Wolfram Language, Mathematica, Wolfram Alpha и др.
106,30
рейтинг
11 июля 2015 в 17:33

Разработка → 2 Пи или не 2 Пи — вот в чём вопрос перевод


Перевод поста Giorgia Fortuna "2 Pi or Not 2 Pi?".
Выражаю огромную благодарность Кириллу Гузенко за помощь в переводе.

Три месяца назад мир (или по крайней мере мир гиков) праздновал день Пи (03.14.15...). Сегодня (6/28 — 28 июня 2015 г.) другой математический день — день 2π, или день Тау (2π = 6.28319...).

Некоторые говорят, что день тау действительно является днём для празднования, и что τ (= 2π), а не π, должен быть самой важной константой. Все началось в 2001 году со вступительного слова знаменитого эссе Боба Пале, математика из университета Юты:

“Я знаю, что некоторые сочтут это богохульством, но я считаю, что π — это ошибка”.

Это вызвало в некоторых кругах празднование дня тау — или, как многие говорят, единственного дня, в который можно съесть два пи(рога) (2pies≈2π — игра слов в англ. языке).

Однако правда ли то, что τ — константа получше? В современном мире это довольно просто проверить, а Wolfram Language делает эту задачу ещё проще (действительно, недавний пост в блоге Майкла Тротта о датах в числе пи, вдохновлённый постом Стивена Вольфрама о праздновании векового дня числа пи, весьма активно задействовал Wolfram Language). Я начала с рассмотрения 320000 препринтов на arXiv.org чтобы посмотреть, сколько в действительности формул содержат 2π по сравнению с теми, что содержат просто π или π с другими сомножителями.

Вот облако из некоторых формул, построенное с помощью функции WordCloud, содержащих 2π:

WordCloud

Я обнаружила, что лишь 18% рассматриваемых формул содержат 2π, из чего следует, что перейти на использование τ — не лучший выбор.

Но почему тогда сторонники использования τ считают, что мы должны перейти к использованию этого нового символа? Одна из причин заключается в том, что использование τ должно сделать тригонометрию проще для изучения и понимания. В конце концов, в тригонометрии мы используем не углы, а радианы, а в окружности содержится 2π радиан. Это означает, что четверти круга соответствует 1/2π радиан, или π/2, а не четверть чего-то! От этой несправедливости можно избавиться введением символа τ, и тогда каждой части окружности будет соответствовать такая же часть от τ. Например, четверти окружности соответствовал бы угол τ/4.

Пи против Тау

Лично у меня использование числа π не вызывает каких-то сильных негативных чувств, и честно говоря, я не думаю, что использование τ позволило бы студентам быстрее изучать тригонометрию. Давайте вспомним о двух самых важных тригонометрических функциях — синусе и косинусе. Пожалуй, самые важные в изучении тригонометрии формулы — sinпи на 2= cos(2π) = 1, и sin(3 пи на 2) = cos(π) = –1. Я не только всегда предпочитала использовать косинус потому, что его значения легче запомнить (нет никаких дробных значений в π и 2π), но я и также всегда помнила, что синус и косинус отличаются тем, что одна функция принимает ненулевые значения в точках, кратных π, а другая принимает ненулевые значения в дробных частях π. Если использовать τ, то мы потеряем эту симметрию, и у нас будут уравнения sinтау на 4 = cos(τ) = 1 и sin3 тау на 4 = cosтау на 2 = –1.

Учитывая вышесказанное, получается, что использование τ или π есть вопрос личного предпочтения. Это справедливое заключение, однако нам нужен более строгий подход для определения того, какая из констант более полезна.

Даже тот подход, которым я руководствовалась вначале, может привести к неправильным выводам. В Тау манифесте Майкл Хартл приводит некоторые примеры тех мест, где часто можно встретить 2π:

Примеры мест, где 2 Пи наиболее часто используемые

И в самом деле, все эти формулы выглядели бы проще, если бы мы использовали τ. Однако это всего лишь шесть формул из того огромного количества, которые ученые регулярно используют, и как я упоминала ранее, не так уж много математических выражений содержат 2π. Тем не менее, вполне возможно, что формулы, не содержащие 2π, будут более простыми, если будут записаны через τ. Например, выражение 4π² запишется просто как τ².

Поэтому я вернулась к научным статьям, чтобы выяснить, сделает ли использование τ вместо 2π (и τ/2 вместо π) формулы более простыми. Например, вот те, которые станут более простыми с использованием τ:

Формулы проще Тау

А вот некоторые из тех, которые не станут:

Формулы не простые в Тау

Позвольте объяснить, что я подразумеваю под более простой формой записи на примере: если я возьму часть, содержащую π в нижней левой формуле таблицы с формулами Тау манифеста (см. выше):

Формула = 1 на квадратный корень из 2 Пи сигма

Я могу заменить π на τ/2 с помощью функции ReplaceAll и получить:

Использование ReplaceAll в формулах

Посмотрев на эти два выражения, можно увидеть, что второе проще. И дело здесь не в интуиции — во втором просто меньше символов. Для большей ясности можно рассмотреть соответствующие им древовидные графы посредством функции TreeForm:

Использование TreeForm смотреть на двух разных выражений

Для получения численного представления их различия мы можем использовать количества ветвей дерева, которые соответствуют числу символов в исходных формулах:

Глядя на лист пунктам, чтобы получить числовое значение

Чтобы определить, упрощается ли формула в результате использования τ, я вычислила сложность каждой формулы (которая определяется количеством ветвей дерева), содержащей π, для формул из статей, в зависимости от того, какая из констант используется — π или τ. Для большей точности я сначала удалила все выражения, которые были равны или эквивалентны π или 2π. Я чувствовала, что будет несправедливо их учитывать, потому что они часто встречаются сами по себе, вне формул. Затем я сравнила случаи, когда использование τ упрощало формулу с теми, когда усложняло, и лишь 43% формул стали проще с использованием τ, то есть в более чем половине случаев использование τ усложняет формулу. Иными словами, из этого сравнения следует, что мы должны продолжать использовать π. Тем не менее, это не конец истории.

Я заметила вот что: если выражение становится более или менее сложным, то это значит, что количество ветвей у него менее 40. В самом деле, если посмотреть на процент формул, которые становятся проще при использовании π или τ и имеют количество ветвей меньше определённого значения, то вы увидите следующую картину:

Процент формул, которые лучше при использовании Pi или Tau и имеют ряд листьев, которые меньше, чем фиксированное количество

Ось х представляет верхнюю границу количества ветвей. Из этого следует, что почти для всех формул их сложность зависит от выбора символа только в случае, если число ветвей меньше 50.

Более важное наблюдение заключается в том, что по мере роста сложности формулы ситуация резко меняется. Даже если выбрать формулы со сложностью большей, чем 3, как рассмотренная ранее формула 1 на квадратный корень из 2 Пи сигма, то тогда лишь 48% формул станут проще с использованием π против 52% для τ. Приведенные ниже графики показывают, как процентные отношения формул, которые проще с использованием π или τ, изменяются в зависимости от сложности:

Процент формул, которые лучше в любом Pi или тау изменяется в зависимости от сложности

Как можно заметить, при числе ветвей более 48 графики начинают вести себя хаотично. Это следствие того, что лишь 0,4% формул выборки имеют сложность более 50. Мы ничего особо конкретного не можем сказать о них, и прошлый опыт говорит нам о том, что это нам очень-то и не нужно.

И из этого графика также следует то, что в повседневной жизни и для каких-то выражений, которые сложнее чего-то наподобие 1 на квадратный корень из 2 Пи сигма, в целях упрощения выражений нам однозначно следует использовать τ. Но есть еще один момент, которого я не коснулась. Что насчёт различных областей приложений?

Возможно, в физике формулы будут проще выглядеть с τ, а в других областях — нет. Изначально я включила в поиск статьи из различных областей; однако, я не проверяла принадлежность формул, содержащих π, тем или иным областям знаний, а также то, принадлежат ли формулы, которые становятся проще с использованием τ, какому-то ограниченному подмножеству областей. В самом деле, если рассмотреть лишь математические статьи, то результат окажется следующим:

Ограничение анализ статей в области математики

Получается, что лишь 23% всех формул становятся проще с использованием τ, да и то лишь для довольно сложных выражений. Вот что-то наподобие этого:

Выражение, было бы проще в Тау

можно проще записать через τ, однако большинство подобных выражений встречается весьма редко. Получается, что либо учёные из различных областей должны использовать различные соглашения в зависимости от специфичных для своих областей формул, либо все должны перейти на использование τ, хотя на самом деле для некоторых областей это не имеет особого смысла. В конце концов, демократия предполагает удовлетворённость большинства, и невозможно угодить всем без исключения.

Тем не менее, вышеуказанная формула содержит ещё кое-что, на чём я бы хотела заострить внимание. Так она выглядит с τ:

Формула с Тау, а

Пускай выражение действительно проще записывается через τ, однако подобное улучшение столь незначительно, что становится пренебрежимо малым. Рассмотрим, например, эти два выражения вместе с количествами их ветвей:

Сравнивая эти два выражения вместе с их пунктам листьев

И соответствующие им выражения в τ:

Соответствующие выражения в Тау

Первая формула проще в τ, но количество ветвей становится лишь на 1/13 меньше по сравнению с первоначальным количеством, в то время как второе выражение проще записывается в π, а после замены его сложность возрастает на 1/6. Другими словами, улучшение в первом случае составило 1/13, а во втором -1/6 (знак минус означает ухудшение). Среднее значение вектора 1/13, а одна шестая составляет -0.044 — отрицательное число, что означает, что использование τ в этих двух выражениях делает общий вектор на 0,044 хуже.

Подобный векторный подход отличается от ранее использованного подхода, при котором не учитывался размер уравнения. В нём считается количество улучшений, а не количество упрощенных выражений, и это переворачивает с ног на голову предыдущие выводы. Я получила эти векторы для формул, в которых сложность ограничена снизу — всё так же, как и в предыдущем примере. Получается, что общее улучшение при замене π на τ уменьшается с увеличением сложности:

Общее улучшение при переходе от Pi к Tau вычисляется как среднее этих векторов

а наименьшее ухудшение -0,04 достигается при сложности 5. Как можно заметить, общее улучшение всегда отрицательно; это означает, что пусть и большее количество формул имеют более короткую запись через τ (в зависимости от области), но в целом сумма всех «упрощений» формул перевешивается всеми «усложнениями».

В итоге всего этого исследования у меня сформировалась такая позиция: думаю, нам стоит быть довольными нашим старым другом π и не переходить на использование τ.

У меня есть два заключительных замечания. Первое заключается в том, что если бы мы жили в мире, где активнее используется τ, то вывод был бы полностью противоположным. Если бы наши выражения уже записывались бы через τ, и мы исследовали бы вопрос о переходе на использование π и вопросы упрощения, то наш график сумм векторов выглядел бы следующим образом:

Выражения уже в Тау, и мы были расследует ли переход на Pi бы сделать их проще

Подобное различие объясняется тем, что векторы, которые используются для построения графиков, зависят от исходных сложностей, и потому меняются при изменении оных.

Из этого следует, что для большинства формул, которые имеют сложность больше двух и меньше 18, улучшение от замены τ на π будет отрицательным. К сожалению для сторонников τ, мы живем всё таки в мире π.

Второе замечание, на которое навёл меня Майкл Тротт, заключается в том, что 2/3 из формул, указанных в Тау манифесте (зеленая таблица в начале поста), содержат не просто 2π, а комплексное выражение 2πi. Это говорит о том, что, возможно, сама постановка вопроса, на который я пыталась ответить, является некорректной. Быть может, лучшей будет следующая формулировка: будет ли смысл ввести новый символ τ для комплексного числа 2πi?

Это новое обозначение потребует также замены πi на τ/2, но это не повлияет на сложность πi. В общем, формулы, содержащие πi, либо уменьшат, либо сохранят свою сложность. Вот облако формул, которые станут проще:

WordCloud формул, которые станут проще

Так они станут выглядеть после подстановки 2πi на τ:

Подставляя Тау равна 2 Pi I в WordCloud

Можно было бы возразить, что процент улучшения формул не будет достаточно высоким, и переход от 2πi к τ неоправданным. Однако факты говорят обратное: из всех формул, содержащих πi, 75% станут проще, а остальные 25% сохранят свой уровень сложности — то есть ни одна формула не станет сложнее. Это весомый аргумент, но я не в том положении, чтобы претворить эту идею; однако, полагаю, что равенство τ = 2πi перспективнее (и менее исторически сложно), чем τ = 2π.

Независимо от вашего мнения касательно τ, надеюсь, что вы прекрасно провели день Тау. Наслаждайтесь сегодняшним днём двух пи(рогов) — мнимых или каких бы то ни было.
Какую константу лучше использовать по вашему мнению?

Проголосовало 538 человек. Воздержалось 213 человек.

Только зарегистрированные пользователи могут участвовать в опросе. Войдите, пожалуйста.

Автор: @OsipovRoman Giorgia Fortuna
Wolfram Research
рейтинг 106,30
Wolfram Language, Mathematica, Wolfram Alpha и др.

Комментарии (26)

  • 0
    Сегодня (6/28 — 6 июня 2015 г.)

    28 июня, видимо
    • +1
      Спасибо) Досадная опечатка.
  • +1
    Ожидал увидеть в конце опрос.
    А как насчет πi/2 и π/2? Мне лично всегда больше нравились формы записи физических законов через умножение(так как порядок множителей не важен и можно опускать знак умножения): U=IR.
    • 0
      Отличная мысль, насчет опроса, спасибо! Думаю, многим будет интересно.
      • 0
        По мне так фиолетово чем мерить: половинками, полным кругом, четвертинками.
        Все равно эти формулы мало кто заучивает. Проще в учебнике-справочнике глянуть.
        Главное — результат.
        • 0
          Да, но в статье, по сути, поднимается очень важный вопрос: научная оптимизация математической нотации, что является частью лингвистики, а также автоматическая обработка массива формул — Giorgia импортировала тексты 300000 с лишним статей, выделила TeX соответствующий формулам и преобразовала их к формату Wolfram Language, по сути это часть проекта, описанного Стивеном Вольфрамом в статье "Вычисляемые знания и будущее чистой математики".
  • –5
    Родители! Не читайте эту статью!
    Теперь, когда мой ребенок говорит «хочу пипи», я начинаю тормозить.
    • +7
      Пипи или мнимое пипи – вот в чём вопрос.
      • 0
        Смотрю языковые константы, связанные с пи…
        Вот, например, какой сюрреализм в Obj-C

        #define M_PI        3.14159265358979323846264338327950288   /* pi             */
        #define M_PI_2      1.57079632679489661923132169163975144   /* pi/2           */
        #define M_PI_4      0.785398163397448309615660845819875721  /* pi/4           */
        #define M_1_PI      0.318309886183790671537767526745028724  /* 1/pi           */
        #define M_2_PI      0.636619772367581343075535053490057448  /* 2/pi           */
        

        Нет никакого тау.

        • 0
          наверное, просто при делении точность теряется, поэтому и забили
          • 0
            При делении на два не теряется.
            • –1
              Смелое утверждение, особенно если его произнести 32/64 раза.
              • +2
                >>> a=0.1+0.2
                >>> a
                0.30000000000000004
                >>> for i in range(32):
                ...   a = a / 2.0
                ...
                >>> a
                6.98491930961609e-11
                >>> for i in range(32):
                ...   a = a * 2.0
                ...
                >>> a == (0.1 + 0.2)
                True
                >>> for i in range(64):
                ...   a = a / 2.0
                ...
                >>> a
                1.626303258728257e-20
                >>> for i in range(64):
                ...   a = a * 2.0
                ...
                >>> a == 0.1 + 0.2
                True
                
                • +3
                  Перехожу на Вашу сторону. Кто тут еще против деления на 2?!
                • +2
                  В эксперименте не было необходимости, очевидно что умножение/деление на 2^n изменяет только экспоненту, не трогая при этом мантиссу. Следовательно, потери точности не происходит.
                  • +1
                    вообще то имел ввиду это: 1.57079632679489661923132169163975144 != 2*0.785398163397448309615660845819875721
  • +1
    Небольшое замечание по поводу этого пассажа:

    > обозначение потребует также замены πi на τ/2, но это не повлияет на сложность πi

    Это не повлияет на сложность, рассчитанную по указанной выше метрике.
    Но заметьте, что при этом усложняется запись: умножение мы заменили делением.
    При этом в формулах, содержащих „πi“, будет увеличиваться „этажность“ записи.

    (Понятное дело, что это проблема только человеческого восприятия, но изначально замена предполагалась как раз для облегчение оного.)
    • 0
      Деление вполне себе записывается в одну строчку.
      • +1
        иногда знак деления сбивает с толку: a/bc
  • 0
    Я рекомендую прочесть «Тау манифест», чтобы понять причины, по которым возник вопрос применения тау вместо пи. Лично мне этот манифест показался очень убедительным.
  • +1
    Первая ассоциация возникшая с заголовком — «2 pi or not 2 pi» после прочтения «не тупи».
  • 0
    Максимальный угол между парой прямых — пи. Пи/2, пи/4 — половина и четверть развернутого угла. Так собственно и определяются углы, от 180 градусов, а не от окружности.
  • 0
    дело не в том какие формулы становятся легче, а в том можете ли вы как то наглядно объяснить ребёнку почему в низу по оси y в окружности написано 3/2 pi, и как это запомнить? Если я покажу своему ребёнку что там 3 четверти круга и объясню что это значение умножается на 2 пи — у ребёнка возникнет ещё и вопрос а почему на 2?.. А так мы избавляемся от лишних вопросов просто 3/4 тау.
    А формулы и не обязательно переписывать все.
    • 0
      Почему на 2? Потому что радианная мера привязана к радиусу, а не к диаметру. А в задачах, где используется радианная мера, диаметр вообще не всегда существует.
      А из того, что мне более знакомо: измерение углов в делениях артиллерийского угломера является приближением радианной меры. А выбрано — исходя из удобства вычислений в уме.
  • 0
    А почему нельзя использовать оба обозначения? В физике, к примеру, иногда для обозначения величин, отличающихся на константу, используют разные буквы (к примеру, постоянная Планка или угловая и простая частоты).
  • 0
    надо ещё проверить (2pi)^n и (pi/2)^n (n — любое), такие как 4pi^2, pi^2/4 и т.д.

Только зарегистрированные пользователи могут оставлять комментарии. Войдите, пожалуйста.

Самое читаемое Разработка