100 лет спустя: заполненные пропуски в записях Рамануджана

http://blog.wolfram.com/2013/05/01/after-100-years-ramanujan-gap-filled/
  • Перевод

Перевод поста Олега Маричева и Майкла Тротта "After 100 Years, Ramanujan Gap Filled".
Скачать файл, содержащий текст статьи, интерактивные модели и весь код, приведенный в статье, можно здесь.
Выражаю огромную благодарность Кириллу Гузенко за помощь в переводе.

Сто лет назад Сриниваса Рамануджан и Г. Х. Харди начали знаменитую переписку о настолько поразительных вещах в математике, что Харди описал это как нечто едва возможное, чтобы в это поверить. Первого мая 1913-го года Рамануджан получил постоянную должность в Университете Кембриджа. Через пять лет и один день он стал научным сотрудником королевского общества, а его группа стала самой престижной на тот момент научной группой в мире. В 1919-ом году Рамануджан смертельно заболел во время длительного путешествия на пароходе Нагоя в Индию, которое проходило с 27-го февраля по 13-ое марта. Всё, что у него было — блокнот и ручка (да, никакой Mathematica в то время), и перед смертью он хотел оставить на бумаге свои уравнения. Он утверждал, что у него есть решения для целого ряда функций, однако ему хватало времени записать лишь несколько, прежде чем перейти к другим областям математики. Он записал следующее неполное уравнение и 14 других (см. ниже), из которых только три на данный момент решены.

One of Ramanujan's unsolved equations

Он умирал несколько месяцев, вероятно, от печёночного амёбиаза. Его последний блокнот был отправлен Университетом Мадраса к Г. Х. Харди, который затем передал его математику Г. Н. Уотсону. В 1965-ом году, когда Уотсон умер, директор колледжа нашёл блокнот в его офисе, отбирая документы на уничтожение. Джордж Эндрюс заново открыл этот блокнот в 1976 году и, наконец, в 1987 году он был опубликован. Брюс Берндт и Эндрюс писали об утерянном Блокноте Рамануджана в серии книг (Часть 1, Часть 2, и Часть 3). Как сказал Берндт: «Открытие этого „утерянного блокнота“ вызвало бум в математическом мире такой же, какой могло бы вызвать открытие десятой симфонии Бетховена в мире музыкальном».

В своей книге, анализируя результаты Рамануджана, Берндт указывает на существование решения для Solution noted by Berndt, однако отмечает, что решение является не особо изящным, чтобы его в ней приводить. Как будет показано ниже, существует решение столь же изящное, сколь и остальные, найденные самим Рамануджаном.

Elegant solution found

Что означает это уравнение? Начнём со сравнения арифметической и геометрической прогрессий.

Сумма первых n членов некоторой арифметической прогрессии: 1 + 2 + 3 + … + n.

Сумма первых n членов некоторой геометрической прогрессии: a1 + a2 + a3 + … + an.

Для каждого типа прогрессии мы можем предсказывать её поведение с помощью формулы частичной суммы, если свернуть приведенные выше выражения к их замкнутой форме.

Вот другая форма арифметической прогрессии, представленная в форме непрерывных дробей:

Continued fraction example

где символ Equation for the Mathematica function ContinuedFractionK соответствует функции ContinuedFractionK в Mathematica.

Аналогично, «геометрический» вариант непрерывных дробей известен как функция R Роджерса-Рамануджана. Она родственна функции S Роджерса-Рамануджана (Леонард Джеймс Роджерс публиковался вместе с Рамануджаном в 1919-ом году). В «утерянном блокноте» F(q) представляется как S(q).

R(q) — непрерывная дробь следующего вида:

Form that R(q) is the continued fraction of

И аналогично для S(q). (Использование множителя Fifth root of q делает формулы более «удобными»). Вот более формальные определения:

More formal definition of R(q)

More formal definition of S(q)

Эти функции связаны соотношением Equation showing the relation of S(q) and R(q). Многие опубликованные работы упоминают S(q) = -R(-q), но это неверно из-за многолистности корня в комплексной области. Мы так же можем задать R и S через q-символы Похгаммера для существенного ускорения вычислений.

Definition of R using q-Pochhammer symbols

Definition of S using q-Pochhammer symbols

Вот иллюстрация поведения функции R в единичном кругеk на комплексной плоскости. Полученные значения могут быть комплексными, поэтому отображены действительная, мнимая части, аргумент и абсолютное значение (Im, Re, Arg и Abs) функции R(q). Сама единичная окружность является естественной границей аналитичности этой функции и содержит множество особенностей функции R(q). Как можно заметить, функции Роджерса-Рамануджана красивы не только из-за своих математических свойств, но и чисто визуально.

Pictures of the behavior of the R function on the unit disk in the complex plane

Функции R и S — две из небольшого количества именованных функций, связанных с непрерывными дробями. В последнее время мы собирали теоремы и формулы для функций R и S, включая незавершённые из «утерянного блокнота» Рамануджана. Последняя строчка эквивалентна Equation from Ramanujan's original lost notebook.

Piece of Ramanujan's original "lost" notebook

Многие из них были повторно найдены после Рамануджана. Все из них легко решаются в Mathematica. Приведём известные решения, начиная с тех, которые появились ранее, а так же те, которые Олег Маричев впервые реализовал в Mathematica.



Брюс Берндт отметил: «значение Equation может быть определено через значение Equation и известное уравнение, связывающее R(q5) с R(q). Не будем приводить здесь полученное значение, потому что оно не особо изящно.»

С Simplify, RootReduce и многими другими функциями Mathematica большие уравнения могут быть сведены к своей самой изящной форме. Рамануджан использовал мел и свой интеллект для упрощения получаемых результатов — громоздкие он стирал из своего списка, а изящные оставлял. Кажется вероятным, что Рамануджан на самом деле знал изящное решение, или по крайней мере способ найти его, но у него уже не оставалось времени, чтобы его записать. Вот метод, который мы использовали. Сперва следует получить численное значение в интересующей точке. Далее следует получить некоторую замкнутую алгебраическую форму для этого числа. Затем выразить полученное алгебраическое число через конструкцию из радикалов. Затем нужно проверить полученную форму численно с первоначальным значением с очень высокой точностью.

Starting to calculate a numerical value for the point of interest

Calculating a numerical value for the point of interest

1.151253225350832849725197582897578627999982843838182580967555952676114472157669659604129909241760880

algebraicConjecture = RootApproximant[numValue, 24]

Closed algebraic form for the number

ToRadicals[algebraicConjecture ]

Algebraic number as nested radicals

То есть мы проверяем, что численное значение предполагаемой формы такое же, как значение функции. Значения совпадают по крайней мере на первых 10,000 цифрах.

Checking the numerical value of the conjectured form is the same as the value of the function

0. x 10^-10049

Поскольку они оба — алгебраические числа весьма изящного вида, то это — довольно убедительная проверка. И метод легко может быть обобщён для поиска многих неизвестных на данный момент значений S(q) и R(q).

Фактическое доказательство может быть реализовано через модульные уравнения (modular equations). Это модульное уравнение 5-го порядка для S:

Using modular equations for actual proof

Modular equation of order 5 for S

Мы используем ранее известное значение Equation для S(q5) и решаем уравнение относительно S(q), чтобы получить значение Equation.

Beginning to simplify the equation

Result for S(q)

FullSimplify[%]

Simplified version of the equation

Избавившись от знаменателей, получаем приведённый ниже результат.

Clearing denominators

Final result

Уравнения Рамануджана близки по тематике к нашей недавней работе — добавлению множества различных знаний о непрерывных дробях в Wolfram|Alpha. В одном из следующих постов мы расскажем о новых возможностях, таких как ввод запроса о цепной дроби K (1, n, {n, 1, inf}).

Мы так же составили список сотен точных значений в интерактивной демонстрации “Ramanujan R and S”.

Ramanujan R and S Demonstration

«Не особо изящно» — это то, чего никак нельзя сказать о работах Рамануджана. И мы рады были показать, насколько изящны его идеи.
Wolfram Research 45,82
Wolfram Language, Mathematica, Wolfram Alpha и др.
Поделиться публикацией
Комментарии 19
  • +9
    «Поскольку они оба — алгебраические числа весьма изящного вида, то это — довольно убедительная проверка. „
    Такой подход противоречит математической культуре.
    • +6
      Читайте дальше, это всего лишь промежуточные результаты. Ближе к концу показано то, как провести строгое доказательство.
      • +3
        Всё же приятно думать о математике как об искусстве, в противовес бурбакизму. Истина как всегда посередине: начали с интуитивных выкладок, закончили изящным доказательством.
        • 0
          Бурбакизм строг, но справедлив! Замечу, что французам это не мешает отлично работать и применять все навыки на практике.
        • 0
          Ну не то, чтобы прямо совершенно противоречит. Если, например, известно, что два числа принадлежат некоторому множеству, про элементы которого известно, что они не могут быть сильно близко друг к другу (например, рациональные числа со знаменателем не больше 10^10, или, скажем, множество вещественных чисел, десятая степень которых — целое число не больше 10^10), то совпадение первых скольки-то знаков (скольки именно, зависит от множества), будет влечь за собой совпадение самих чисел.
          • –2
            Да, подобное разбиение на подмножества возможно, но здесь-то речь не про это идёт. Меня просто за 6 месяцев работы под руководством математика отучили от подобных формулировок. Последующее доказательство верно, насколько я понимаю, однако за такие формулировки в тексте мне бы дали по шапке.
          • +1
            Посмотрите про  вычислимые числа. Известно, что вычислимых чисел счетно! И эти 2 числа явно вычислимы, неизвестно до какого предела цифр надо считать, но этот предел существует. На самом деле предел проверки существует и он связан с константой Хайтина wiki .
            Если будет известно «немного больше» об этой константе, то можно будет доказывать числовые теоремы перебором (может слишком большим, но все же), такие как теорема Ферма, гипотеза Римана, да вообщем-то любые подобного рода.
          • +3
            [зануда моде он]
            Как сказал Берндт: «Открытие этого „утерянного блокнота“ вызвало бум в математическом мире такой же, какой могло бы вызвать открытие десятой симфонии Бетховена в мире музыкальном».

            Так себе аналогия. Десятая симфония Бетховена никакого бума не вызвала.
            [зануда моде офф]
            • 0
              Тоесть Рамануджан круче Бетховена?
              • 0
                Не знаю, про Рамануджана вообще впервые узнал из этой статьи.
                • 0
                  Уже и половины не понимаю, но Рамануджан нереально крут и Бетховен рядом не валялся! Когда первый раз о нём читал (у Гиндакина) складывалось впечатление, что он придумывал красивые формулы «с потолка» которые «оказывались» по невероятному стечению обстоятельств правильными.
                  Просто у человека фантастически было устроено мышление, что идеально подошло для работы в довольно сложной области матана. «Красивые» формулы/ряды — это больше случайности, чем целенаправленное их выведение, поэтому Рамануджан такой единственный и неповторимый — умел и практиковал.
                  • 0
                    Бетховен, простите, что? Вы если с композитором и его биографией плохо знакомы, так хоть не судите о нем, тем более в таком негативном виде.
                    Если желаете подчеркнуть Рамануджана, это и делайте, но не за счёт занижения других личностей, пожалуйста.
                    • +1
                      Да что же такое случилось с чувством юмора у людей! Вот у меня в 3 утра тонкая математическая шутка родилась, как результат пересечение двух плоских))

                      Какой был вопрос, такой и ответ.
              • +1
                Извиняюсь за вопрос но всё же — я согласен, у человека недюжинный интеллект был, но вопрос — это просто забавные задачки для себя или имеется какой-то практический смысл в таких уравнениях?
                • +8
                  Рамануджан — одна из самых удивительных личностей в мире математики, работая в полной изоляции от основных направлений и ведущих специалистов в его области, он сумел пройти столетний путь западной математики самостоятельно. Трагедия в том, что его труды большей частью представляют собой бесполезные повторы всем известных математических открытий. Но в записях Рамануджана повсюду среди туманных формул рассеяны модулярные функции — одно из самых странных математических явлений. Они неоднократно появляются в наиболее удаленных друг от друга и никак не связанных между собой направлениях математики. Одна из функций, упорно возникающих в модулярной теории, в настоящее время носит название функции Рамануджана. Эта причудливая функция содержит элемент, возведенный в двадцать четвертую степень.
                  Эта функция волшебным образом возникла в теории струн. Число 24, фигурирующее в функции Рамануджана, так же является источником удивительных сокращений в теории струн. В этой теории все 24 режима функции Рамануджана соответствуют физическим колебаниям струны. Всякий раз, когда струна совершает сложные перемещения в пространстве-времени, разделяясь и восстанавливаясь, необходимо соответствие большому количеству чрезвычайно сложных математических тождеств. Эти тождества и были открыты Рамануджаном.

                  Ещё один пример, бета-функция Эйлера — это экзотическая математическая формула, придуманная швейцарским математиком Леонардом Эйлером в чисто математических целях оказалось способна описать одним махом все многочисленные свойства частиц, участвующих в сильном ядерном взаимодействии. Впоследствие на её основе стала развиваится теория струн.

                  Можно ещё привести пример. Эйнштейн, который сформулировал свой физический принцип общей терии относительности, не зная о трудах Римана, недоставало математического языка и способностей, необходимых для выражения этого принципа. В итоге Эйнштейн попросил помочь ему своего близкого друга, математика Марселя Гроссмана. В поисках подсказок он случайно наткнулся на труды Римана. Благодаря Гроссману Эйнштейн узнал о метрическом тензоре Римана. Именно на его основе мы получили знаменитые уравнения для описания общей теории относительности.
                  • +1
                    Честно говоря, в данный момент теория струн это скорее религия, чем научная теория, несправедливо лелеемая многими физиками в ущерб других теория. Почитайте Смолина, например «Неприятности с физикой», у него прекрасно об этом написано.

                    Что касается Эйлера и Римана, то они всё же находили уравнения и формулы, а не соотношения между числами. бета-функия, дзета-функция — это всё функции, а не просто интересный факт, что корень определенной степени от пи деленное на друге число дает цепную дробь определенного вида.
                    • +1
                      А можно где-то подробнее почитать про связь теории струн и функции Рамануджана? Про бета-функцию когда-то видел, а вот про модулярные формы пока нет.
                      • 0
                        Припомнилась такая связь сабжа с теорией струн.

                        Суммирование натурального ряда 1 + 2 + 3 + 4 + · · · методом Рамануджана позволяет получить значение −1/12

                        А в этом посте в предпоследнем абзаце упоминается использование этой суммы в теории струн
                      • +5
                        Часть проблемы в том, что ни у кого в обществе нет даже приблизительного понятия о том, что же делают математики. Общее понимание, похоже, таково, будто математика как-то связана с естественными науками: математики помогают ученым своими формулами, или вычисляют огромные числа на компьютерах для той или иной научной задачи. Без сомнения, если бы потребовалось поделить мир на «поэтических мечтателей» и «рациональных мыслителей», большинство людей определило бы математиков в последнюю категорию.

                        Тем не менее, нет ничего на свете столь же мечтательного и поэтичного, столь же радикального, взрывного и психоделичного, как математика. Она настолько же умопомрачительна, как физика или космология (в конце концов, математики мыслили о черных дырах задолго до того, как астрономы открыли их), и гораздо свободнее в выразительных средствах, чем поэзия, живопись или музыка (ибо они зависимы от свойств материальной Вселенной). Математика — чистейшее из искусств, и самое непонятое из них.

                        Позвольте мне объяснить, что такое математика и чем занимаются математики. Я не найду лучшего описания, чем то, что дает Г. Г. Харди: «Математик, как и художник и поэт, создает узоры. И если его узоры долговечнее, то это потому что они сотканы из идей».

                        Попытки изобразить математику полезной и нужной для ежедневных дел всегда натужны и убоги: «Видите, дети, как просто, когда знаешь алгебру, высчитать, сколько Марии лет, если ей на два года больше, чем дважды ее возраст семь лет назад!» — как будто кто-то в жизни получит эту безумную информацию вместо настоящего возраста. Алгебра — не инструмент для жизни, это искусство симметрии и чисел, и потому достойно постижения само по себе.


                        Пол Локхард, «Плач математика»

                    Только полноправные пользователи могут оставлять комментарии. Войдите, пожалуйста.

                    Самое читаемое