Разрезание на две равные части, часть третья

    Первая часть
    Первая часть второй части
    Вторая часть второй части

    Ну что ж, господа, пора заканчивать. В последней статье цикла (название которой разрывает мой ещё толком не проснувшийся шаблон) мы поставим жирную точку в истории этой задачи. Несмотря на то, что в комментариях ко второй части был предложен более удобный и универсальный способ это сделать, я всё же воспользуюсь инструментарием, разработанным лично мной ещё до написания первой из статей. Во-первых, не пропадать же добру, а во-вторых, я думаю, все понимают, что задача — это просто повод порисовать красивые чертёжики в GeoGebra и запостить их на хабр. Ну, как говорится, понеслась.




    Случай 3: скользящая симмметрия


    Скользящая симметрия определяется следующими параметрами: осью симметрии и параллельным ей вектором сдвига. Ось симметрии, в свою очередь, определяется направлением и конкретным положением на плоскости. Сейчас я набросаю некоторое количество следующих друг из друга фактов, достаточно очевидных, чтобы не называть их даже леммами, и уж тем более не доказывать.

    • Ось скользящей симметрии равноудалена от границ (понятие границы невозбранно берём из случая параллельного переноса).
    • Если взять отрезок с концами на разных границах, то ось симметрии пройдёт через его середину.
    • Задав направление оси скользящей симметрии, мы автоматически узнаём и её конкретное положение. Если обе границы состоят из единственной точки, то мы знаем ещё и вектор сдвига.
    • Части, на которые фигура делится осью, имеют равную площадь (этот факт не следует из предыдущих)


    Вооружившись этими фактами, я нарисовал вот такую картинку:



    Из неё видно, что для большинства направлений на границах окажутся либо точки А и Е, либо точки B и F, а следовательно, ось пройдёт через «центр» фигуры (пересечение диагоналей прямоугольника ABEF). Второе место по распространённости занимает случай с точками C и F, почётное третье — с точками C и A. В этих случаях, очевидно, ось симметрии будет проходить через середины отрезков CF и CA соответственно.

    Теперь посмотрим, при каких направлениях ось будет делить фигуру на две равновеликих части. Не вдаваясь в утомительные подробности, скажу просто: а вот при таких.



    Теперь у нас есть три конкретных оси и, более того, к ним прилагаются три конкретных вектора сдвига — ведь границы во всех случаях состоят из одной точки. Нетрудно показать, что для всех этих трёх скользящих симметрий найдутся точки фигуры, для которых нет ни образа, ни прообраза — что, согласно лемме 3, означает, что это плохие, негодные скользящие симметрии, которые не могут соответствовать разбиению фигуры на две равные части. Поиск конкретных точек я оставляю читателю.

    Вывод


    Фигуру А0 нельзя разрезать на две равные части. Теперь я с чистой совестью пойду пересматривать «А зори здесь тихие». С Днём Победы, товарищи хабровчане.
    Поделиться публикацией
    AdBlock похитил этот баннер, но баннеры не зубы — отрастут

    Подробнее
    Реклама
    Комментарии 13
    • +2
      А Вы не предполагаете сделать из материалов статей полноценную GGB — демонстрацию?
      Можно прямо на GGB-Materials выложить. Тоже люблю эту среду, она активно развивается.
      • +1
        До прочтения этого комментария — не предполагал. А вообще подумаю.
      • +2
        Фигуру А0 нельзя разрезать на две равные части.

        Все-таки можно, что подтверждается самой первой картинкой=)
        • +6
          У той фигуры высота не та
          • 0
            Действительно… Не заметил, больно уж они похожи. И зачем только вводить людей в заблуждение?=)
            • 0
              For teh Great Justice. Мне было хуже — я когда-то был искренне уверен, что нашёл решение)
        • 0
          Кстати, не скажите, каким методом определялась вторая точка для каждой из осей симметрии?
          • 0
            Эвристически. Сначала определял, где примерно пройдёт ось, затем отделял как можно большие части фигуры с той и другой стороны, которые ось точно не пересекает и которые равны по площади. Оставалось что-нибудь маленькое, и я понимал, где пройдёт ось.
          • 0
            А может быть кто-нибудь знает, крайнюю правую фигуру разрезать на две равные части можно?
            фигуры
            • +3
              Это же котик. Его нельзя резать.
              • 0
                Вообще, быстренько пробежавшись по всем пунктом, прихожу к выводу, что нельзя. Но я мог быть не очень внимательным и что-то пропустить.

                Зато её можно разрезать на 8 равных частей.
                • +1
                  *комментарий удален*
                  • 0
                    Эх… Попытался я проверить эту фигурку по всем пунктам из Ваших статей… И намертво завис на особых точках в случае с центром поворота внутри фигуры. Скользящую симметрию не стал даже пытаться искать=)

              Только полноправные пользователи могут оставлять комментарии. Войдите, пожалуйста.