Парадокс Монти Холла и Excel

Несчастны те люди, кто не умеет программировать хотя бы на уровне формул Excel! Например, им всегда будет казаться, что парадоксы теории вероятностей – это причуды математиков, неспособных понимать реальную жизнь. Между тем, теория вероятностей как раз-таки моделирует реальные процессы, в то время как человеческая мысль часто не может в полном объеме осознать происходящее.

Возьмем парадокс Монти Холла, приведу здесь его формулировку из русской Википедии:

Представьте, что вы стали участником игры, в которой вам нужно выбрать одну из трёх дверей. За одной из дверей находится автомобиль, за двумя другими дверями — козы. Вы выбираете одну из дверей, например, номер 1, после этого ведущий, который знает, где находится автомобиль, а где — козы, открывает одну из оставшихся дверей, например, номер 3, за которой находится коза. После этого он спрашивает вас, не желаете ли вы изменить свой выбор и выбрать дверь номер 2. Увеличатся ли ваши шансы выиграть автомобиль, если вы примете предложение ведущего и измените свой выбор?

(при этом участнику игры заранее известны следующие правила:

1. автомобиль равновероятно размещён за любой из 3 дверей;
2. ведущий в любом случае обязан открыть дверь с козой (но не ту, которую выбрал игрок) и предложить игроку изменить выбор;
3. если у ведущего есть выбор, какую из 2 дверей открыть, он выбирает любую из них с одинаковой вероятностью)

На первый взгляд, шансы не должны измениться (простите, для меня это уже давно не парадокс, и я уже не могу придумать неверного объяснения, почему шансы не изменятся, которое на первый взгляд смотрелось бы логичным).

Обычно рассказчики этого парадокса начинают пускаться в сложные рассуждения или заваливать читателя формулами. Но если вы хоть чуточку умеете программировать, вам это не нужно. Вы можете провести моделирующие эксперименты, и посмотреть, как часто вы выигрываете или проигрываете при той или иной стратегии.

Действительно, что такое вероятность? Когда говорят «при данной стратегии, вероятность выигрыша 1/3» – это означает, что если вы проведете 1000 экспериментов, то примерно в 333 из них вы выиграете. Т.е., по-другому, шансы «1 из 3» – это в буквальном случае один из трех экспериментов. «Вероятность 2/3» – это точно так же буквально в двух случаях из трех.

Так вот, проведем эксперимент Монти Холла. Один эксперимент легко укладывается в одну строчку Excel-таблицы: вот она (файл стоит скачать, чтобы видеть формулы), приведу здесь описание по столбцам:

A. Номер эксперимента (для удобства)

B. Генерируем целое случайное число от 1 до 3. Это будет дверь, за которой спрятан автомобиль

C-E. для наглядности я разместил в этих ячейках «коз» и «автомобили»

F. Теперь мы выбираем случайную дверь (на самом деле можно выбирать все время одну и ту же дверь, т.к. случайности в выборе двери для автомобиля уже достаточно для модели – проверьте!)

G. Ведущий теперь выбирает дверь из двух оставшихся, чтобы открыть ее вам

H. И вот тут самое главное: он не открывает дверь, за которой автомобиль, а в случае, если вы изначально показали на дверь с козой, открывает другую единственно возможную дверь с козой! В этом его подсказка для вас.

I. Ну что ж, теперь посчитаем шансы. Пока не будем менять дверь – т.е. посчитаем случаи, когда столбец B равен столбцу F. Пусть будет “1” – выиграли, и “0” – проиграли. Тогда сумма ячеек (ячейка I1003) – это количество выигрышей. Должно получиться число, близкое к 333 (всего мы делаем 1000 экспериментов). Действительно, нахождение автомобиля за каждой из трех дверей – это равновероятное событие, значит выбирая одну дверь, шанс угадать – один из трех.

J. Маловато будет! Поменяем наш выбор.

K. Аналогично: «1» – выигрыш, «0» – проигрыш. И что же в сумме? А в сумме получается число, равное 1000 минус число из ячейки I1003, т.е. близкое к 667. Вас это удивляет? А разве что-то другое могло получиться? Ведь других закрытых дверей больше нет! Если изначально выбранная дверь дает вам выигрыш в 333 случаях из 1000, то другая дверь должна давать выигрыш во всех оставшихся случаях!

Понимаете теперь меня, почему я тут не вижу парадокса? Если есть две и только две взаимоисключающие стратегии, и одна дает выигрыш c вероятностью p, то другая должна давать выигрыш с вероятностью 1-p, какой же это парадокс?

Если вам понравился этот пост, попробуйте теперь построить аналогичный файл для парадокса мальчиков и девочек в следующей формулировке:

Мистер Смит отец двоих детей. Мы встретили его, прогуливающегося по улице с маленьким мальчиком, которого он с гордостью представил нам, как своего сына. Какова вероятность того, что другой ребёнок мистера Смита тоже мальчик?

С приветом из солнечного Вьетнама! :) Приезжайте к нам работать! :)