Пять удивительных математических фактов

http://www.livescience.com/26584-5-mind-boggling-math-facts.html
  • Перевод
Для начала небольшой спойлер

Да я знаю, что если написать фамилию с заглавной буквы, казуса не получится. Дальше перевод.

Математика – одна из немногих областей знаний, которая может быть объективно названа истинной, потому что ее теоремы основаны на чистой логике. Но в то же время эти теоремы часто оказываются очень странными и противоречащими интуиции.

Некоторые люди считают математику скучной. Следующие примеры показывают, что она какая угодно, но не такая


5. Случайные наборы данных


Как это ни странно, случайные данные на самом деле не такие уж и случайные. В приведенных данных, представляющих собой все от биржевых курсов до населения городов, высот зданий и протяженностей рек, около 30 процентов всех чисел начинаются с единицы. Меньшее количество начинается с 2, еще меньше с 3 и так далее, с 9 начинается только каждое двадцатое число. И чем больше набор данных, чем шире порядок охватываемых величин, тем сильнее проявляется эта закономерность.

4. Спирали простых чисел


В силу того, что простые числа неделимы (кроме как на единицу и самого себя), и того, что все остальные числа могут быть представлены в виде их произведения, простые числа часто рассматриваются как «атомы» в мире математики. Несмотря на свою важность, распределение простых чисел до сих пор остается тайной. Нет такого правила, которое бы однозначно говорило, какие числа будут простыми и через сколько встретится следующее простое число.

Кажущаяся случайность простых чисел делает факты, обнаруженные в «Скатерти Улама» очень странными.

В 1963 году математик Станислав Улам, обнаружил удивительную закономерность, когда разрисовывал свою записную книжку во время презентации: если записывать целые числа по спирали, простые числа выстраиваются вдоль диагональных линий. Само по себе это не очень удивительно, если помнить, что все простые числа, кроме двойки, нечетные, а диагональные линии в спиралях целых чисел поочередно являются нечетными. Более необычной была тенденция простых чисел лежать преимущественно на одних диагоналях и практически отсутствовать на других. Причем закономерность наблюдалась вне зависимости от того, с какого числа начиналась спираль (с единицы или любого другого).

Даже если масштабировать спираль, чтобы она вмещала гораздо большее количество чисел, можно увидеть, что скопление простых чисел на одних диагоналях гораздо плотнее, чем на других. Существуют математические предположения, объясняющие эту закономерность, но пока они не доказаны.

3. Выворачивание сферы


В одной важной области математики, которая называется топология, два объекта считаются эквивалентными или гомеоморфными, если один из них может быть преобразован в другой путем скручивания или растягивания поверхности. Объекты считаются разными, если для преобразования требуются разрезы или изломы поверхности.



В качестве примера рассмотрим тор – объект в форме пончика. Если поставить его вертикально, расширить одну сторону и вдавить верхушку этой же стороны, то получится цилиндрический объект с ручкой. В среде математиков существует классическая шутка, что топологи не могут отличить пончика от чашки с кофе.

С другой стороны, ленты Мебиуса – петли с единственным перегибом не являются гомеоморфными петлями без перегибов (цилиндры), потому что нельзя распрямить ленту Мебиуса, без того чтобы разрезать ее, перевернуть одну сторону и склеить заново.

Топологов давно интересует вопрос, будет ли сфера гомеоморфной самой себе, будучи вывернутой наизнанку? Другими словами, можно ли выворачивать сферу? На первый взгляд это кажется невозможным, потому что нельзя проткнуть дырку в сфере. Но, оказывается, выворачивание сферы возможно. Как это делается, показано на видео .
Поражает тот факт, что тополог Бернард Морин, который является главным разработчиком приведенного метода выворачивания сферы, слеп.

2. Математика стен


Несмотря на то, что стены могут быть украшены бесконечным количеством завитушек, говоря математическим языком, существует конечное число отдельных геометрических шаблонов. Все периодические рисунки Эшера, обои, плиточные дизайны и вообще все двумерные повторяющиеся группы фигур, могут быть отнесены к той или иной так называемой «плоской кристаллографической группе». И знаете, сколько существует таких групп? Ровно 17.

1. Сонет


«Как сонет Шекспира схватывает саму суть любви, или картина показывает внутреннюю красоту человека, уравнение Эйлера проникает в самые глубины существования.»

Математик из Стэнфорда Кейт Девлин (Keith Devlin) написал эти слова об уравнении в эссе 2002 года, которое называлось «Самое прекрасное уравнение». Но почему от формулы Эйлера перехватывает дыхание? И что она вообще значит?

Во-первых, буква «e» представляет собой иррациональное число (с бесконечным количеством цифр), которое начинается с 2.71828… Открытое в контексте непрерывно начисляемого сложного процента, оно описывает темпы экспоненциального роста от колоний популяций насекомых до радиоактивного распада. В математике число обладает рядом неожиданных свойств, например, оно равняется сумме обратных факториалов от нуля до бесконечности. В конечном счете константа e оккупировала математику, взявшись вроде бы ниоткуда, но оказавшись в большом числе важных уравнений.

Далее. i представляет собой так называемую мнимую единицу – квадратный корень из минус 1. «Так называемую», потому что в реальности не существует числа, которое, будучи умноженным само на себя, в результате дало отрицательное число (потому отрицательные числа не имеют действительных квадратных корней). Но в математике существует большое количество ситуаций, когда приходится извлекать квадратный корень из отрицательного числа. Число i используется как своеобразная пометка того места, где такая операция была произведена.

Пи – отношение длины окружности к ее диаметру, одна из любимых и наиболее интересных констант в математике. Подобно e, она появилась в большом количестве математических и физических формул как будто из ниоткуда.

Константа e, возведенная в степень мнимая единица, умноженная на Пи равняется минус одному. Из уравнения Эйлера следует, что добавление к этому единицы дает ноль. Трудно поверить, что все эти странные числа, одно из которых даже не относится к реальному миру, могут быть так просто скомбинированы. Но это доказанный факт.
Метки:
Поделиться публикацией
Похожие публикации
Комментарии 271
  • +5
    Для повышения градуса про случайные числа, начинающиеся с единицы. Если мы возьмем например базу данных высот зданий и переведем из метров в футы, то распределение сохранится.
    • +7
      Наверно это связано с тем, что случайные наборы данных — грубо говоря — распределены равномерно скорее на логарифмической шкале, чем на линейной.

      Отсюда следует, что количество чисел между 10 и 20 ближе к количеству чисел на отрезке 50..100, чем к количеству чисел от 90 до 100.
      • +1
        Я полагаю, многие величины, выражаемые в неотрицательных числах, распределены по Пуассону.
        • +1
          В целом первые цифры чисел распределены по закону Бенфорда, который выполняется при условии что данные распределены экспоненциально.

          Также по какой-то причине (которую сейчас объяснить не могу), когда мы берём «случайные» числа — т.е. не распределённые по какому-то наперед заданному закону — а из разных источников (газеты, интернет, ...) — закон Бенфорда тоже имеет место.

          Про пуассоновское распределение сейчас ничего не скажу, голова едва работает и не могу понять как оно связано с экспоненциальным.
          • +1
            Хорошее видео на эту тему:
      • 0
        Несколько другое. См. здесь пункт 6: www.pseudology.org/state/katastropha_models.htm
  • +21
    Вот чем нужно студентам и старшим школьникам прививать любовь к математике.
    • 0
      Есть даже целые курсы математики, обильно приправленные подобными удивительными фактами.
      Одна из самых популярных серий — www.koob.ru/boss/
  • +5
    Во-первых, буква «e» представляет собой иррациональное число (с бесконечным количеством цифр)
    Число 0.3333… тоже имеет бесконечное количество цифр, однако оно национально.
    • +70
      > Число 0.3333… [...] — национально.
      В смысле бутылки на троих, что ли?
    • +1
      *рационально
      И первый абзац — цитата была. С телефона писать неудобно.
    • +4
      А 0,9999(9) строго равно 1. Тоже удивительно.
      • +3
        Доказательство:
        1 = ( 1 / 3 ) * 3 = (0.33333333333) * 3 = 0.9999999999999999
        • –17
          0.33(3) сходится к 1/3, а 0.99(9) сходится к 1, но не равно, а строго меньше.
          • 0
            Сколько будет один поделить на три?
            • +15
              1/3
              • +1
                Наверное, вы правы :) я не силён в математике
              • +4
                1/3 и 0.33(3) разве не одно и тоже?
                • –10
                  0.33(3) воспринимается как последовательность, стремящаяся к 1/3 снизу. Ставить знак "=" между последовательностью и рациональным числом рука не поднимается. Есть статья, в которой говорится, что знак "=" принято ставить.

                  0.33(3) ? 1/3
                  Какой знак должен стоять на месте "?"? Есть варианты "->", "<", "=", из которых я согласен только на первые два.

                  Полностью аналогичный пример:
                  1/2 + 1/4 + 1/8 +… ? 1
                  В данном случае можно, не задумываясь, ставить "->" или "<". С 0.333… то же самое, но из-за формы записи 0.333… больше похоже на число, чем на последовательность.
                  • +6
                    Кстати.
                    1/2 + 1/4 + 1/8 +… ? 1
                    В данном случае можно, не задумываясь, ставить "=". Вам даже, простигосподи, википедия это скажет:

                    image

                    С другой стороны, сумма этого ряда — 0.(1)2, но прежде чем начнутся споры о «0.(1)2 -> к 1, но не равно», предлагаю сначала разобраться-таки с 0.(0).
                    • –2
                      С 1/2 + 1/4 + 1/8 +… и с e неудачные примеры. Оспаривается не тот знак равно. Чтобы опровергнуть равенство 0.99(9) и 1, нужно доказать, что 0.99(9) нужно рассматривать исключительно как последовательность, а не её (рациональную) сумму. Из этого сделать вывод, что 0.99(9) < 1, так как каждый член последовательности меньше 1. А как рассматривать 0.99(9) — вопрос соглашений.
                      • +1
                        А вдруг окажется, что 1/2+1/4+...=0.(9)? Или, например, 5*0.(9)-4? Как вы будете различать эти случаи?
                        А 1-1/2+1/4-1/8+… это что? 0.(6)? Или 1-0.(3)? При вашем подходе все эти объекты могут оказаться различными.
                        А если знак равенства ставить нельзя, любая «последовательность» индивидуальна, то непонятно, как строить математику.
                        • –2
                          Мне кажется, чтобы строить математику, достаточно пределов последовательностей, записанных в явном виде, тем более если записи вида 0.99(9) считаются другой формой записи для пределов этих последовательностей.
                          • 0
                            достаточно пределов последовательностей, записанных в явном виде

                            Я потерялся. Кто записан в явном виде — пределы или последовательности?

                            Насколько я понимаю, элементом своей конструкции вы хотите сделать сходящуюся последовательность (или не обязательно сходящуюся)? Проблема в том, что если для двух последовательностей A и B сколь угодно далеко найдутся индексы x и y такие, что A[x]<B[x], A[y]>B[y], то вам будет очень сложно сказать, какая из них больше (например, ряд 3/2-3/4+3/8-3/16+… и ряд 1+0+0+0+0+...). А если вы решите объявить их равными, но вас запутают, взяв две последовательности, равные третьей, но не равные между собой. Здесь нужен неглавный ультрафильтр, а он, к сожалению, конструктивно не строится.
                            Возьмите лучше упорядоченное поле рациональных функций. Там тоже есть положительные элементы, меньшие любого положительного рационального числа, но с ними всё гораздо понятнее.
          • +16
            0.(3) это десятичная запись числа 1/3, а не просто сходящийся ряд. Так что строго равно.
            А про 0.(9) разные есть подходы. Половина учебников считает, что это альтернативная запись числа 1. А другая половина явно запрещает бесконечный хвост девяток, так что для них это вообще не число.
            • –8
              0.9999(9) не относится к рациональным числам (иначе мы априорно считаем его равным 1). С этой точки зрения, 0.9999(9) не число.
              • –2
                Кто-нибудь может объяснить человеку, не являющемуся знатоку математики, за что у пользователя starius такое громадье минусов в комментах к этому топику?
            • +1
              Если конвертировать 0.(9) в обыкновенную дробь с помощью геометрической прогрессии, то получится 1, как и из 0.(3) получится 1/3. Так что я не понимаю почему так делать нельзя.
              • +3
                Хвост девяток запрещают для однозначности представления числа в виде десятичной дроби. Если его запретить, единственной неоднозначностью останутся +0 = -0 = 0 (не бесконечно малые, а арифметические нули), если не считать дроби, получинные приписыванием в хвосте нулей.
          • +5
            www.youtube.com/watch?v=TINfzxSnnIE
            Вот вам сразу пачка доказательств, правда на английском. В начале видео может показаться, что видео несерьезное, но дальше вполне валидные и строгие рассуждения.
            А сам канал как раз делает то, что автору топика (и оригинала) сделать (ИМХО) не удалось — показывает математику с интересной стороны.
            • –7
              Спасибо за канал!

              Оказалось, что в Youtube полно видео, доказывающих что 0.9999=1 и наоборот. Опровержения собраны и на этом канале: www.youtube.com/watch?v=wsOXvQn3JuE

              Я теперь вижу, что тема сложная и в ней просто запутаться. Теперь я склоняюсь к тому, что с одной стороны равенства число, а с другой стороны не число, а предел последовательности (0.9, 0.99, 0.999, ...). Если обобщить этот вопрос, то он будет звучать так: можно ли считать периодические десятичные дроби считать числами и считать их равными рациональным числам, к которым они стремятся?
              • +3
                Видео по ссылке — первоапрельская шутка =)
                Можно считать и нужно. Очень просто доказывается, что любая периодическая дробь — рациональное число. Числа никуда не стремятся, и бесконечные десятичные дроби не определяются как пределы таких последовательностей (хотя конечно пределы им равны).
                • –10
                  Очень просто доказывается, что любая периодическая дробь — рациональное число.
                  Я представляю, как доказать, что последовательность, образованная любой периодической дробью, стремится к рациональному числу. Но поставить между периодической дробью и рациональным числом знак равенства не решаюсь. Если это сделать, то дальше можно ничего не доказывать.

                  Если каждому элементу одного множества (периодические дроби) можно сопоставить элемент из другого множества (рациональные числа) и наоборот, из этого нельзя взять и сделать вывод, что множества совпадают, а соответствующие элементы равны. То есть, нужно отдельно это место прорабатывать или принимать на веру, что не принято делать в науке, так как по вопросам веры может не быть единого мнения. Недаром
                  Половина учебников считает, что это альтернативная запись числа 1. А другая половина явно запрещает бесконечный хвост девяток, так что для них это вообще не число.


                  Все доказательства того 0.9999(9) = 1, которые я за сегодня видел, включают принятие на веру не менее неочевидных вещей. Например, что 8.999(9)1 = 9 (см. ниже) или что периодические дроби можно считать рациональными числами. Когда доказывают теорему Пифагора через теорему косинусов, возникает похожее чувство, но там хоть ясно, в чём подвох. А с вопросом 0.9999(9) =/< 1 так и не разобрались.
                  • +9
                    8.999(9)1
                    Вон из класса. Откуда единица после бесконечного числа девяток? Где вообще это «после»? Для единицы в этом числе разряда не существует.

                    Подробнее алгебраическое доказательство:

                          x = .(9)
                    Обе части равенства умножаем на 10
                        10x = 10*.(9)
                        10x = 10*.9(9)
                        10x = 9.(9)
                    Вычитаем из обеих частей равенства x
                    10x - x = 9.(9) - x
                         9x = 9.(9) - .(9)
                         9x = 9
                    Делим обе части равенства на 9
                          x = 1
                       .(9) = 1
                    • +3
                      Где вообще это «после»? Для единицы в этом числе разряда не существует.

                      Вы сомневаетесь в существовании ординала ω? Можно написать и 0.((9))1, тогда единица будет в позиции ω2 :)
                    • –6
                      8.999(9)1
                      Согласен, запись бессмысленная. Если заменить на 8.9999(9), то это всё равно не 9. 1 была дописана как результат умножения, чтобы объяснить, почему там не будет 9.

                      В переходе
                          9x = 9.(9) - .(9)
                          9x = 9
                      было допущено, что множества периодических чисел и рациональных чисел совпадают (а иначе как число из одного класса перешло в другой?). Как я писал, в этом-то и состоит (для меня, по крайней мере) вся проблема.
                      Если каждому элементу одного множества (периодические дроби) можно сопоставить элемент из другого множества (рациональные числа) и наоборот, из этого нельзя взять и сделать вывод, что множества совпадают, а соответствующие элементы равны.
                      Таким образом, этот переход будет некорректным, пока не будет доказано, что множества совпадают (точнее, что периодические дроби можно относить к рациональным числам).

                      Если это доказано или принято на веру, то остальное доказывается в два счёта.
                      • 0
                        Правильно я понимаю, что для вас эти две проблемы равнозначны?

                        1. Равно ли 0.9999999(9) числу 1
                        2. Равно ли 1.00000000(0) числу 1
                        • 0
                          Да
                          • 0
                            То есть при каких-то условиях 0.000000000000000000(0) может не равняться нулю?
                            • –3
                              Да. Это те самые условия, при которых 0.999(9) может не равняться 1.
                              • 0
                                И какие это условия?
                                • 0
                                  Если вкратце, это будут условия, при которых периодические дроби отождествляют с рациональными числами (получается тавтология).
                                  • 0
                                    Ну, как раз при таком отождествлении-то как раз 0.(9)=1. В комментариях же доказали. (Как раз они отождествляются.)

                                    Вот если периодические десятичные дроби и рациональные числа — разные объекты (очень сложно рассуждать на эту тему, честное слово), я не уверен. Но в этом случае вообще придётся дать новое определение вещественному числу.
                      • 0
                        Ничего не надо допускать, 9.(9) = 9 + .(9) = 9 + .9 + .0(9) = ... по логике вещей.
                        • –1
                          Таким способом не удастся избавиться от «хвоста», который вызывает проблему.
                  • +2
                    Во многих курсах матана вещественные числа определяются как бесконечные десятичные дроби (с определёнными правилами арифметических операций и сравнения). И там не нужно говорить, что «последовательность стремится к рациональному числу» — к этому моменту ещё даже не определено понятие предела, оно появляется позже. Просто эта запись — и есть число. И можно доказать, что оно рационально: 0.(B) = B/(10^n-1), где n — число цифр; десятичные записи этих цифр совпадают, а значит, совпадают и числа.
                    Там, где вещественные числа вводятся через множества рациональных, дела обстоят хуже — десятичную запись приходится явно определять, после чего доказывать, что получилась биекция множества действительных чисел и множества десятичных записей (опять же, с точностью до хвостов девяток, которые всегда оговариваются особо).
                    А для объектов вроде 0.(0)1 есть разные варианты развития нестандартного анализа, гипердействительных чисел, и прочей прелести — там, по слухам, всё гораздо более строго. (TODO: заглянуть туда и узнать, при чём же там ультрафильтры).
                    • –2
                      Мои комментарии можно свести к следующему. Если поставить знак равенства между периодическими и рациональными числами (а также вещественными), то его нужно будет поставить и между 0.999(9) и 1. «Доказательства» равенства 0.999(9) и 1 в той или иной форме опираются на равенство множеств периодических и рациональных чисел, поэтому без доказательства или принятия на веру равенства этих классов чисел доказательства равенства 0.999(9) и 1 не могут быть приняты.
                      • +2
                        Правильно ли я понимаю, что вы и между e и 2.71… (бесконечная десятичная запись) знака равенства не признаете? Ну как же, второе — предел, а первое — число…
                        Расскажите тогда, какие по вашему операции можно делать над числами с бесконечным хвостом? Сравнивать можно? Складывать, делить, умножать? Если все можно, то несложно проверить, что все эти операции согласованы с соответствующими операциями в вещественных числах. Кроме того, несложно убедиться, что каждому «бесконечно-хвостовому» числу соответствует ровно одна точка на вещественной оси. И для каждой точки есть по крайней мере одно «бесконечно хвостовое число». А то, что запись числа единственна вам никто не обещал (вы же не возмущаетесь, что 2/4 = 1/2?). Вы можете сколько угодно говорить, что это разные пространства, но зачем плодить сущности?
                        • –2
                          вы и между e и 2.71… (бесконечная десятичная запись) знака равенства не признаете?
                          Да.
                          Расскажите тогда, какие по вашему операции можно делать над числами с бесконечным хвостом?
                          <, >, ->.

                          Число e даже лучше иллюстрирует это, чем периодические дроби вроде 0.999(9). Допустим, мы определили 1 знак e после запятой:
                          e ≈ 2.7
                          Из этого можно сделать вывод: 2.7 < e < 2.8
                          Далее, мы определили 2 знака после запятой: 2.71 < e < 2.72
                          Мы можем определять сколько угодно знаков после запятой, то есть «зажимать» e в более узкий интервал, но знака "=" поставить никогда не сможем.

                          Для вычислений над e этих < и > вполне хватает.
                          Как, к примеру, можно определить число 2e?
                          Операция возведения в степень очевидно определяется для целых и рациональных чисел, но для иррациональных её можно определить как раз или через < и > с любой точностью:
                          (если x = 2e, то 22.7 < x < 22.8, 22.71 < x < 22.72, ...)
                          или через предел, что по сути то же и включает в себя < и >.

                          Теперь вернёмся к 0.99(9). Произведём те же действия, что для e.
                          0.9 < 0.99(9) < 1
                          0.99 < 0.99(9) < 1
                          0.999 < 0.99(9) < 1
                          Видим знак < перед 1. То есть, если строить аналогию на числе e, то 0.99(9) < 1. В крайнем случае, там будет стоять <=. Но никак не =.
                          • +1
                            Вы не путайте
                            а) бесконечные периодические десятичные дроби и непериодические (первые представляют рациональные числа, вторые — иррациональные)
                            б) запись е = 2.718281828… и е ≈ 2.718281828 (первое — точное значение е в виде бесконечной дроби — невозможно записать все цифры числа е, поэтому используем многоточие —, второе — приближённое значение его же, но уже в виде конечной дроби)
                            • 0
                              а) число e привели как пример, поэтому я его обсудил.
                              б) запись е = 2.718281828… так же не даёт числа, как и 0.999(9). е = 2.718281828… (в предположении, что любой знак e можно рассчитать аналогично любому знаку 0.99(9)) дает возможность написать неравенство вида 2.71 < e < 2.72 для сколь угодно большого числа знаков после запятой. Но это будет всё равно неравенство, перейти от такого неравенства к равенству е = 2.718281828… — то же, что перейти от
                              0.9 < 0.99(9) < 1
                              0.99 < 0.99(9) < 1
                              0.999 < 0.99(9) < 1
                              к 0.99(9) = 1.

                              Кстати, что делать с тем, что если расписывать неравенства для 0.999(9), то получается 0.99(9) < 1, что противоречит 0.99(9) = 1?
                              • 0
                                Если предположить, что 0 = 0.(0) — это не верное равенство, то чему в такой системе исчисления равно выражение

                                0 минус 0.(0)?
                                • +2
                                  -0.(0)
                                  • 0
                                    Отлично. А чему будет равно 0.(9) плюс 0.(0)?
                                    • –4
                                      Неизвестно. Чему равно inf-inf? Чему равно inf/inf? Ваш вопрос отличается тем, что вместо бесконечно большого числа используется бесконечно малое число.
                                      • 0
                                        Хорошо, тогда по-другому: сколько будет 0.(0) + 0.(0)? С операцией сложения, вроде бы, не должно возникнуть таких проблем, как с операциями вычитания и деления.
                                      • 0
                                        Как же неизвестно? Вы же определяете 0.(9) как число, на 0.(0) меньшее 1, а в матанализе нет неопределённости вида 0-0. Значит, 0.(9) + 0.(0) = 1.
                                        • 0
                                          Предел 0-0 равен 0, предел 0.(9) + 0.(0) (как и предел самого 0.(9)) равен 1. Но из этого не следует, что 0.(9) равно 1, так же как не следует, что бесконечно малая функция равна 0 в той точке, в которой у неё предел равен 0. Контрпример: x/log(x)->0 при x->0, но x/log(x) не определено при x=0.
                                          • 0
                                            Чему равно (1 — x/log(x)) + (x/log(x)) при x->0?

                                            из этого не следует, что 0.(9) равно 1
                                            Речь и не об этом, а о том, что
                                            0.(9) плюс 0.(0)
                                            вдруг
                                            Неизвестно. Чему равно inf-inf? Чему равно inf/inf? Ваш вопрос отличается тем, что вместо бесконечно большого числа используется бесконечно малое число.
                                      • 0
                                        Получается, в вашей системе операция сложения не имеет смысла? Т.е. результат любого сложения неизвестен.
                                  • –1
                                    Даже более интересен вопрос, чему будет равно 0.(0) плюс 0.(0)
                                    • –2
                                      0.(0) + 0.(0) = 0.(0) плюс 0.(0) = 0.(0)
                                      Аналогично: inf+inf = inf
                                      0.000(0) не обычное число, как и inf. И 0.999(9) тоже.
                                      • –1
                                        То есть мы не можем складывать, вычитать, умножать и делить эти «не совсем обычные» числа между собой?
                                        • –1
                                          Можем совершать операции над ними, но результат будет из их класса, а не из класса рациональных чисел.
                                      • 0
                                        А также: если это верно:

                                        0.(0) + 0.(0) = 0.(0) плюс 0.(0) = 0.(0)


                                        а также верно то, что 0 — это число, которое при добавлении к любому числу, не изменяет это число, то

                                        0.(0) плюс 0.(0) = 0.(0) плюс 0

                                        что эквивалентно

                                        0.(0) + 0.(0) — 0.(0) = 0.(0) — 0.(0) + 0

                                        что эквивалентно

                                        0.(0) = 0

                                        Но это не так. Значит неверно как минимум одно из двух:
                                        1. 0.(0) + 0.(0) = 0.(0) (чему же тогда оно равно? Выходит, 0.(0) + 0.(0) > 0.(0), т.к. 0.(0) >0)
                                        2. добавление 0 к числу все-таки каким-то образом меняет это число. Но тогда чему равно 0.(0) + 0?
                                        • 0
                                          0.000(0) — это ноль в системе бесконечных бесятичных дробей. Вектор (0, 0) — это ноль в системе векторов из двух элементов, но из этого не следует, что (0, 0) = 0 (где 0 — это рацональное число). Поэтому противоречия нет.
                                          • 0
                                            Похоже, что пришла пора определяться со знаком равенства. В каком случае между двумя выражениями можно ставить знак равенства?
                                            • 0
                                              Есть много определений (и уже поэтому до истины не докопаться). Мне нравятся следующие:
                                              1. Если применение любой функции к выражениям даст равный результат (рекурсивно получилось).
                                              2. Если они (множества) состоят из одного набора элементов. Элементы сравнивать не нужно, они должны быть идентичны, поэтому это определение хотя бы не рекурсивно.

                                              Может быть наложено дополнительное требование идентичности типа для равенства объектов. Тогда 0.99(9) и 1 сразу не равны, так как первое бесконечная десятичная дробь, а второе конечная рациональное число. Но это «чит», ведь таким способом и неравенство 0 и 0.0 можно доказывать (хотя можно было бы возразить, что между ними есть очевидное преобразование...). Попробую обойтись без требования равенства типов.

                                              По определению 1 можно привести довод с делением. По определению 2 число 0.999(9) представляет собой последовательность, которая много чисел включает (0.9, 0.99 и т.д.), но не включает 1, так что опять получается, что неравны.
                                              • 0
                                                2. Если они (множества) состоят из одного набора элементов. Элементы сравнивать не нужно, они должны быть идентичны, поэтому это определение хотя бы не рекурсивно.

                                                Какие вдруг множества? Вроде как, сравниваем числа?

                                                число 0.999(9) представляет собой последовательность, которая много чисел включает (0.9, 0.99 и т.д.)

                                                По определению действительного числа 0.(9) — это предел последовательности чисел вида 0.9, 0.99, 0.999 и т.д. Поэтому число 0.999(9) — это не последовательность, а именно число.
                                                • –1
                                                  По определению действительного числа 0.(9) — это предел последовательности чисел вида 0.9, 0.99, 0.999 и т.д. Поэтому число 0.999(9) — это не последовательность, а именно число.
                                                  Если 0.99(9) считать пределом, то равно.
                                                  • 0
                                                    Если 0.99(9) считать пределом

                                                    Как это, «если считать пределом»? Раз уж рассматриваем действительные числа, то и строгое определение их нужно брать из математики. А там действительное число как раз и определяется как предел такой последовательности.

                                                    P.S.: да, существует несколько определений вещественных чисел, но про них доказана эквивалентность — поэтому можно использовать то, которое удобно в конкретной ситуации.
                                                    • –1
                                                      Под «считать пределом» я имел в виду положить равным собственному пределу (в данном случае 1).

                                                      Можно другим путём пойти: сначала разрешить строгое равенство только между элементами счётных множеств. Для остальных (иррациональных чисел, к примеру) остается только < и >. Если неверно a < b и неверно b < a, то считать такие элементы равными. (Так можно доказать равенство e=e.) Значит, задача сводится к доказательству того, что 0.99(9) принадлежит множеству рациональных чисел (с чего мы и начинали) или доказательству, что 0.99(9) не меньше, чем 1 (доказательство того, что 0.99(9) не больше, чем 1, не требуется в силу очевидности). Моей первой фразой было 0.99(9) < 1.
                                                      • +2
                                                        Под «считать пределом» я имел в виду положить равным собственному пределу (в данном случае 1).

                                                        Действительное число как раз и считается равным именно такому пределу (по определению).

                                                        Можно другим путём пойти ...

                                                        Можно, кто же спорит. Только вот и получится какой-то другой объект, не совпадающий с тем, что математики называют действительным числом (или если совпадающий, то эквивалентность нужно доказать отдельно).
                                              • 0
                                                Вот именно. Ваше доказательство неравности 0.(9) и 1 строится на том же самом, что и доказательство их равности. Если требуется идентичность записи, то они не равны. Если не требуется, то они равны. Отсюда и вопрос: требуется ли идентичность записи? И в зависимости от этого будет дан ответ на вопрос «0.(9) и 1 — это одно и то же?»

                                                Но в этом случае житейский вопрос: о чем спор?
                                                • 0
                                                  И тут Вы правы.
                                                  Если требуется идентичность записи, то они равны. Если не требуется, то они не равны.
                                                  Только наоборот.

                                                  Спор ни о чем, до истины не докопались. Видимо, место для ведения спора было выбрано не самое подходящее. Но для меня он был познавательным, поэтому я говорю всем участникам спасибо.
                                                  • 0
                                                    Только наоборот.

                                                    я поправился вовремя :)

                                                    И вам спасибо! Размял мозг основательно. Жалко только что вас заминусовали, не разобравшись.
          • +3
            Вообще-то равно:
            9,(9)=10х
            — 0.(9)=х
            — 9=9х
            х=1

            И одно число не может в принципе сходится.
            • –7
              Сходиться может последовательность чисел. 0.9999(9) это не число, а предел последовательности 0.9, 0.99, 0.999,…

              Ваше доказательство (0.999(9) * 9 = 9 = 9 * 1) содержит неточность: 0.999(9) * 9 не равно 9, так как 0.999(9) * 9 меньше 9. Действительно, предел соответствующей последовательности равен 9 снизу, но любой её член меньше 9. Другими словами, сколько бы девяток мы не приписали, будет получаться 8.999(9)1, а не 9. Если постановить, что 8.999(9)1 = 9, то это то же, что постановить, что 0.999(9) = 1. Другими словами, это не доказательство.

              Посмотрел видео из предыдущего комментария и понял, что на эту тему сломано много копий.
              В видео www.youtube.com/watch?v=mUGl_rtCjMI мужчина пытается опровергнуть Ваше доказательство.
              • +1
                Там нет умножения на 9. Там есть умножение на 10. Полагаем, что .(9)=х. х умноженное на 10 будет 10х. .(9) умноженное на 10 будет 9.(9). Затем вычитаем из левой части .(9), а из правой — х. Мы можем так сделать, не нарушив равенства, т.к. первым шагом приняли 0.(9) = х. Таким образом, получаем 9 = 9x. А вот теперь уже делим на 9. Получаем 1=х. Сравниваем с исходным 0.(9) = х и делаем вывод, что 1 = 0.(9).
                • +1
                  <щютка>
                  Просто так умножить 0.(9) на 10 мы не можем: последняя девятка (которой нет) превратится в 0. Поэтому надо её отщепить:
                  x=0.(9)9
                  умножить на 10:
                  10*x=9.(9)0
                  прибавить по 0.(0)9:
                  10*x+0.(0)9=9.(9)9
                  вычесть:
                  9*x+0.(0)9=9
                  и поделить на 9:
                  x+0.(0)1=1

                  Что и требовалось доказать :D
                  </щютка>

                  Честное слово, K-числа лучше. Правда, с ними безумно тяжело управляться.
                • 0
                  Вопрос стоит шире: можно ли ставить знак равенства между периодическими дробями и рациональными числами. Если ответ да, то 0.999(9) = 1, тут и доказывать нечего. Если нет, то не равно по определению. Аргументов в пользу того или иного варианта, кроме как принять на веру, я не знаю, но сам склоняюсь к варианту, что нельзя.
                  • 0
                    Аргумент в пользу того, что можно, приведен в моем комментарии, на который вы ответили. И в этом доказательстве не нужно принимать на веру то, что можно ставить знак равенства. Приведу его еще раз, в более читабельном виде:

                    1. Пусть 0.(9) = x (это наша аксиома, никто не запрещает нам считать, что икс равен 0.(9))
                    2. Умножаем обе части равенства на 10. Получаем 9.(9) = 10х (какие еще варианты, сколько будет 0.(9) * 10 ?)
                    3. Вычитаем из левой части 0.(9), а из правой вычитаем х. Мы можем это сделать, т.к. см. шаг 1. Равенство не нарушится, т.к. вычитаем одно и то же число:
                    9.(9) — 0.(9) = 10х — х
                    что эквивалентно 9.0 = 9х
                    4. Делим левую и правую часть на 9. Получаем 1 = х
                    5. Сравниваем результат 1=х с аксиомой на первом шаге.
                    • –1
                      Про это доказательство я выше ответил. У меня вызывает сомнение переход между 3 и 4 шагами. То есть, что 9.(9) — 0.(9) можно считать равным 9, а не 9.(0). Если допустить такое понятие как периодическое число и разрешить операциям над ними возвращать рациональные числа, то мы неизбежно придём к тому, что каждому периодическому числу будет равно какое-то рациональное и наоборот. Тогда 0.999(9) останется только равняться 1, других вариантов нет.

                      Я не пытаюсь доказать или опровергнуть правомерность этих допустить и разрешить (это вопрос определений, то есть веры), но я говорю, что все доказательства 0.999(9) = 1 — на самом деле не доказательства, так как если мы приняли равенство множеств периодических и рациональных чисел, то эти доказательства доказывают очевидное, а в противном случае они неверны.
                      • 0
                        9, а не 9.(0)
                        9.(0) означает, что в десятичной дроби после точки все цифры — нули, соответственно, дробная часть числа равна 0. Отсюда 9.(0) = 9.
                        • –1
                          Если не считать очевидным равенство 0.999(9) с 1, то и равенство 1.000000(0) с 1 не очевидно и равенство 0.0000(0) с 0.
                          Стремление снизу меняется на стремление сверху, но суть остается.
                          0.0000(0) — это бесконечно малая последовательность. Мы не можем считать малые последовательности равными 0.

                          • +3
                            Хорошо, давайте так. 0.(0) — это сумма ряда image, каждый элемент которого равен нулю, отсюда 0.(0) равно 0 (НЕ стремится, а равно).
                            • –2
                              Нет, 0.(0) это последовательность стягивающихся отрезков [0,1/10n]. Каждый раз, когда мы видим конечное число нулей, мы можем сказать только, что этот объект лежит в соответствующем отрезке. Так что результатом являлось бы их пересечение… если бы мы были уверены, что оно есть. А иначе придётся работать с самими последовательностями.
                              Собственно, так и можно определить вещественные числа (один из многих способов).
                              • 0
                                Ну я тут расписываю периодическую дробь по определению десятичной дроби, и, честно говоря, не понимаю, при чём тут отрезки [0, 1/10n].
                                • 0
                                  Вспомним определение десятичной записи положительного числа. Последовательность
                                  N.a1a2a3… является записью числа x, если для любого n>0 выполняется условие:
                                  пусть yn=N+sumk=1nak/10k.
                                  Тогда yn <= x <= yn+1/10n.
                                  Иногда второе «меньше или равно» заменяют на «меньше» — в этих случаях запрещается бесконечный хвост девяток.
                                  Сходящихся последовательностей и пределов к этому моменту ещё нет. А вещественные числа только строятся.
                                  • 0
                                    Не встречал такого определения, кроме как при снятии показаний с приборов. Это что же получается, число 3.2 и не 3.2 вовсе, а что-то между 3.2 и 3.3, но до дальнейших уточнений неизвестно, что именно?
                                    • 0
                                      3.2 — вообще не число, а какой-то обрывок. Вот 3.2(0) — число. Десятичная запись обязана быть бесконечной. Хотя можно условиться, что хвост нулей разрешается не писать, тогда 3.2 и 3.2(0) будут одним и тем же объектом.
                                      • –1
                                        Тогда уж (0)3,2(0).
                                        • 0
                                          А вот и нет. Перед запятой стоит целое число, в котором всегда конечное число цифр. Если, конечно, вы не работаете с p-адическими числами, у которых всё наоборот.
                            • –1
                              0.000(0) — это не обязательно сумма ряда из нулей. Это может быть предел последовательности 1/10, 1/100, 1/1000… Вы же не считаете, что это даст не 0.000(0), а 0.00(0)1?

                              На роль 0.000(0) подойдёт и любая другая бесконечно малая последовательность. Предложенный Вами вариант — это последовательность, не только стремящаяся, но и строго равная 0, что не доказано. То есть, 0.000(0) бездоказательно сужают до 0.
                              • +3
                                0.000(0) — это не обязательно сумма ряда из нулей
                                Обязательно.
                                Это может быть предел последовательности 1/10, 1/100, 1/1000… Вы же не считаете, что это даст не 0.000(0), а 0.00(0)1?
                                Предел даст 0. Строгий, строжайший 0. 1/n при n->oo даст бесконечно малое число. lim(n->oo) 1/n — самый что ни на есть нулёвый ноль. Нулейший, я бы сказал.
                                На роль 0.000(0) подойдёт и любая другая бесконечно малая последовательность.
                                Мы же тут рассматриваем 0.(0) как число. По определению периодической десятичной дроби имеем, что 0.(0) = 0.00000… = 0*100 + 0*10-1 + 0*10-2 + ..., где все слагаемые таки равны нулю.
                                • –2
                                  бесконечно малое число
                                  Не встречал такого термина. Видимо, Вы имели в виду «бесконечно малую функцию».

                                  Мы знаем, что lim(0.00(0))=0 (а хотим вместо этого написать 0.00(0)=0). Исходя хотя бы из того, откуда у нас 0.000(0) возникает в доказательствах, это именно предел, но мы не знаем, какой именно последовательности. Это зависит от доказательства. В доказательстве «9.(9) — 0.(9)» оно получается как (0.1)^n при n->inf.
                                  • +2
                                    оно получается как (0.1)^n при n->inf
                                    А предел (0.1)^n при n->inf (предел, не значение (0.1)^n) как раз и есть 0.
                                    • –5
                                      Если мы можем приравнять последовательность к её пределу, то 0.999(9) можно приравнять к 1.

                                      Доказательства, включающие получение 0.000(0), основаны на предположении, что 0.999(9) = lim(0.999(9)). Предположим, что это не так. Пусть 0.999(9) != lim(0.999(9)), то есть 0.999(9) сколь угодно близко к 1, но равно. Иными словами, что 0.999(9) является последовательностью, а не пределом последовательности. Тогда выясняется, что 0.999(9) < 1. Что мы примем за аксиому, то и получим, поэтому не стоит говорить о доказательстве.
                                      • +4
                                        0.(9) — это одно число, а не последовательность. Его значение можно представить в виде суммы ряда. По определению. Сумма ряда — единица. По определению суммы ряда.
                                        Пусть 0.999(9) != lim(0.999(9))
                                        lim(С) = С. По определению предела функции.
                                        • –4
                                          lim(С) = С. По определению предела функции.
                                          Это если C число.

                                          Если положить 0.999(9) числом, для которого это верно, то lim(0.999(9)) = 1.

                                          Давайте немного пофантазируем на эту тему. Вот предположим, что -0.0(0)1 = 0 = +0.0(0)1 (не выставляйте из класса, это обозначение для последовательностей -0.1, -0.01, -0.001,… и 0.1, 0.01, 0.001, то есть 0-0 и 0+0). Теперь посмотрим на их отношение. Если брать предел их отношения, получится отрицательная неопределённость и это кажется логичным (в этом «кажется» слабое место моего доказательства, оно несостоятельное, как и доказательства обратного). Если же приравнять эти числа к 0 (как Вы предлагаете, насколько я понял), то получится неопределённость 0/0. Потерялась информация о том, что она отрицательная. Хотя бы на основании этого можно считать, что 0.0000(0) != 0.
                                          • +2
                                            Вот предположим, что -0.0(0)1 = 0 = +0.0(0)1 (… это обозначение для <...> 0-0 и 0+0)
                                            Нельзя так делать. Хотите писать 0-0 и 0+0 — так и пишите. Не надо придумывать собственные обозначения, создавая путаницу.
                                            • –2
                                              Если есть 0.999..., которое соответствует единице снизу (соответствующая последовательность стремится к единице снизу), то должна быть аналогичная запись, соответствующая единице сверху (соответствующая последовательность стремится к единице сверху).
                                              • +1
                                                Так в том же всё и дело. 0.999(9) не соответствует «единице снизу», оно соответствует единице, поэтому 1 - 0.(9) = 0.(0) соответствует нулю. Запись же 0.(0)1 бессмысленна сама по себе: если у вас есть число, состоящее из бесконечного числа нулей после запятой и ещё единицы, то это не периодическая дробь, а 10-oo — бесконечно малая функция, а не конкретное число.
                                                • 0
                                                  это не периодическая дробь, а 10-oo — бесконечно малая функция, а не конкретное число.
                                                  В записи 0.999(9) я тоже вижу не число, а число минус бесконечно малая функция.
                                                • 0
                                                  Кстати, есть ещё способ показать, что 0.(9) (рассматриваемая, как предел суммы) меньше 1.
                                                  Возьмём множество рациональных функций над x в положительной окрестности нуля. Определим порядок на них так: f=0 если она равна 0 в некотором интервале (0,eps) и f>0, если она строго положительна в некотором интервале. Ситуации, когда f меняет знак сколь угодно близко к нулю, возникнуть не может (у рациональных функций конечное число корней).
                                                  Очевидно, эти функции образуют упорядоченное поле, то есть, вся арифметика и работа с отношениями порядка к ним применима. И любое действительное число является элементом этого поля (как функция-константа).
                                                  Возьмём функцию f=1-x.
                                                  Любой член последовательности 0, 0.9, 0.99, 0.999… меньше f (можно подобрать x так, что для всех 0<y<x значение f(y) будет больше этого члена). Значит, по свойствам пределов, если предел существует, то он должен быть меньше либо равен f. А f, очевидно, меньше 1. Значит, последовательность не сходится к единице :) Она вообще никуда не сходится.
                                                  • 0
                                                    А разве окрестность нуля проколотая? f, очевидно, меньше или равна 1 в окрестности нуля.
                                                    • 0
                                                      Для порядка анализируется только «положительная проколотая окрестность» (интервал (0,eps), который нуля не содержит). В нём f строго меньше 1.
                                                      • 0
                                                        Хорошо. Но при этом для сколь угодного малого eps найдётся n такое, что
                                                        1-an < eps
                                                        Так что по определению предела бла-бла-бла 0.(9) = 1
                                                        • 0
                                                          Нет, для eps=x это условие выполняться не будет… Мы уже не ограничены тем, что вы когда-то называли «вещественными числами». И аксиома Архимеда пылится на дальней полке.
                                                          • 0
                                                            Ну если аксиома Архимеда пылится на дальней полке, то определение предела вообще не имеет смысла.
                                                            • 0
                                                              Предел — понятие из топологии. Матанализ использует его в терминах эпсилон-дельта, но это только потому, что он не любит слова «топологическое пространство». А интервальную топологию можно определить на любом упорядоченном множестве. И последовательность 1-x, 1-x^2, 1-x^3,… всё-таки сходится к 1 :)
                                                              • 0
                                                                «топологическое пространство»
                                                                Лапки кверху, я сдаюсь :)
                                                                • 0
                                                                  А зря, самое интересное только начинается :)
                                                                  Потому что мы знаем, что вещественные числа — это не то «пополнение», не то «замыкание» множества рациональных чисел (у которых предел тоже не всегда существовал). При переходе к рациональным функциям предел снова потерялся. Можно ли их аналогичным образом «замкнуть»? И можно ли это сделать, не потеряв отношения порядка? Сам я этих деталей уже не помню…
                                                              • 0
                                                                Нет-нет, есть ещё определение предела по Гейне, которое не оперирует терминами эпсилон-дельта.
                                                                • 0
                                                                  Там предел функции сводится к пределу последовательности. В котором, в свою очередь, снова возникает эпсилон…
                          • 0
                            Удивительно, но соглашусь. Получается, всё приведённое доказательство строится на очевидности того, что доказывается.
              • +1
                0.9999(9) это не число, а предел последовательности 0.9, 0.99, 0.999

                Вообще-то предел последовательности — это число (а не другая последовательность). При этом указанное число не обязательно совпадает с каким-нибудь членом данной последовательности. Например, lim(1/x)=0 при x->inf, однако при этом никакое 1/x не равно строго нулю при любом x.
                • 0
                  Правильно. Но нельзя сказать, что 1/x=0 при x->inf. Правильно: 1/x -> 0 при x->inf. «Стремится» и «равно» — разные вещи. По той же причине правильно 0.999(9) -> 1, но неправильно 0.999(9) = 1.

                  Я считаю, что между периодическими и рациональными числами априори не может стоять знака "=" по той же причине, по которой его нельзя писать в записи «1/x=0 при x->inf». Противоположное мнение состоит в том, что его можно ставить. Если можно ставить, то легко доказывается, что нужно ставить.
                  • +2
                    Фраза «1/x стремится к нулю при x стремящемся к бесконечности» сбивает с толку, поэтому вместо нее лучше использовать более строгое определение предела. Если вы не забыли из курса матана, то предел последовательности {Xi} — это такое число A, что для любого epsilon>0 найдется такое число N, что при i>N, все Xi-A будут по модулю меньше epsilon. Так что еще раз обращаю ваше внимание, что предел — это фиксированное число. Это число ни к чему не стремится. Оно просто существует.

                    В свою очередь, периодическая дробь — это сумма бесконечного ряда, состоящего из членов вида 9^(-i). Сумма бесконечного ряда определяется как предел его частичных сумм. Иными словами, следует рассмотреть последовательность частичных (конечных) сумм вида:
                    0.9, 0.99, 0.999…
                    и найти ее предел. Этот предел — число, оно ни к чему не стремится, и в данном случае он строго равен 1, в чем вы сможете несложно убедиться. Если вы возьмете любое положительное epsilon>0, то по этому epsilon найдете и такое N, после которого все частичные суммы будут отличаться от 1 не более, чем на epsilon.

                    Снова обращаю ваше внимание, что предел последовательности частичных сумм — это число, которое, по определению, не обязано быть равно хоть одному члену этой последовательности. Должно лишь соблюдаться условие |Si-1| < epsilon при i>N.

                    Также вы не сможете найти никакого другого числа, кроме 1, которое является пределом рассмотренной выше последовательности по приведенному выше определению.
                    • 0
                      Я не спорю, что предел последовательности 0.9, 0.99, 0.999,… равен 1. Также я не говорил, что «предел стремится».

                      Если считать периодические числа равными пределам соответствующих им последовательностей (то есть, поставить знак равенства между периодически чистами и рациональными), то всё доказано. Но можно ли так считать, и было взято под сомнение.

                      Суть:
                      Получается, всё приведённое доказательство строится на очевидности того, что доказывается.
                      • +1
                        Если считать периодические числа равными пределам соответствующих им последовательностей

                        Ну а как может быть иначе? В матане сумма бесконечного ряда определяется как предел последовательности частичных (конечных) сумм этого ряда.

                        В свою очередь, бесконечная десятичная дробь (периодическая или нет) есть не что иное, как сумма ряда слагаемых вида Di*10^(-i), где Di — соответствующая цифра после запятой.
                        • –1
                          Как я понял, в итоге всё упёрлось в трактовку записи 0.999…
                          Чтобы получить равенство с 1, нужно её трактовать как предел. Если трактовать как последовательность, то будет меньше 1. Как именно трактовать эту запись, зависит от задачи.

                          Кстати, в википедии перечислены причины отрицания 0.999… = 1.
                          Похоже, в моём случае это
                          Where students accept the difference between a sequence of numbers and its limit, they might read «0.999...» as meaning the sequence rather than its limit.
                          Я не считаю 0.999… таким же объектом (числом), как 1, чтобы их можно было приравнять.
                          • +2
                            Приведите в таком случае определение, что такое, по-вашему, десятичная дробь?
                            • –1
                              Десятичная дробь, по-моему, это конечная десятичная дробь. Общепринятое определение десятичной дроби шире и включает бесконечные десятичные дроби, включая иррациональные числа. Число 1 я считаю конечной десятичной дробью или рациональным числом, но не бесконечной десятичной дробью.
                              • +3
                                Десятичная дробь, по-моему, это конечная десятичная дробь.

                                Ох уж эта рекурсия :) Что тогда такое «десятичная дробь», которая стоит в правой части этого определения?
                              • +1
                                Десятичная дробь, по-моему, это конечная десятичная дробь.
                                Таким образом, бесконечная десятичная дробь — это не десятичная дробь, хотя это десятичная дробь, пусть и бесконечная, но не десятичная дробь.
                                Я. Так. Сказал.


                                Вы просто выделяете подмножество, называете его множеством, а всё, что в это подмножество не входит, объявляете чем-то невнятным. Не дело это.
                                Вещественное число, по-моему, это рациональное число. Общепринятое определение вещественного числа шире и включает иррациональные числа. Число 1 я считаю рациональным числом, но не иррациональным числом.
                                Аналогия неполная, но суть примерно такова.
                                • 0
                                  Вы просто выделяете подмножество, называете его множеством, а всё, что в это подмножество не входит, объявляете чем-то невнятным. Не дело это.
                                  Я считаю, что бесконечные десятичные дроби не пересекаются с конечными десятичными дробями. 0.99(9) относится к бесконечным десятичным дробям, а 1 к конечным. Следовательно, 0.99(9) не может быть равно 1.
                                  • +2
                                    Я считаю, что бесконечные десятичные дроби не пересекаются с конечными десятичными дробями.
                                    А я считаю, что
                                    image
                                    но это не значит, что так оно и есть.
                                    • 0
                                      image
                                      ^__^

                                      В итоге вернулись к тому, можно ли считать бесконечные десятичные дроби равным конечным. Я не думаю, что на этот вопрос есть ответ. В каких-то областях (Вы сами приводили снятие показаний с приборов) правильным ответом будет нет. Даже 1.0000 уже не то же, что 1, а если хвост бесконечный, то это означает абсолютную точность, а 1 может означать, например, 0.5 <= x < 1.5. А если рассматривать 0.99(9) как предел этой последовательности, то будет равенство. Мне кажется, мы спорим второй день по поводу обозначений.
                                      • +1
                                        Мы сейчас говорим о математике per se, а не снятии показаний. При снятии показаний, во-первых, бесконечные дроби получиться не могут в принципе, а во-вторых, в дело вступают погрешности.

                                        Мы пойдём другим путём. Обозначение N.a1a2...an(b1b2...bm) представляет собой обобщённый вид периодической дроби с длиной периода, равной m. N называется целой частью дроби, a1a2...an — предпериодом, b1b2...bm — периодом дроби. Её значение определяется как
                                        image
                                        • +1
                                          Из этого можно сделать вывод, что
                                          image
                                          т.о. периодические дроби представляют собой не что иное, как рациональные числа.
                                          В частности, если m = 1, b1 = 9, периодическая дробь вырождается в
                                          N.a1a2...an + 10-n
                                          • 0
                                            Если я правильно понял, получается рациональное число с бесконечными числителем и знаменателем. Если разрешать такое рациональное число, то 0.99(9) = 1.
                                            • 0
                                              Стоп. Где бесконечные числа? m и n — неотрицательные целые числа.
                                              • 0
                                                А, тогда получается, к примеру, 0.999… = 0 + 9/9 = 1. Но ведь именно это мы и хотим доказать. Получается, периодическую дробь определили как равную рациональному числу с самого начала (фразой «Её значение определяется как...»). Это доказательство из определения.

                                                Может быть, правильным будет принять это определение и равенство 0.999...=1, но это не будет доказательством.
                                                • +1
                                                  Это определение естественным образом следует из определения позиционной системы счисления:
                                                  image
                                                  где b = 10.

                                                  Первая сумма — ничто иное как N в записи N.a1a2...an(b1b2...bm), вторая —
                                                  image
                                  • +1
                                    один = 1?
                                    нет, потому что множество русских букв и арабских цифр не пересекается.
                                    • +1
                                      Ну а также «1» != 1 (если типизация строгая). В математике типизация статическая и неявная. А вот строгая или нет, не знаю.
                                      • 0
                                        В математике нет типизации. Если хотите, она там «утиная»: если выражению можно приписать смысл, оно корректно.

                                        A+B — корректно, если A и B — это числа, векторы или тензоры одинаковой размерности и тому подобное, так как можно получить некий согласующийся с другими формулами результат. Но некорректно, если это разные объекты, т.к. непонятно, какой смысл приписать выражению и как согласовать с другими выражениями.
                              • +1
                                Десятичная дробь, по-моему, это конечная десятичная дробь.

                                Такое определение содержит порочный круг и потому неудовлетворительно.

                                «Халатность заключается в том, что человек халатно относится к своим обязанностям»
                                • 0
                                  Проблема определения не в этом. Проблема в том, что если дробь конечна, то есть она имеет вид 0.abc...z, где присутствует N цифр, то какое должно быть N? Конечное, но какое именно?

                                  Любые попытки разрешить эту проблему сейчас приведут к счётному числу цифр, т.к. к бесконечному, где однако все цифры можно пронумеровать. Собственно, так и определяется вещественное число — счётное число цифр в виде десятичной дроби.
                                  • 0
                                    Но ведь существует понятие «десятично-рациональных» чисел. У каждого из них десятичная запись конечна, хотя никаких ограничений на её длину нет. Лишь бы у каждого конкретного числа она была конечной.
                                    Точно так же, как у рациональных чисел нет ограничений на величину числителя и знаменателя — но у каждого конкретного числа они могут быть сколь угодно большими.
                                    В математике это обычное дело. И никаких чисел с «счётным числом цифр» при этом не возникает, если мы не введём их специальным декретом.
                                    • 0
                                      Точно так же, как у рациональных чисел нет ограничений на величину числителя и знаменателя — но у каждого конкретного числа они могут быть сколь угодно большими.

                                      Я и говорю — счётное число цифр.

                                      Рациональное определяется как m/n, где m — целое, n — натуральное, а целое тоже определяется через натуральное. Натуральное и «счётное число цифр».
                                      • 0
                                        У любого натурального числа конечное число цифр — натурального числа с бесконечным счётным числом цифр не существует (если мы не разрешаем числу начинаться с нуля или бесконечной «головы» нулей). И никто про количество цифр не спрашивает, «какое должно быть N».
                    • 0
                      Здесь вы неявно пользуетесь аксиомой Архимеда — в данном случае, что для любых двух различных чисел можно найти такое epsilon (которое, скорее всего, подразумевается рациональным или даже вида 1/10^n), которое меньше модуля разности этих двух чисел.
                      Если мы «забудем» про эту аксиому, то у последовательности 0.9, 0.99,… может вообще не оказаться предела. Или он может оказаться числом, меньшим 1 (но их разность при этом будет меньше любого положительного рационального числа).
          • 0
            deleted (уже все написали, я не заметил)
          • +1
            Сходиться может последовательность, а не число.

            А если Вы считаете, что 0,(9) «строго меньше», то ответьте, насколько. 1 — 0,(9) равно… чему? Бесконечный ряд нулей и единица?

            Если число неотрицательно и меньше любого положительного, то это 0 :).
            • –1
              А если Вы считаете, что 0,(9) «строго меньше», то ответьте, насколько
              0.99(9) не рассматривается как рациональное число (иначе мы сразу получаем равенство с 1 и доказывать тут нечего). 0.99(9) рассматривается как бесконечная последовательность, она меньше 1 на бесконечно бесконечно малую положительную последовательность. Бесконечный ряд нулей и единица — условное обозначение такой последовательности. Лучше подходит обозначение 0+0.
              • +1
                0.99(9) не рассматривается как рациональное число
                0.99(9) рассматривается как бесконечная последовательность
                Кем? Периодическая дробь является бесконечной десятичной дробью, которая, в свою очередь, является вещественным числом.
                • 0
                  Если 0.99(9) относить к рациональным числам, то вопрос снят и равенство с 1 очевидно. Но именно то, 0.99(9) относится к рациональным числам, не подтверждено. Есть рассуждение в пользу этого. Каждому периодическому числу можно поставить в соответствие уникальное рациональное число, и наоборот. Но то же можно сказать и про натуральные числа: каждому рациональному числу можно поставить в соответствие уникальное натуральное число, и наоборот (так как множество рациональных чисел счётно, его можно пронумеровать натуральными числами):
                  image
                  Но это не дает права ставить знак "=" между рациональным числом и натуральным числом, служащим его «номером» в данном представлении, большая часть из них далеки от равенства. Так же и с периодическими дробями: каждой из них можно найти соответствующее рациональное число, но не поставить знак равно между ними.
                  • +1
                    Но именно то, 0.99(9) относится к рациональным числам, не подтверждено.

                    Внимание сюда:
                    Бесконечная десятичная дробь называется периодической, если её последовательность цифр после запятой, начиная с некоторого места, представляет собой периодически повторяющуюся группу цифр.
                    0.(9) — периодическая дробь, значит 0.(9) является бесконечной десятичной дробью.
                    Бесконечная десятичная дробь — десятичная дробь, в записи которой после запятой содержится бесконечное количество цифр.
                    Т.о. 0.(9) — десятичная дробь.
                    Значением десятичной дроби является действительное число.
                    Отсюда 0.(9) — как минимум, действительное число (не последовательность).

                    Далее покажем, что 0.(9) является рациональным числом.
                    Рациональное число — число, представляемое обыкновенной дробью m/n, где m — целое число, а n — натуральное число.
                    Пусть x = .(9)

                    Обе части равенства умножаем на 10

                    10x = 10*.(9)
                    10x = 10*.9(9)
                    10x = 9.(9)

                    Вычитаем из обеих частей равенства x

                    10x — x = 9.(9) — x
                    9x = 9.(9) — .(9)
                    9x = 9 [1]

                    Делим обе части равенства на 9

                    x = 9/9
                    .(9) = 9/9 = 1/1 = 1

                    [1] 9.(9) = 9 + 0.(9):

                     9
                    +0.(9)
                    -------
                     9.(9)
                    • +1
                      9.(9) — 0.(9) = 9:
                      image
                      image
                      image
                    • –5
                      Бесконечная десятичная дробь — десятичная дробь, в записи которой после запятой содержится бесконечное количество цифр.
                      Если это так, то Вы правы. Но я не уверен, что это так.

                      Кстати, я с числом e промахнулся.
                      e = 2.718281828… — это действительно так. Потому что слева и справа написано одно и то же. e — это и есть бесконечная десятичная дробь, как и 2.718281828… А вот что такое эти бесконечные десятичные дроби и могут ли они равняться рациональным числам, неясно. С e совершенно точно понятно, что оно не может равняться рациональному числу, поэтому как пример, оно, к сожалению, не подходит.

                      С моей точки зрения, бесконечные десятичные дроби — это правила генерации соответствующих членов последовательности. А десятичные дроби, с моей точки зрения, относятся к рациональным числам. Под такие определения 0.999(9) и e ложатся как бесконечные десятичные дроби. На примере e можно показать, что класс бесконечных десятичных дробей шире класса десятичных дробей (если десятичные дроби включены в рациональные числа), поэтому не может в него входить. Значит, определение
                      Бесконечная десятичная дробь — десятичная дробь, в записи которой после запятой содержится бесконечное количество цифр.
                      не может считаться верным.

                      Кажется, непонимание между нами вызвано разным определением десятичной дроби. Вы считаете, что десятичная дробь может быть равна любому действительному числу, а я считаю десятичную дробь рациональным числом вида целое/10^целое (что-то вроде десятичного числа произвольной точности в программировании, например, Decimal в Python).
                      • +4
                        Но я не уверен, что это так.
                        Да это же определение.
                        • –2
                          Моё определение десятичной дроби уже общепринятого. #
                          • +2
                            Это уже недостаток вашего образования, а не дробей или чисел.

                            Остальные понимают под десятичной дробью именно то, что написал AraneusAdoro. Люди уже давно так договорились и выработали это определение, а то, что вы его не знаете — ну что же поделаешь, теперь знаете.