Понимаете, у РК-методов фиксированный порядок точности. Есть, конечно, РК высших порядков, — я видел формулы до 8-ого, — но они там очень громоздкие. Чтобы увеличить точность получаемого численного решения, можно уменьшить шаг, но представление вещественных чисел не даст его сделать сколь угодно малым. В методе степенных рядов для систем с квадратичной правой частью по фазовым координатам можно получить простые рекуррентные закономерности вычисления коэффициентов ряда, и проблем нет, чтобы нарастить полином, аппроксимирующий ряд, на несколько членов.

Я сейчас проверил — для 20-ти гармоник (в системе 124 уравнения) хватает стандартной двойной точности (хотя я там настраивал 30 знаков после точки). Вычисления можно производить с разным представлением вещественных чисел (ordinary floating point numbers или arithmetic on bigfloat numbers — так написано в официальной документации пакета) и разной точностью для метода Ньютона. Это делается так:

(fpprec:30,newtonepsilon:bfloat(10^(-fpprec+5)))$

Система Лоренца при классических параметрах системы является нежесткой. Определим собственные числа линейной части системы в пакете Maxima:

A: matrix([-10,10,0], [28,-1,0], [0,0,-8/3]);
float(eigenvalues(%));

Результат выполнения:

[[-22.82772345116346,11.82772345116346,-2.666666666666667],[1.0,1.0,1.0]]

Второй список — это кратность для соответствующего собственного числа. Далее вычислим коэффициент жесткости системы

float(22.82772345116346/2.666666666666667);

Результат

8.560396294186297

Для численного интегрирования применяется метод степенных рядов (см. статьи на Хабре и в СибЖВМ). Метод Ньютона используется для решения системы алгебраических уравнений.

Я думаю, что увеличивать транспортный тариф в пересчёте времени на потерянную сумму в результате простоя.

Видео о методе Линдштедта-Пуанкаре.

Да, gnuplot.

Для построения графиков добавил код, выводящий данные в текстовый файл для gnuplot. Он же умеет строить анимацию (я сделал раскадровку).

И запустил через перенаправление ввода.

Менял настройку точности и разрядность мантиссы. Перед запуском подготовил текстовый файл с приведёнными данными из статьи Вишваната.

Николай, он был опубликован здесь.

Для любого решения системы Лоренца существует такой момент времени, когда соответствующая фазовая траектория навсегда погружается в сферу фиксированного радиуса. Поэтому существует предельное множество — аттрактор Лоренца, — к которому притягиваются все траектории динамической системы, когда время стремится к бесконечности. Таким образом, аттрактор определяет поведение решений динамической системы на больших отрезках времени. Когда я начинал знакомиться с хаотической динамикой, помогла книга Сергея Петровича Кузнецова «Динамический хаос».

А я рекомендую начинать с языка Python. На нём хорошо можно закрепить основы алгоритмизации без особых языковых заморочек, а потом переходить на C-подобные языки. Сейчас появилась возможность писать и запускать Python-программы на смартфонах и планшетах (для разных ОС). На мой взгляд, школьнику будет интересней написать и запустить свою первую программу на своём гаджете.

Глянул книгу Г.М. Розенблата «Сухое трение и односторонние связи», стр. 99-108 — «О безотрывных движениях волчка на гладкой плоскости» (волчок Томсона). Там сформулирован критерий, основанный на решении квадратного уравнения и позволяющий понять, оторвётся ли сферический волчок (со смещенным центром тяжести) от горизонтальной плоскости при заданных параметрах движения.
Можно ещё посмотреть мой топик о неполном кубическом уравнении. Если взять для силы сопротивления воздуха закон Стокса, то получится квадратное уравнение.

Отличный топик на Хабре! Такое детальное исследование численных методов оптимизации — снимаю шляпу! Когда был студентом, программировал различные методы, тема очень знакома.

P.S. С Новым годом!

Вот это хороший материал! Идеально подходит как для исследований, так и для лекций. А есть Интернет-ссылки на какие-нибудь работы автора в научных журналах, чтобы потом сослаться?

В трёхтомнике-справочнике Прудникова, Брычкова и Маричева «Интегралы и ряды» собраны без вывода значения несобственных интегралов и рядов, приведён перечень литературных источников (наших и зарубежных).

У Фихтенгольца во втором томе есть интересные приёмы вычисления несобственных интегралов, описаны связи с рядами.

Вот ролик

Я читал информацию, что в каких-то уровнях находятся горшочки с зелёной жидкостью. Встречались? Причём назначение у них разное. Есть и секрет прохождения принца сквозь стены.