Пролетарий умственного труда
9,1
рейтинг
9 мая 2013 в 16:20

Разработка → Разрезание на две равные части, часть третья

Первая часть
Первая часть второй части
Вторая часть второй части

Ну что ж, господа, пора заканчивать. В последней статье цикла (название которой разрывает мой ещё толком не проснувшийся шаблон) мы поставим жирную точку в истории этой задачи. Несмотря на то, что в комментариях ко второй части был предложен более удобный и универсальный способ это сделать, я всё же воспользуюсь инструментарием, разработанным лично мной ещё до написания первой из статей. Во-первых, не пропадать же добру, а во-вторых, я думаю, все понимают, что задача — это просто повод порисовать красивые чертёжики в GeoGebra и запостить их на хабр. Ну, как говорится, понеслась.




Случай 3: скользящая симмметрия


Скользящая симметрия определяется следующими параметрами: осью симметрии и параллельным ей вектором сдвига. Ось симметрии, в свою очередь, определяется направлением и конкретным положением на плоскости. Сейчас я набросаю некоторое количество следующих друг из друга фактов, достаточно очевидных, чтобы не называть их даже леммами, и уж тем более не доказывать.

  • Ось скользящей симметрии равноудалена от границ (понятие границы невозбранно берём из случая параллельного переноса).
  • Если взять отрезок с концами на разных границах, то ось симметрии пройдёт через его середину.
  • Задав направление оси скользящей симметрии, мы автоматически узнаём и её конкретное положение. Если обе границы состоят из единственной точки, то мы знаем ещё и вектор сдвига.
  • Части, на которые фигура делится осью, имеют равную площадь (этот факт не следует из предыдущих)


Вооружившись этими фактами, я нарисовал вот такую картинку:



Из неё видно, что для большинства направлений на границах окажутся либо точки А и Е, либо точки B и F, а следовательно, ось пройдёт через «центр» фигуры (пересечение диагоналей прямоугольника ABEF). Второе место по распространённости занимает случай с точками C и F, почётное третье — с точками C и A. В этих случаях, очевидно, ось симметрии будет проходить через середины отрезков CF и CA соответственно.

Теперь посмотрим, при каких направлениях ось будет делить фигуру на две равновеликих части. Не вдаваясь в утомительные подробности, скажу просто: а вот при таких.



Теперь у нас есть три конкретных оси и, более того, к ним прилагаются три конкретных вектора сдвига — ведь границы во всех случаях состоят из одной точки. Нетрудно показать, что для всех этих трёх скользящих симметрий найдутся точки фигуры, для которых нет ни образа, ни прообраза — что, согласно лемме 3, означает, что это плохие, негодные скользящие симметрии, которые не могут соответствовать разбиению фигуры на две равные части. Поиск конкретных точек я оставляю читателю.

Вывод


Фигуру А0 нельзя разрезать на две равные части. Теперь я с чистой совестью пойду пересматривать «А зори здесь тихие». С Днём Победы, товарищи хабровчане.
Вадим Шевяков @Sirion
карма
254,7
рейтинг 9,1
Пролетарий умственного труда
Реклама помогает поддерживать и развивать наши сервисы

Подробнее
Реклама

Самое читаемое Разработка

Комментарии (13)

  • +2
    А Вы не предполагаете сделать из материалов статей полноценную GGB — демонстрацию?
    Можно прямо на GGB-Materials выложить. Тоже люблю эту среду, она активно развивается.
    • +1
      До прочтения этого комментария — не предполагал. А вообще подумаю.
  • +2
    Фигуру А0 нельзя разрезать на две равные части.

    Все-таки можно, что подтверждается самой первой картинкой=)
    • +6
      У той фигуры высота не та
      • 0
        Действительно… Не заметил, больно уж они похожи. И зачем только вводить людей в заблуждение?=)
        • 0
          For teh Great Justice. Мне было хуже — я когда-то был искренне уверен, что нашёл решение)
  • 0
    Кстати, не скажите, каким методом определялась вторая точка для каждой из осей симметрии?
    • 0
      Эвристически. Сначала определял, где примерно пройдёт ось, затем отделял как можно большие части фигуры с той и другой стороны, которые ось точно не пересекает и которые равны по площади. Оставалось что-нибудь маленькое, и я понимал, где пройдёт ось.
  • 0
    А может быть кто-нибудь знает, крайнюю правую фигуру разрезать на две равные части можно?
    фигуры
    • +3
      Это же котик. Его нельзя резать.
      • 0
        Вообще, быстренько пробежавшись по всем пунктом, прихожу к выводу, что нельзя. Но я мог быть не очень внимательным и что-то пропустить.

        Зато её можно разрезать на 8 равных частей.
        • +1
          *комментарий удален*
        • 0
          Эх… Попытался я проверить эту фигурку по всем пунктам из Ваших статей… И намертво завис на особых точках в случае с центром поворота внутри фигуры. Скользящую симметрию не стал даже пытаться искать=)

Только зарегистрированные пользователи могут оставлять комментарии. Войдите, пожалуйста.