой с точки зрения применяемой математики задачи численным методом выглядит костно и громоздко. По моему убеждению, следовало бы привести условие задачи, показать её аналитическое решение, а освещение численного метода провести в плоскости использования СКА для решения систем нелинейных уравнений, приведя систему из задачи в качестве примера. Тогда было бы оправданно, красиво и серьезно.

                                                              А так получается что? «В свете бурного развития вычислительной техники, проще решить численно чем мудрить с аналитикой». Проблема в том, что данный пример не из серии, когда проще решить численно и выглядит надуманно.

                                                              Обидеть не хочу, просто высказываю своё суждение. Статью оцениваю в целом положительно
                                                              • 0
                                                                Меня зацепило обсуждение на радио (ссылка на звук в начале статьи) и то, что сам не смог сразу решить.

                                                                Последние пару лет мне по работе приходится разбирать довольно много инженерных расчетов, которые делают на разных российских предприятиях (и самому участвовать в них). Это и электроника, и авиакосмос, и оборонка, и образование. Многие частные задачи не сложнее этой. Что важно для заказчика?
                                                                (1) получить верный ответ
                                                                (2) получить его быстро и дешево.

                                                                Поверьте, эта статья не просто рассказ о частном казусе, а опыт того, как можно сэкономить время и деньги, если рационально использовать мат.пакеты (в условиях, когда базовых знаний недостаточно — а в реальной жизни так бывает часто).
                                                                • 0
                                                                  Меня зацепило обсуждение на радио

                                                                  Вот, приехал с работы, прослушал запись. И у меня возник вопрос — а к чему эта запись приведена в статье? У нас что, Доренко — эксперт в области образования?
                                                              • +1
                                                                Еще небезынтересно рассмотреть случай АВ=0. В принципе, условия задачи явно этого не запрещают (старушки жили рядом, вышли с рассветом, посидели на лавочке и разошлись — одна в 16, другая в 21).
                                                                Когда был рассвет в этом случае?
                                                                • 0
                                                                  можно еще попытаться найти время жизни рассвета в системе отсчета лавочки, если бабушки — вектора в гильбертовом пространстве.
                                                          • 0
                                                            Я за пару минут пришёл к следующему решению (хостинг изображений у меня на работе заблокирован, поэтому не могу судить, с каким из решений совпадает моё, подозреваю, что со вторым):

                                                            Пусть скорость срарушек из A и B — a и b соответсвенно, а время от рассвета до встречи — x. Тогда после встречи старушка из A прошла расстояние в 4a, что, очевидно, совпадает с расстоянием, пройденным второй старушкой до встречи:

                                                            4a=xb.

                                                            Аналогично, xa=9b. Поделив уравнения друг на друга, получаем: 4/x=x/9, откуда x=6. Рассвет был за 6 часов до полудня, в 6 утра.
                                                            • 0
                                                              Подкинул задачку ученице, 10-класснице. Расщелкала за 10 минут как семечки. В общем виде.
                                                              • 0
                                                                В общем виде. Правда она получила соотношение такое

                                                                x = 5*y/2 — где x — путь пройденный после встречи «медленной» бабкой, y — такой же путь для быстрой бабки. Её правда (вот о чем я и говорю!) смутило уравнение 2*x — 5*y = 0, содержащее два неизвестных.

                                                                Когда неясность была понята, получила время по формуле

                                                                t = 4*(x — y)/y = 4*3/2 = 6 ч — время движения от рассвета и до встречи.

                                                                В целом — хорошо — пришла к решению сама, составила уравнения, интерпретация немного подвела
                                                                • +1
                                                                  Вообще говоря, аналитическое решение исходной системы уравнений дает красивый ответ

                                                                  где t — время движения от рассвета и до встречи в полдень; t1 — время движения первой старушки после встречи; t2 — аналогичное время для второй старушки.

                                                                  С учетом замечания ниже время рассвета

                                                            • 0
                                                              Во втором решение, правильно будет (12 — t)2 = 36. Время надо было вычесть из полудня
                                                              • –1
                                                                Усложняете.
                                                                a и b — пути первой и второй старушек до встречи
                                                                x — время до встречи в полдень, в часах

                                                                Скорости старушек постоянны, поэтому получаем систему уравнений (в скобках пояснения):
                                                                1.
                                                                a/4 = b/x
                                                                b/9 = a/x
                                                                (вторая старушка прошла отрезок a за 4 часа после встречи и с той же скоростью она прошла отрезок b за x часов до встречи)
                                                                (первая старушка прошла отрезок b за 9 часов после встречи и с той же скоростью она прошла отрезок b за x часов до встречи)

                                                                2. Решаем систему уравнений в два хода:
                                                                xa/4 = b
                                                                xb/9 = a
                                                                и
                                                                x2*b/36 = b
                                                                x2 = 36

                                                                3. Получаем:
                                                                x = 6 или -6 :)

                                                                Теперь ждём, когда PapaBubaDiop выпустит игру на айфон по мотивам этой задачи :)
                                                                • –1
                                                                  Выигрывает тот, кто заставит старушку держаться на ногах 15 часов без перерыва?
                                                                  • 0
                                                                    х=6. -6 противоречит тому, что они вышли на рассвете.
                                                                    • 0
                                                                      А еще все забывают случай АВ=0.
                                                                      • 0
                                                                        При x=-6 картина получается такой. В полдень они вышли из одной точки и пошли в одну сторону, на закате одна из старушек пришла домой, а вторая проходила мимо своей деревни. При этом первая старушка проходила мимо деревни второй старушки в 4 часа, а вторая добралась до дома первой в 9 вечера. Когда был закат?
                                                                        Система та же, только знаки у некоторых переменных другие. Но физически картина совсем не похожа на первую.
                                                                        • 0
                                                                          Когда был закат?

                                                                          Это уже совсем другая история. В данной задаче спрашивается только про рассвет, поэтому x не может быть равен -6.
                                                                          • 0
                                                                            Хорошо. Если сутки на этой планете составляют 8 часов, а часы идут по земному времени (и в этот день в этом месте полдень был в 12 часов земного времени), то рассвет вполне может быть в 18 часов. Но история действительно другая — сильно поменялся порядок и смысл действий — когда и как встретились, что значит «вышли», куда пришли…
                                                                            • –1
                                                                              Как оглянешься окрест,
                                                                              В мире много странных мест,
                                                                              А присмотришься сурово:
                                                                              В мире странном все не ново:
                                                                              Труд с восхода дотемна.
                                                                              Да ошибок пелена.
                                                                    • +1
                                                                      Задача 48: доказать формулу ряда Тейлора для тангенса… боюсь, что с этим не каждый выпускник мехмата справится.
                                                                      • +1
                                                                        Хз. Я тоже не допёр почему-то до пропорции, но тут же составил систему уравнений:
                                                                        (16-х)*Va=(21-х)*Vb=(Va+Vb)(12-х)
                                                                        Ну, и дальше — выводим одну скорость через другую, подставляем, сокращаем, получаем x=6

                                                                        Просто было с утра интересно: а помню ли я что-то из алгебры?
                                                                        Помню и спокоен — дочь БУДЕТ решать всю домашку в любом случае :))))
                                                                        «Папа у Васи силён в математике» (с)
                                                                        • 0
                                                                          Математик, без пяти минут кандидат. Задачку решил в уме, правда, не сказать что очень быстро (обдумывал параллельно с другими делами в свободные промежутки времени). В общем-то, построить систему уравнений — самое естественное и правильное побуждение. Правда, в этом случае сначала, подумав, что решение, возможно, должно оказаться очень простым и красивым, предположил, что время от рассвета до встречи равняется среднему времени от встречи до конца путей. Но, рассмотрев предельный случай (допустим, одна старушка движется в тысячу или миллион раз быстрей другой), понял, что гипотеза неверна. В общем, быстро составляется и решается простая система уравнений (которую вы привели второй), просто-напросто каждая из четырёх частей относится к одному из двух отрезков. Т.е. наиболее естественным образом, сразу избегая лишних скобок типа x+4 и x+9.

                                                                          Метод с графиком (который выше в комментариях нарисовали) тоже применим, очень красив и нагляден. Но я бы так не смог (во всяком случае в уме), это надо хорошим пространственным мышлением обладать, чтоб представить и заметить подобие треугольников.
                                                                          • 0
                                                                            хе-хе, только что сообразил, что искомое время действительно равняется среднему от известных времён, только не арифметическому, а геометрическому ))
                                                                          • 0
                                                                            спасибо за разминку для мозга. тоже решил алгебраически но тут кому как удобнее. некоторые уравнения я помню в политехе и графически очень быстро решались. ниже мое решение:
                                                                            в полдень ОА/V1 = OB/V2 в тоже время ОА = 9*V2 а ОВ = 4*V1 т.е. 9*V2/V1 = 4*V1/V2. Значит 4*V1^2 = 9*V2^2 и v2 =v1*2/3
                                                                            Обозначив рассвет за Р знаем что 12-Р = OA/V1 или OA = (12-P)*V1 = 9*V2 = 6*V1 из чего следует что (12-P)*V1 = 6*V1
                                                                            следовательно 12 — Р = 6, Р = 6.
                                                                            за ссылку на книжку спасибо, еще есть математическая смекалка мне в свое время очень нравилась и мтематические игра. сейчас уже сыну из них задачки даю :)
                                                                            • 0
                                                                              На красивое «детское» решение мозги не сгодились, поэтому решал систему.
                                                                              Пусть t — искомое время, тогда:
                                                                              (21-t)vБ = S
                                                                              (16-t)vA = S
                                                                              (12-t)vA = S-(12-t)vБ
                                                                              Неизвестных больше чем уравнений, но, выразив скорости через S и подставив в третье уравнение, получаем:
                                                                              (12-t)S/(16-t) = S-(12-t)S/(21-t)
                                                                              Разделив на S, избавимся от S и приведём
                                                                              (12-t)/(16-t)=1 + (12-t)(21-t) к квадратному уравнению
                                                                              t^2 -24t + 108 = 0
                                                                              Два корня: 6 и 18.
                                                                              Один из которых не подходит по смыслу.

                                                                              Аналогично, спасибо за задачку. Давно так много не писал на бумаге :)
                                                                              Хотя, квадратное уравнение всё-таки скормил вольфраму :)
                                                                              • 0
                                                                                Зачем Вам s в уравнениях? В самой первой системе можно заменить на единицу и решить, будучи в шестом классе.
                                                                                • 0
                                                                                  Согласен, это уже обсудили в предыдущих комментариях. Но s еще понадобится (будет сиквел истории о старушках).

                                                                                Только полноправные пользователи могут оставлять комментарии. Войдите, пожалуйста.

                                                                                Самое читаемое