Пользователь
0,0
рейтинг
23 декабря 2013 в 15:10

Разработка → Эффективный счёт в уме или разминка для мозга из песочницы

Эта статья навеяна топиком «Как и насколько быстро вы считаете в уме на элементарном уровне?» и призвана распространить приёмы С.А. Рачинского для устного счёта.
Рачинский был замечательным педагогом, преподававшим в сельских школах в XIX веке и показавшим на собственном опыте, что развить навык быстрого устного счёта можно. Для его учеников не было особой проблемой посчитать подобный пример в уме:

image


Используем круглые числа

Один из самых распространённых приёмов устного счёта заключается в том, что любое число можно представить в виде суммы или разности чисел, одно или несколько из которых «круглое»:

image

Т.к. на 10, 100, 1000 и др. круглые числа умножать быстрее, в уме нужно сводить всё к таким простым операциям, как 18 x 100 или 36 x 10. Соответственно, и складывать легче, «отщепляя» круглое число, а затем добавляя «хвостик»: 1800 + 200 + 190.
Еще пример:
31 x 29 = (30 + 1) x (30 - 1) = 30 x 30 - 1 x 1 = 900 - 1 = 899. 

Упростим умножение делением

При устном счёте бывает удобнее оперировать делимым и делителем нежели целым числом (например, 5 представлять в виде 10:2, а 50 в виде 100:2):
68 x 50 = (68 x 100) : 2 = 6800 : 2 = 3400;
3400 : 50 = (3400 x 2) : 100 = 6800 : 100 = 68. 

Аналогично выполняется умножение или деление на 25, ведь 25 = 100:4. Например,
600 : 25  = (600 : 100) x 4 = 6 x 4 = 24;
24 x 25 = (24 x 100) : 4 = 2400 : 4 = 600. 

Теперь не кажется невозможным умножить в уме 625 на 53:
625 x 53 = 625 x 50 + 625 x 3 = (625 x 100) : 2 + 600 x 3 + 25 x 3 = (625 x 100) : 2 + 1800 + (20 + 5) x 3 = 
= (60000 + 2500) : 2 + 1800 + 60 + 15 = 30000 + 1250 + 1800 + 50 + 25 = 33000 + 50 + 50 + 25 = 33125. 

Возведение в квадрат двузначного числа

Оказывается, чтобы просто возвести любое двузначное число в квадрат, достаточно запомнить квадраты всех чисел от 1 до 25. Благо, квадраты до 10 мы уже знаем из таблицы умножения. Остальные квадраты можно посмотреть в нижеприведённой таблице:

image

Приём Рачинского заключается в следующем. Для того чтобы найти квадрат любого двузначного числа, надо разность между этим числом и 25 умножить на 100 и к получившемуся произведению прибавить квадрат дополнения данного числа до 50 или квадрат избытка его над 50-ю. Например,
37^2 = 12 x 100 + 13^2 = 1200 + 169 = 1369; 
84^2 = 59 x 100 + 34^2 = 5900 + 9 x 100 + 16^2 = 6800 + 256 = 7056;

В общем случае (M — двузначное число):

image

Попробуем применить данный трюк при возведении в квадрат трёхзначного числа, разбив его предварительно на более мелкие слагаемые:
195^2 = (100 + 95)^2 =  10000 + 2 x 100 x 95 + 95^2 = 10000 + 9500 x 2 + 70 x 100 + 45^2 = 10000 + (90+5) x 2 x 100 + 
+ 7000 + 20 x 100 + 5^2 = 17000 + 19000 + 2000 + 25 = 38025. 

Хм, я бы не сказала, что это сильно легче, чем возведение в столбик, но, возможно, со временем можно приноровиться.
И начинать тренировки, конечно, следует с возведения в квадрат двузначных чисел, а там уже и до дизассемблирования в уме можно дойти.

Умножение двузначных чисел

Этот интересный приём был придуман 12-летним учеником Рачинского и является одним из вариантов добавления до круглого числа.
Пусть даны два двузначных числа, у которых сумма единиц равна 10:
M = 10m + n, K = 10a + 10 - n.

Составив их произведение, получим:

image

Например, вычислим 77 x 13. Сумма единиц этих чисел равна 10, т.к. 7 + 3 = 10. Сначала ставим меньшее число перед большим: 77 x 13 = 13 x 77.
Чтобы получить круглые числа, мы забираем три единицы от 13 и добавляем их к 77. Теперь перемножим новые числа 80 x 10, а к полученному результату прибавим произведение отобранных 3 единиц на разность старого числа 77 и нового числа 10:
13 x 77 = 10 x 80 + 3 x (77 - 10) = 800 + 3 x 67 = 800 + 3 x (60 + 7) = 800 + 3 x 60 + 3 x 7 = 800 + 180 + 21 = 800 + 201 = 1001. 

У этого приёма есть частный случай: всё значительно упрощается, когда у двух сомножителей одинаковое число десятков. В этом случае число десятков умножается на следующее за ним число и к полученному результату приписывается произведение единиц этих чисел. Посмотрим, как элегантен этот приём на примере.
48 x 42. Число десятков 4, последующее число: 5; 4 x 5 = 20. Произведение единиц: 8 x 2 = 16. Значит,
48 x 42 = 2016.

99 x 91. Число десятков: 9, последующее число: 10; 9 x 10 = 90. Произведение единиц: 9 x 1 = 09. Значит,
99 x 91 = 9009.

Ага, то есть, чтобы перемножить 95 x 95, достаточно посчитать 9 x 10 = 90 и 5 x 5 = 25 и ответ готов:
95 x 95 = 9025. 

Тогда предыдущий пример можно вычислить немного проще:
195^2 = (100 + 95)^2 =  10000 + 2 x 100 x 95 + 95^2 = 10000 + 9500 x 2 + 9025 = 10000 + (90+5) x 2 x 100 + 9000 + 25 = 
= 10000 + 19000 + 1000 +  8000  + 25 = 38025. 

Вместо заключения

Казалось бы, зачем уметь считать в уме в 21 веке, когда можно просто подать голосовую команду смартфону? Но если задуматься, что будет с человечеством, если оно будет взваливать на машины не только физическую работу, но и любую умственную? Не деградирует ли оно? Даже если не рассматривать устный счёт как самоцель, для закалки ума он вполне подходит.

Использованная литература:
«1001 задача для умственного счёта в школе С.А. Рачинского».
Лейла @Myosotis
карма
14,5
рейтинг 0,0
Пользователь
Реклама помогает поддерживать и развивать наши сервисы

Подробнее
Реклама

Самое читаемое Разработка

Комментарии (35)

  • +6
    Когда читаю про подобные приёмы, всегда вспоминаю рассказ Азимова «Чувство силы».
  • +2
    В 80-х годах, когда калькуляторы в школах были редкостью, в моей школе в программу обучения математике входили уроки устного счета. Нужно было за отведенное время произвести в уме операции над данными числами и записать результат на персональной дощечке. Тогда этого не говорилось, но теперь я вижу, что те приемы счета, что на них давали, основывались на приемах Рачинского.
  • +15
    Я дико извиняюсь, но числа, заканчивающиеся на 5, возводятся в квадрат много проще. Надо отбросить 5, оставшееся число умножить на само себя, увеличенное на 1. К результату приписать 25. Все.

    195^2 = (19*20)_25 = 38025
    • +6
      Теперь я вижу, что мой пример не совсем удачный. Зато, благодаря вашему комментарию, узнала ещё один способ =)
      • +1
        Тот пример не совсем удачный ещё и потому, что

        195 = 200 — 54
        195^2 = (200 — 5)^2 = 40000 — 2*5*200 + 25 = 40000 — 2000 + 25 = 38025
        • +1
          Может я что то не понял но почему например это не работает как с примером 48 x 42 = 2016.
          48 х 41 = 1968, хотя по этой схеме должно быть 4х5 = 20 и 8х1=08, то должно быть 2008.
          По аналогии с 99 x 91 = 9009, 98х91=8918, а не 9008.

          Видно забыли уточнить, что не только равное число десятков, но и единицы должны давать 10, тогда работает.
          Например 66х64=4224.

          Ах, да, извиняюсь. Там же написано про это выше! Глупая моя голова…
    • +1
      «Но не так-то просто умножить в уме 62 на 63...» (с)
      Если у нас трёхзначное число AB5, то чтобы возвести его в квадрат, делаем так:

      К числу AB прибавляем (B+1). Сумму умножаем на А. Произведение умножаем на 1000 и прибавляем (B5)^2 (если оно трёхзначное — то просто приписываем).
      Например, 735^2:
      73+4=77
      77*7=539
      35^2=1225
      539000+1225=540225
    • +1
      Схема x^2=(x+y)(x-y)+y^2
  • +2
    На эту тему есть замечательная книга — «Техника счета», если не изменяет память, автор Сорокин
  • +1
    Благодаря всей этой фигне я окончательно разучился считать в уме, потому что давно вместо простого перемножения занимаюсь выдумыванием облегчающих жизнь приёмов, которые по факту ничего не облегчают.

    BTW, перемножать двузначные числа легко:

    xy * zt = (x * y)00 + (x * z + y * t)0 + yt

    здесь, x, y, z, t — цифры, запись "(x * y)00" читать как «приписываем два нуля к выражению в скобках».
    • +2
      Это если изредка прочитать пару приёмов, пару раз использовать и всё, и при реальной потребности начинать заново придумывать/вспоминать. А чтобы счёт ускорился нужно просто довести до автоматизма долгими тренировками, чтобы не вспоминать/придумывать приём, когда видишь пример, а просто всплывал в голове готовый ответ.
      • 0
        Тогда можно просто выучить таблицу умножения всех 2-значных чисел :)
        • 0
          А заодно и трехзначных, плюс аналогичные таблицы для сложения, вычитания и деления :)
          • 0
            Да не, таблица умножения 2-значных чисел только кажется большой. Первые 100 чисел мы учим в школе — это обычная таблица умножения до 10*10, квадраты 11*11, 12*12, 13*13 и т.д. со временем тоже запоминаются. Умножения на 10, 20, 30, 40, 50 — тоже легко. Чуть сложнее с умножением на числа, кратные 5 (но можно же и вышеописанным трюком воспользоваться), а остальное почти и не нужно. Для прикидок достаточно, а точные числа лучше на калькуляторе получать.
            • 0
              Ну, и остаётся 4000 с лишним произведений, которые в эти множества не попадают. Совсем немного :)
    • +1
      BTW, xy * zt = (x * z)00 + (y * z + x * t)0 + y * t
      • 0
        А и правда, между прочим.
  • 0
    (10^2 + 11^2 + 12^2 + 13^2 + 14^2)/365 = ( (12-2)^2 + (12-1)^2 + 12^2 + (12+1)^2+(12+2)^2 ) / 365 = (5*12^2+1+1+4+4)/365^2 =
    = 5*(12^2+2)/(5*73) = 146/73 = 2
    • +2
      Это я к тому, что сначала надо думать, а потом уже считать

      PS. Там в конце первой строки ^2 — лишнее
  • +3
    Не совсем по теме, но в числителе довольно занимательная сумма (кажется, так и называется «Ряд Рачинского»).

    Дело в том, что сумма первых трех слагаемых равна сумме последних двух слагаемых и равна она в точности 2*365. Эта особенность была известна Рачинскому, о чем было написано в небезызвестной книге Перельмана об арифметике.

    Но и это еще не все. Вместе с рядом Рачинского мы уже знаем как минимум два подобных тождества:
    — 3^2 + 4^2 = 5^2;
    — 10^2 + 11^2 + 12^2 = 13^2 + 14^2.

    Если взять за N количество слагаемых слева от знака равенства, а за X первое слагаемое, то, решив полученное уравнение, получим два решения:
    1. X1 = -N;
    2. X2 = (N-1)(2N-1).

    Первое решение тривиальное, и, по сути, говорит нам, что любой ряд такого плана будет тождеством:
    (-2)^2 + (-1)^2 + 0^2 = 1^2 + 2^2

    А вот второе решение уже интереснее. Из него мы получим такие тождества:
    — N=1: X = 3 => 3,4 = 5;
    — N=2: X = 10 => 10, 11, 12 = 13, 14;
    — N=3: X = 21 => 21, 22, 23, 24 = 25, 26, 27;


    Честно говоря, не помню, как называются эти ряды, но Рачинский как раз на этом и строил решение предлагаемой им задачи. Вообще, математика удивительная вещь. Вроде бы ее придумали люди, но потом уже она стала диктовать свои правила придумавшим же ее людям. :-)
    • 0
      В ProjectEuler есть задача на более общие тождества такого же вида (сумма m+1 последовательных квадратов слева равна сумме m последовательных квадратов справа), когда нет ограничения, что последовательность справа продолжает последовательность слева, под номером 261 (русский перевод).
      Например: 1082 + 1092 + 1102 = 1332 + 1342.
  • +9
    Почему тут до сих пор нет этой картины?
    Длиннокот
  • +3
    Ага, главная проблема не разложить, а удержать в голове все эти слагаемые и ничего при этом не забыть.
    • 0
      Вот-вот, заодно и память тренируется
  • +1
    image
    • +1
      Переход от примера на картинке к 365*6. 365 просто совпадение?

      Пример на картине всегда считал, что решает устно вот так
      10^2 + 11^2 + 12^2 + 13^2 + 14^2 = 100 + 121 + 144 + 169 + 196 = 100 + (121+169) + (144+196) = 100 + 290 + 340 = 730; 730 / 365 = 2
      Очень удобно компоновать числа ...1+...9 и ...4+...6. Не думаю что это простое совпадение в примере.

      > Благо, квадраты до 10 мы уже знаем из таблицы умножения
      Таблица, таблицей… Но считаю что как минимум квадраты до 15 надо знать всем, как 2*2.
      Я лично так понял эту картину в детстве. Тот же пример решения от mkal считаю куда сложней…
      • +1
        Не думаю что это простое совпадение в примере.

        Правильно заметили =) Рачинский чуть ли не индивидуально для каждого ученика придумывал задания. Чтобы заинтересовать математикой давал примеры с забавными результатами. Например,
        111*91 = 10101
        126*81 = 10206
        285*73 = 20805
      • 0
        всё-таки с применением (10+x)^2 считать гораздо проще:
        10^2 + 11^2 + 12^2 + 13^2 + 14^2 = 5*10^2 + 2*10*(0+1+2+3+4) + 1 + 4 + 9 + 16 = 500 + 200 + 30 = 730
        тут нет необходимости помнить наизусть квадраты чисел, больше 10, а самой «сложной» частью вычисления становится сумма квадратов от 0 до 4.
  • +2
    Вангую неделю перепечаток из Перельмана
  • 0
    Ну надо же, меня мама так учила считать в уме, когда я был маленький. А её научили этому ещё в школе, в глухой деревеньке.
    До сих пор так считаю. Даже не подозревал, что для кого-то это будет открытием — для меня это было и есть норма жизни)
  • 0
    Я еще знаю одну хитрость при умножении двузначного на 11.
    Нужно просуммировать цифры первого множителя, если число вышло меньше 10, то просто вставить это число, т.е. уже цифру в середину, это и будет ответом, если число больше 10, то нужно 1ую цифру множителя увеличить на 1, а вторую цифру ответа также вставить в середину.
    Примеры:
    27*11 = 2_(2+7)_7 = 297

    38*11 = 3_(3+8)_8 = (3)_(11)_8 = (3+1)_1_8 = 418

    76*11 = 7_(13)_6 = 836
  • 0
    Вы еще помните, как умножать и делить «столбиком», на бумаге, без калькулятора?
    • +1
      Я помню даже как извлекать квадратный корень. Столбиком :)
    • 0
      В школе всё время забывал, как считать столбиком, и вместо этого считал в уме — так проще.

Только зарегистрированные пользователи могут оставлять комментарии. Войдите, пожалуйста.