Пользователь
0,0
рейтинг
12 августа 2014 в 17:52

Разработка → Папа, а почему на ноль делить нельзя? из песочницы tutorial

Моя трёхлетняя дочка София в последнее время частенько упоминает «ноль», например, в таком контексте:
— Соня, вот ты вроде сначала не послушалась, а затем послушалась, что же получается?..
— Ну… ноль!

Т.е. ощущение отрицательных чисел и нейтральности нуля уже имеет, о как. Скоро поинтересуется: почему же это на ноль делить нельзя?
И вот решил я простыми словами записать всё, что я ещё помню про деление на ноль и всё такое.

Деление вообще лучше один раз увидеть, чем сто раз услышать.
Ну, или один разделить на икс раз увидеть…

1/x

Тут сразу видно, что ноль — это центр жизни, вселенной и всего такого. Ответом на главный вопрос про всё это пусть себе будет 42, а вот центр — по-любому 0. У него даже знака нет, ни плюс (послушалась), ни минус (не послушалась), он таки реально ноль. И в поросятах знает толк.

Потому что если любого поросёнка умножить на ноль, то поросёнка засасывает в эту круглую чёрную дыру, и получается опять ноль. Не такой уж этот ноль и нейтральный, когда дело от сложения-вычитания доходит до умножения, не говоря уже про деление… Там если ноль сверху «0/x» — то опять чёрная дыра. Всё поедает в ноль. А вот если при делении, да ещё и снизу — «x/0», то начинается… следуй за белым кроликом, Соня!

В школе тебе скажут «на ноль делить нельзя» и не покраснеют. В доказательство тыкнут на калькуляторе «1/0=» и обычный калькулятор, тоже не покраснев, напишет «E», «Error», мол, «нельзя — значит нельзя». Хотя что там у тебя будет считаться обычным калькулятором — ещё вопрос. Мне вот сейчас, в 2014-ом, стандартный калькулятор на телефоне-андроиде пишет совсем другое:

inf

Ничего себе бесконечность. Скользи себе взглядом, круги нарезай. Вот тебе и нельзя. Оказывается можно. Если осторожно. Потому что не осторожно мой Android пока тоже не согласен: «0/0=Error», опять нельзя. Попробуем ещё разок: «-1/0 = -∞», о как. Интересное мнение, но я с ним не согласен. Как не согласен и с «0/0=Error».

Кстати, JavaScript, который питает нынешние сайты, тоже не согласен с калькулятором андроида: зайди в консоль браузера (ещё F12?) и напиши там: «0/0» (ввод). JS тебе ответит: «NaN». Это не ошибка. Это «Not a Number» — т.е. какая-то штука такая, но не число. При том что «1/0» JS тоже понимает как «Infinity». Это уже ближе. Но пока только тепло…

В университете — высшая математика. Там пределы, полюса, и прочее шаманство. И всё усложняется, усложняется, ходят вокруг да около, но только бы не нарушать хрустальные законы математики. А вот если не пытаться вписать деление на ноль в эти существующие законы, то можно прочувствовать эту фантастику — на пальцах.

Для этого посмотрим-ка ещё раз на деление:

1/x

Следи за правой линией, справа налево. Чем ближе икс к нулю, тем сильнее взлетает вверх разделённое на икс. И где-то там в облаках «плюс бесконечность». Она всегда дальше, как горизонт, её не догонишь.

А теперь следи за левой линией, слева направо. Та же история, только теперь разделённое улетает вниз, бесконечно вниз, в «минус бесконечность». Отсюда и мнение, что «1/0= +∞», а «-1/0 = 1/-0 = -∞».

Но фокус в том, что «0 = -0», нету у нуля знака, если не усложнять с пределами. И вот если поделить единицу на такой «простой» ноль без знака, то не логично ли предположить, что получится и бесконечность — «просто» бесконечность, без знака, как ноль. Где она — сверху или снизу? Она везде — бесконечно далеко от нуля во всех направлениях. Это и есть ноль, вывернутый наизнанку. Ноль — нет ничего. Бесконечность — есть всё. И положительное, и отрицательное. Вообще всё. И сразу. Абсолют.

Но там что-то было про «0/0», что-то другое, не бесконечность… Сделаем такой трюк: «2*0=0», ага, скажет учительница в школе. Ещё: «3*0=0» — опять ага. И немного наплевав на «на ноль делить нельзя», мол, весь мир и так потихоньку делит, получим: «2=0/0» и «3=0/0». В каком там классе это проходят, только без нуля, конечно.

Минуточку, получается «2 = 0/0 = 3», «2=3»?! Вот поэтому и боятся, вот поэтому и «нельзя». Страшнее «1/0» только «0/0», его даже калькулятор андроида боится.

А мы не боимся! Потому что у нас есть сила математики воображения. Мы можем представить себя бесконечным Абсолютом где-то там в звёздах, посмотреть оттуда на грешный мир конечных чисел и людей и понять, что с этой точки зрения они все одинаковые. И «2» c «3», и даже «-1», и училка в школе, возможно, тоже.

Так вот, я скромно предполагаю, что 0/0 — это весь конечный мир, точнее всё, что и не бесконечно и не пустота.

0/x

Вот как выглядит ноль, делённый на икс, в моих фантазиях, далёких от официальной математики. На самом деле похоже на 1/х, только перегиб не в единице, а в нуле. Кстати, у 2/x перегиб в двойке, а у 0.5/x — в 0.5.

Получается, 0/x при x=0 принимает все конечные значения — не бесконечности, не пустоту. Там в графике дырочка в нуле, оси проглядывают.

Можно конечно возразить, что «0*0 = 0», а значит ноль (пустота) тоже попадает в категорию 0/0. Чуть забегу вперёд — там будут степени нуля и это возражение разлетится в осколки.

В таких божественных категориях есть лишь пустота (0), конечный мир (0/0), и бесконечность (1/0).

Упс, единичка-то в бесконечности тоже может быть тоже записана как 0/0, получится (0/0)/0 — бесконечность. Вот теперь порядок, всё можно выразить соотношением нулей.

И эти категории подчиняются многим законам обычных чисел, показывая весьма интересные отношения.

Например, если к бесконечности прибавить конечное, то бесконечность поглотит конечное, останется бесконечностью:
1/0 + 0/0 = (1+0)/0 = 1/0.

А если бесконечность умножить на пустоту, то они поглощают друг друга, и получается конечный мир:
1/0 * 0 = (1*0)/0 = 0/0.

Но это только первый уровень сновидений. Можно копать глубже.

Если ты уже знаешь понятие «степень числа», и что «1/x = x^-1», то, подумав, сможешь перейти от всех этих делений и скобок (вроде (0/0)/0) просто к степеням:
1/0 = 0^-1
0/0 = 0^0
0 = 0^1

Подсказка.
Тут с бесконечностью и пустотой всё просто, как в школе. А конечный мир переходит к степеням вот так:
0/0
= (0*1)/0
= 0*(1/0)
= 0 * 1/0
= 0^1 * 0^-1
= 0^(1 + -1)
= 0^(1-1)
= 0^0.

Уфф!

Получается, что положительные степени нуля — это нули, отрицательные степени нуля — это бесконечности, а нулевая степень нуля — это конечный мир.

Такой вот получается универсальный объект «0^x». Такие объекты прекрасно между собой взаимодействуют, опять-таки многим законам подчиняются, красота, в общем.

Моих скромных познаний математики хватило, чтобы нарисовать из них абелеву группу, которая, будучи изолированной в вакууме («просто абстрактные объекты, такая форма записи, вроде экспоненты»), даже выдержала проверку крутейшим преподом по матану с вердиктом «интересно, но ничего не получится». Ещё бы тут что-нить получилось, это ж табуированная тема — деление на ноль. В общем, не грузись.

Попробуем лучше просто умножить бесконечность на конечное число:
0^-1 * 0^0 = 0^(-1 + 0) = 0^-1.

Опять же, бесконечность поглотила конечное число так же, как и её антипод ноль поглощает конечные числа, та же чёрная дыра:
0^1 * 0^0 = 0^(1 + 0) = 0^1.

А ещё оказывается что степени — это как сила. Т.е. ноль второй степени сильнее нуля обычного (первой степени, 0^1). И бесконечность минус второй степени сильнее бесконечности обычной (0^-1).

А когда пустота сталкивается с абсолютом, они меряются силой — у кого больше, тот и победит:
0^1 * 0^-2 = 0^(1 + -2) = 0^-1 = ∞.
0^2 * 0^-1 = 0^(2 + -1) = 0^1 = 0.

Если же они равны силами, то аннигилируются и остаётся конечный мир:
0^1 * 0^-1 = 0^(1 + -1) = 0^0.

Кстати, официальная математика уже рядом. Её представители знают про «полюса» и что у полюсов разная сила (порядок), а так же про «нуль порядка k». Но они всё топчутся на прочной поверхности «рядом с» и боятся прыгнуть в чёрную нору дыру.

И последний для меня — третий уровень сновидений. Вот, например, эти все 0^-1 и 0^-2 — бесконечности разной силы. Или 0^1, 0^2 — нули разной силы. Но ведь и «-1» и «-2» и «+1» и «+2» — это всё — 0/0, равное 0^0, уже проходили. Получается, что с этого уровня сновидений, уже всё равно вообще что это — нули, бесконечности, и даже конечный мир туда при некотором просветлении попадает. В одну точку. В одну категорию. Называется это счастье — Сингулярность.

Надо признать, что вне состояния просветления одной точки я не наблюдаю, но одну категорию — объединение «0^0 U 0^(0^0)» — вполне.

Какую из всего этого можно вынести пользу? Ведь даже чуть менее безумные «мнимые числа», что тоже рвут калькуляторы в Error = √-1, и те смогли стать официальной математикой и теперь упрощают расчёты сталеварения.

С делением на ноль и категориями 0^x польза, скорее, философская. Увидеть, как бесконечности и пустоты поглощают конечное, как пустота может победить бесконечность, а может случиться и наоборот.

Как листья на дереве издалека кажутся одинаковыми, но если рассмотреть их внимательнее — они все разные. А если задуматься, то опять одинаковые. И мало чем отличаются от тебя или меня. Вернее, вообще ничем не отличаются, если крепко задуматься.

Польза тут в умении и фокусироваться на отличиях и абстрагироваться. Это очень полезно и в работе, и в жизни, и даже в отношении к смерти.

Вот такие путешествия в кроличью нору, Соня!
Денис Рыжков @denis-ryzhkov
карма
32,0
рейтинг 0,0
Реклама помогает поддерживать и развивать наши сервисы

Подробнее
Спецпроект

Самое читаемое Разработка

Комментарии (281)

  • +19
    Безумно.Увлекательно :)
    • +39
      согласен…
      но таки бедный ребёнок :)
      • +14
        Да нет, вполне себе счастливый и жизнерадостный малыш. Я же ей пока не говорю про деление на ноль, я же не настолько безумен) Вот когда сама спросит — дам ей ссылку на этот пост.
        • +3
          Эх, мечты мечты… Бедные родители готовят посты к вопросу о делении на ноль, а дети, о том не ведая, предпочитая вопросы посложнее:

          — Когда прилетят инопланетяне, они на нас будут нападать?
          — Почему у меня 2 бабушки и только один дед Олег?
          — Курицу, которую мы едим, убивают или она сама умирает?
          — Пап, а почему ты ссоришься с мамой?
          — Почему вода мокрая?
          — Почему мне нельзя спать с вами?

          Причем каждый вопрос рождает еще 10 новых )
      • +27
        Как раз не бедный. Ребёнок имеет полное право на правду по поводу деления на ноль. Надо вывести всю правду про ноль на чистую воду. Нельзя обманывать ребёнка и прикрываться розовыми пони и пушистыми котятами!
        • +2
          Верно!
          Не нужно говорить в одном классе что это делать нельзя, а в следующем рассказывать что можно, но с условиями.
          Не обязательно ребенка сразу во всю пучину математики окунать, но текущее преподавание напоминает следующее, если бы речь шла о географии:
          1 класс — земля плоская и существует только одна наша страна, солнце крутиться вокруг земли.
          2 класс — земля плоская, но существуют другие страны на одном континенте, солнце крутиться вокруг земли
          3 класс — земля плоская, существуют другие континенты и страны, солнце крутиться вокруг земли.
          4 класс — земля изогнутая, существуют другие континенты, страны и народы, солнце крутиться вокруг земли.
          5 класс — земля (оказывается) круглая, а том, что вокруг чего крутиться вам расскажут на уроке астрономии с 6 класса…
          • 0
            Земля не круглая, земля — геоид.
            • +7
              Это уже первый курс.
              • 0
                Мне дедушка так говорил, когда мне лет пять было. И я это понимал примерно как «своя ни на что не похожая форма». Как «шар имеет форму шара».
                • 0
                  Само собой. Просто, если продолжать ряд, приведенный horses, то геоид будет изучаться не раньше первого курса. А в школе Земля будет правильной геометрической фигурой…
                  • –1
                    О том что земля геоид, нам говорили на географии еще в школе.
            • 0
              А разве геоид квадратный? вполне себе круглый. Только не сферический ;)
              • +1
                Но в вакууме.
          • +5
            Ну про ться/тся говорят с 5ого класса, но всё равно не помогает (:
          • 0
            Только за георграфией не должны забываться и другие науки.
    • +5
      Спасибо! Так и задумано)
      • +3
        Ваша статья напоминает мне горячо любимые в детстве книги Якова Перельмана (из серий «Занимательная физика», "… математика", и т.п.).

        Именно с подобных текстов зарождается интерес к науке, пробуждается исследовательский аппетит и любознательность. «А почему бы и не» — это то, что может сделать из ребёнка, впоследствии, великого учёного, заронив зерно жажды к познанию. Спасибо, что написали эту статью! Хочется видеть больше таких дерзких и талантливых (пусть иногда и «безумных») экспериментов!
  • +8
    Вы дочке на ночь ещё не читали «Автоматическую Алису» Джеффа Нуна?
    • +2
      О, спасибо, прочитаю сам, а когда-нить и дочке.
      • +3
        А «Белый Свет» Руди Рюкера с ана-ката путешествиями по бесконечным горам?
      • +2
        Я эти книги упомянул, потому что редко кто может увлекательно писать о пол-дэнсе вокруг воображаемых осей.
        Авторам тех книг удалось, вам тоже.
        • 0
          Пока ещё не знаю, что такое пол-дэнс и ана-ката, но после прочтения «Белого Света» думаю узнаю. Спасибо за рекомендации.
          • +1
            Pole dance, наверное :)
      • 0
        Ну дочери наверное не стоит читать… все таки эти головоломные убийствa могут помешать спокойному сну ребенка.
  • +1
    Расскажите, пожалуйста, какие книги вы читаете дочке? И с какого возраста?
    • +3
      Очень много разных. И сказки, и стихи — не гружу математикой, поверьте.
      Но т.к. я стараюсь объяснять, как что устроено, то Соня чаще просит меня читать ей такие книги:
      «Учим цвета», «Открой тайны техники», «Стройка баюшки-баю»,
      про подводный мир, про тело человека, про динозавров, и ещё про кучу всего.
      С какого возраста начали читать, не помню, это было давно.
      • +1
        Очень рекомендую тогда детскую энциклопедию "Чевостика"
        • +11
          Современный аналог одной из любимых книг моего детства «Почемучка»? Правда у меня была черная.
          image
          • +1
            У меня тоже чёрная была. Не книжка, а сказка. Ещё журнал «А почему?», тут подборка есть: publ.lib.ru/ARCHIVES/A/%27%27A_pochemu%27%27/_%27%27A_pochemu%27%27.html
          • +2
            Это ОНА!!! Эта книга сделала меня инженером, и вообще, повернутым на всякой технике.
            • 0
              Знаете, вот мне тоже всю жизнь было интересно не только как, но и почему. Если вы хоть чуточку готовите, я очень советую книгу Cooking for Geeks (к сожалению на русском языке её нет). Там как раз ОЧЕНЬ много ответов на всякие «как и почему» в сфере кулинарии.
              • 0
                Мы любим готовить. Соня обожает экспериментировать, смешивая совершенно неожиданные ингредиенты. И что удивительно, иногда получается очень даже ничего.
          • 0
            Добавил в список к прочтению: «Чевостика», «Почемучка», «А почему». — Спасибо!
            • 0
              В «Почемучке» последняя глава целиком посвящена преимуществу советского строя над всеми прочими. Эта глава мне не нравилась, т.к. был уже год 93-94 и она была неактуальна. Все остальные главы я зачитал до дыр.
      • 0
        А Вас не затруднит еще пару тройку книжек назвать? (или список :) )
        Залез в магазин посмотреть-купить те что скинули — теперь не могу остановится.

        PS. Правда возраст мне нужен поменьше ~ 3 года, но Тайны техники и цвета я уже заказал
        • +1
          Простите, что ответил не сразу.
          Сегодня добавил комментарий, в котором собраны книги для детей (и не только) на основе всех рекомендаций, сделанных в комментариях к этой статье.
          А тут можно посмотреть интересные книги на другие темы для возраста 1-3 года.
  • +17
    Чем только не занимаются люди, лишь бы про предельный переход позабыть :)
    • +4
      Можно и без пределов обойтись, если использовать гиперреальные числа, например.
  • –3
    Но почему эти калькуляторы выдают бесконечность при делении на ноль, деление на ноль же не может дать бесконечность. Бесконечность получается таким, например, образом lim 1/n, n -> 0. Но это же не деление на ноль, а просто последовательность чисел, удовлетворяющая определенному неравенству.
    • +8
      Потому что так сказано в стандарте IEEE 754. А в стандарте так сказано, потому что в некоторых случаях эти результаты (+Inf, -Inf, NaN) оказываются осмысленными.
  • +3
    Нам в своё время объясняли коротко и ясно, помню до сих пор.
    Деление на «x», это короткая запись линейного уравнения «делитель» * «x» = «делимое».
    При таком раскладе видно, что если делитель = 0, то уравнение не имеет решения, так как при любом «x» ответ равен 0.
    А раз уравнение не имеет решения, то и запись такая будет не верна.
    • 0
      Однако, если делимое тоже равно нулю, то любой икс будет решением этого уравнения, разве нет? А как же уравнения вроде x * x = -1? Тоже запись не верна?
      • +3
        Да верна запись, просто смысла не имеет. Можно приписать смысл, кто мешает. Всего-то надо объяcнить, как интерпретировать результат и что с ним делать. В случае с x*x=-1 как раз это сделано (Эйлером), а для 0/0 такой же интерпретации, с которой все были бы согласны, нет.
        • –1
          Я искренне надеюсь, что найдётся настоящий математик (я увы таковым не являюсь и не стремлюсь стать), который сможет правильно ввести деление на чистый ноль (безо всяких пределов и т.д.) в официальную математику. И если вдруг моё скромное эссе этому математику хоть чуть-чуть пригодится, я буду счастлив.
          • 0
            Лихо вы «настоящим математикам» задания выдаете… Кстати, в комментариях уже были упомянуты гиперреальные числа, правда, никакой информации по ним я не нашел, кроме их существования.

            И, да, почему пределы не являются «правильным» способом? Потому что вы их не поняли — или есть более серьезные причины?
            • 0
              Да, со словом «правильно» я погорячился. Конечно пределы правильны, и я их вроде бы понимаю, до какой-то глубины. Более серьёзная причина — отсутствие общепризнанных математических моделей про успешное деление на чистый ноль, а не на величину, стремящуюся к нулю.
              • +6
                В математике есть общепризнанная модель про чистое деление на 0. И эта модель говорит, что на 0 делить нельзя. Конечно, можно придумать такую алгебраическую структуру, где будет деление на 0, скорее всего вам это не даст ровно ничего полезного, зато уничтожит все приятные и нужные свойства. Да кстати такая алгебра и есть, называется Wheel , причем люое комутативное кольцо можно в него превратить.
          • +6
            Я, как человек увлекающийся абстрактной алгеброй, вот что скажу:
            Делать на ноль «нельзя», ибо в нашей алгебраической структуре, например поле комплексных чисел, это операция не определена. И все.
            В гиперреальных числах, насколько я знаю, вводят понятие бесконечно малой и делят на нее, получая «бесконечно большое» «число».
            Не знаю, зачем вам так нужно деление на ноль, в математике такой необходимости я как-то не заметил.
            Более того, странно пытаться «делить на ноль», если мы изначально построили структуру так, что делить на него нельзя.
            Когда на комплексной плоскости добавляют точку \inf — это лишь «компактификация» комплексной плоскости, проективная комплексная прямая или просто сфера(Римана). Там чисто для удобства определяют некоторые операции с бесконечностью, но и то не до конца.
            • –2
              Уравнение прямой (ax + by = c) позволяет описать любую прямую на плоскости. Другая его форма (y = a + bx), не позволяет описывать вертикальные прямые, пока не будет введено деление на ноль, где 0/0 эквивалентно множеству всех чисел, а n/0 пустому множеству.
              • +1
                Вы написали совершенно математический бред. Тот пример, что вы привели — объясняется лишь тем, что мы для первого семейства прямых наложили условие, что b!=0. Все. И выразили игрек. Какой-то бред написан про «0/0 множество всех чисел». Как вы собрали «складывать» множество всех чисел и число? Смешно.
                • –1
                  Вот именно что вторая форма записи теряет решение перпендикулярное оси x. Множества складываются очень просто: {a,b}+{c,d} = {a+c,a+d,b+c,b+d}. Просто число эквивалентно множеству из одного этого числа. Пример, который знаком всем: +-sqrt(-1) — является ни чем иным как множеством всех (двух) решений уравнения i^2 = -1
                  • 0
                    Ничего она не теряет. Мы наложили условие и привели к другой форме. Про сложение множеств — совершенно бред. Я могу ввести что угодно и назвать сложением множеств. И пожалуй я закончу на том, что аксиома фундаментальности теории множеств гарантирует, что множество не является собственным подмножеством себя. То что вы предлагаете — нарушение это аксиомы.
                    • +1
                      Про сложение множеств — совершенно бред. Я могу ввести что угодно и назвать сложением множеств.
                      https://ru.wikipedia.org/wiki/Сумма_Минковского

                      Но, разумеется, это не отменяет бредовости остальной части рассуждений.
                    • –2
                      Где это мы «накладывали условия»?
                      Всё, что мы сделали, — это выразили y:
                      y = c/b — a/b*x
                      Если не вводить деление на 0, как принято сейчас, то данное уравнение не имеет решения при b=0, а вот если вводить как я сказал выше, то вполне себе имеет и никаких «ограничений» не возникает.

                      В этом и заключается суть математики, что вы и я и кто угодно может ввести определения, аксиомы и тп и построить свою ветвь математики. разница лишь в степени полезности созданного таким образом инструмента. Однако то, о чём говорю сейчас я, не мной придумано, и уже активно используется в компиляторах и валидаторах. И даже в школе в рудиментарном виде ( x = ( -b +-sqrt(b^2-4ac) )/2a ). А вы упорно не хотите этого замечать и ставите мне психиатрические диагнозы.

                      Что такое «аксиома фундаментальности теории множеств» и в каком гугле её искать?

                      Во первых, множество естественным образом является нестрогим подмножеством самого себя, а во вторых при чём тут это?

                      Какие такие аксиомы я нарушил? «На ноль делить нельзя»? Ну как бы да, о том и речь, что не нужно оно :-)
                      • +2
                        y = a + bx — это уравнение прямой, не являющейся вертикальной. Что вас не устраивает-то?
                        • –1
                          Мы ходим по кругу. «это уравнение прямой, не являющейся вертикальной» ровно потому, что «на ноль делить нельзя». Если разрешить делить на ноль, то это уравнение сможет описывать также и вертикальные прямые. А вот что вас тут не устраивает? Видите какую-то противоречивость в подходе с описанием деления через множество решений уравнения? Тогда я рад был бы увидеть аргументы по сильнее, чем «на ноль делить нельзя, потому что нельзя».
                          • +2
                            Приведите, как в вашем понимании должна выглядеть прямая x=5 в этой форме.

                            y = a + bx

                            Чему, по-вашему, должны быть равны a и b, чтобы это уравнение имело решение (x=5, y-любое)?
                            • –1
                              a = 5/0
                              b = -1/0
                              • +2
                                Получаем уравнение:

                                y = (5/0) + (-1/0)*x

                                (5/0) — это, согласно вашей идее, пустое множество. Пустое множество в сумме с чем угодно дает снова пустое множество. В итоге, y получается тоже пустое множество, независимо от x. Что-то не сходится.
                                • –2
                                  1/0 — это всё же решение уравнения ( 0 * j = 1 ) и взятие решения не является в данном случае дистрибутивным:

                                  solve( a )[ 0 * a = 1 ] — solve( b )[ 0 * b = 1 ] != solve( a — b )[ 0 * a — 0 * b = 1 — 1 ]

                                  Да, это печально, но не смертельно. С комплексными числами похожая беда:

                                  real( i ) * real( i ) != real( i * i )

                                  То есть, мы можем обозначить 1/0 за, например, j и использовать как полноценное число в выражениях, но чтобы избавиться от j нам надо привести выражение к виду ( a * j ) и решить уравнение ( 0 * x = a )
                                  • +2
                                    Исходно вы предлагали использовать множества возможных значений и выполнение арифметических операций над множествами по Минковскому. А теперь вводите расширение поля действительных чисел?

                                    Определитесь уже, пожалуйста. Кстати, такое расширение, которое вы придумали, и правда существует, и называется оно Wheel. К сожалению, даже там запись y = (5/0) + (-1/0)*x не является уравнением вертикальной прямой…
                                    • 0
                                      Одно другому не мешает, но как вы правильно заметили, преждевременный переход к множествам в случае деления на 0 может привести к потере части решений.

                                      Был бы рад прочитать про это на русском доступным языком :-) А уравнением какой фигуры тогда является?
                                      • 0
                                        В зависимости от выбранного расширения — разной. Это может быть пустое множество (как в случае с вашими множествами или в wheel), может быть вся плоскость (при неаккуратном подходе). Если использовать расширение из комментария ниже, где j=1/0, то такое уравнение задаст точку (5, 1).

                                        По поводу же доступного языка… Не знаю, насколько такой язык будет доступным, но wheel очень похож на IEEE 754 :)
      • +2
        Самое наглядное объяснение x * x = −1 я нашел однажды тут —
        betterexplained.com/articles/a-visual-intuitive-guide-to-imaginary-numbers/

        image
        • –1
          Объяснение хорошо, но оно не объясняет почему при умножении комплексных чисел вы складываете углы между ними. Вообщем оно производит свои вопросы.
          • +1
            Ну, вообще-то это одно из определений умножения комплексных чисел: умножаем модули, складываем аргументы.
            • 0
              Это понятно), я имел в виду, что для постороннего чловека еще нужно доказать и объяснить, что при умножении комплексных чисел нужно именно так с ними обходится, это вовсе не так очевидно. А вдруг аргументы нужно тоже складывать? По-моему это разъяснить не проще, чем почему на 0 нельзя делить.
          • +1
            Для действительных чисел умножение x*y это образ y при таком растяжении действительной прямой, при котором 0 остается на месте, а 1 переходит в x. Для комплексных чисел то же самое, только к растяжению добавляется поворот.
    • +2
      уравнение не имеет решения, так как при любом «x» ответ равен 0. А раз уравнение не имеет решения, то и запись такая будет не верна.
      y = x — x,
      тоже неверна?
      • 0
        В этом уравнении есть ответ.

        Если взять конкретную дробь, скажем 5/0 = x
        То уравнение о котором я говорю будет иметь вид:
        0 * x = 5
        Но очевидно, что при умножении любого «x» получается 0, а не 5. Поэтому и неверная запись.
        • +1
          ничего не очевидно, просто x должен обладать свойством получения 5 при умножении на 0… Мы можем просто назвать это число 5/0 и использовать его в своих вычислениях.

          если подходить ко всему с подобной очевидностью, то и уравнение выше ( x*x =-1 ) не имеет решения, ведь очевидно, что при умножении любого x на самоё себя мы получаем положительный результат.
          • +2
            Раз вы объявили объект 5/0 и назвали его «числом», извольте определить все остальные операции, характерные для чисел: сложение, умножение, и так далее. Как понимать запись «5/0 + 1»? Как его изобразить на числовой прямой? В каких отношениях оно с «4/0 — 2» — больше, меньше, и так далее? Да ещё так, чтобы ничто ничему не противоречило.
            • –1
              а где по вашему на числовой прямой лежит i+1 (i = квадратный корень из минус единицы)?
              • +5
                Ну, как вы догадываетесь, я ждал такого комментария :)

                Во-первых, i — не квадратный корень из минус единицы. Неправильно. Если его так понимать, то противоречие вы получаете сразу: i=sqrt(-1)=sqrt(-1/1)=sqrt(1/-1)=1/sqrt(-1)=1/i. Не надо так.

                Во-вторых, на прямой его нет, но есть на комплексной плоскости. И на прямой можно изобразить модуль |i+1| = sqrt(2). В случае сравнения комплексных чисел либо требуется в зависимости от задачи сравнивать модули или действительные части. Умножения и сложения — вы сами знаете.
                • –4
                  но ведь i по определению — «число, квадрат которого равен -1». И 1/i этому определению удовлетворяет. А потому не вижу никакого противоречия в равенстве i = 1/i
                  • 0
                    но ведь i по определению — «число, квадрат которого равен -1». И 1/i этому определению удовлетворяет. А потому не вижу никакого противоречия в равенстве i = 1/i

                    Вы перечитайте, что написали. Допишу: i = 1/i => i*i = 1, а вы определяли i*i = -1. Вот оно и противоречие.

                    i — это конкретное число, вполне определённое, а не переменная. И оно не имеет «двух значений» там или подобного.
                  • –1
                    хотя да, мы теряем знак… :)
                • –4
                  У вас ошибка: sqrt(1/-1) != 1/sqrt(-1)
                  • 0
                    С каких пор?
                    • –2
                      В левой части получаем i, а в правой -i:
                      sqrt(1/-1) = sqrt(-1) = i
                      1/sqrt(-1) = 1/i = -i
                  • –1
                    Правило из какого там класса? sqrt(a/b) = sqrt(a)/sqrt(b). Всё, собственно, на этом, никаких условий типа проверки знаков мне не нужно, я всю бодягу-то и развёл для того, чтобы научиться извлекать корень из отрицательных чисел.
                    • –2
                      а доказано что формула справедлива для всех чисел в том числе и отрицательных? каким способом она была выведена?
                      • –1
                        а доказано что формула справедлива для всех чисел в том числе и отрицательных? каким способом она была выведена?


                        Перечитайте то, на что отвечали:
                        никаких условий типа проверки знаков мне не нужно, я всю бодягу-то и развёл для того, чтобы научиться извлекать корень из отрицательных чисел


                        кроме того, да, доказано, это свойство следует из определения операции квадратного корня и свойств операции умножения:
                        b = sqrt(a): b такое число, что a = b^2
                        если b = x/y, то a = (x/y)^2 =(определение операции возведения в квадрат) (x / y) * (x / y) = x * x / y / y (переместительный закон умножения) = (x*x)/(y*y) (сочетательный закон умножения) = s/y, где x = x^2, t = y^2 (определение операции возведения в квадрат). То есть, (x/y)^2 = s/t, если s = x^2, t = y^2, и по определению квадратного корня, sqrt(s/t) = x/y, sqrt(s)=x, sqrt(t)=y, и значит, sqrt(s/t) = sqrt(s)/sqrt(t).

                        Запрет на извлечение корня из отрицательных возникает в определении корня, я этот запрет выделил там жирным. Пока мы говорим о вещественных числах, то такого числа просто не найдётся, если a<0. А в доказательстве свойства корня от операции деления, не найдётся чисел x и y, если s и t отрицательные.

                        Но обратите внимание на всю цепочку, как она начиналась: i = sqrt(-1)=… — мы эти преобразования как раз начали уже с i, то есть, мы собственно уже вышли за пределы вещественных чисел, и числа, подходящие под определение, всегда найдутся.

                        Смысл преобразований в том, что определение i как квадратного корня — некорректное и приводит к противоречиям. Я просто показал пример такого противоречия. А вывод — нельзя определять мнимую единицу таким образом.
                    • –2
                      Откройте любой учебник и вы увидете, что это правило распространяется только на положительные числа (для корней четной степени)
                • –3
                  >> Во-первых, i — не квадратный корень из минус единицы. Неправильно. Если его так понимать, то противоречие вы получаете сразу: i=sqrt(-1)=sqrt(-1/1)=sqrt(1/-1)=1/sqrt(-1)=1/i. Не надо так.

                  Лихо вы корень из единицы вычислили. ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9A%D0%BE%D1%80%D0%BD%D0%B8_%D0%B8%D0%B7_%D0%B5%D0%B4%D0%B8%D0%BD%D0%B8%D1%86%D1%8B
                  • +2
                    То есть, вы хотите сказать, что корней из единицы — два, а из минус единицы — один? :)
                    Разумеется, корень — функция многозначная. И именно потому i нельзя понимать просто как квадратный корень из минус единицы.
                  • 0
                    Поздравляю вас, я именно это и хотел показать этим противоречием. Ошибка в этой строке — i = sqrt(-1), о чём я и говорю. Нельзя это использовать в качестве определения i.
            • –3
              и да… 5/0+1 всё таки можно изобразить на этой вашей числовой прямой…
              и рисуется эта величина сразу в двух точках: ±∞+1 (в этом разница между делением на ноль и на бесконечно малую со знаком)
              • +3
                Ой ли? А такого числа нет — ±∞+1, и точки такой на прямой тоже не существует. Так же, как не существует и места на прямой "+∞" или "-∞". Это направление, а не точка.

                Кстати, смысл выражения "±∞+1" вы тоже поясните, а то он неясен.
                • –4
                  1±∞ — это точки удалённые от точки 1 на бесконечное расстояние…
                  • +5
                    Нет такой точки. Если вы говорите «точка», значит, существует конкретное место на прямой, на которое встать, и вот она, точка.

                    И бесконечность — это не число. Не надо понимать его как число только потому, что оно участвует наравне с числами в некоторых выражениях. Оно может участвовать не в любых выражениях, где используются числа, а только в виде границ пределов, операций сравнения и некоторых словесных оборотах типа «неопределённость вида 0*∞», которые вообще использутся только как короткие названия для классификации случаев.

                    В операции сложения бесконечность участвовать не может вообще, так как это не число, и запись ∞+1 не имеет общепринятого смысла, так же, как и 5/0+1.

                    Можете попытаться этот смысл приписать, никто не против, я уже написал, что для этого нужно.

                    Леонард Эйлер можно сказать всю жизнь положил на то, чтобы приписать смысл операции извлечения квадратного корня из отрицательного числа. Теперь с ним вроде никто не спорит. Вот и вы попробуйте, может, научите мир делить на ноль. Только прочитайте сначала хотя бы википедию.
                    • –6
                      а я утверждаю что такие точки есть.
                      Чтобы убедиться в этом, просто встаньте и пройдите бесконечное количество шагов, как только вы это сделаете — вы окажетесь как раз в такой точке.
                      • +4
                        Не надо ёрничать. У вас в голове есть каша, в ней может быть всё, что угодно, и утверждать можете тоже всё, что угодно, но если мы хотите, чтобы с вами имели дело, обосновывайте свои утверждения. Пока что никаких оснований не предложено.

                        Хотите спорить по поводу математики — учите математику, другого пути нет. А пока что отлично видно, что вы даже основ математики не знаете.
                        • –6
                          Что значит ёрничать? Вы уже прошли бесконечное число шагов и не нашли обещанного?

                          По поводу моей ошибки выше, очевидно же, что имелось в виду i^2 = (1/i)^2 = -1, а вы попросту меня запутали :)
                          • –5
                            мда… ну и ну вас нафиг…
                            минусовать, так по полной — зайдите в другие статьи тоже
                          • 0
                            Я прошел бесконечное число шагов, потом сделал еще один шаг и пришел к выводу, что: ∞+1=∞. Что противоречит тому, что я сделал шаг, т.к. количество шагов по прежнему осталось бесконечным. И возникает интересный момент — я сделал шаг, об этом говорят мои физические ощущения, но с точки зрения математики — шага не было, и чему верить?
                            • –2
                              если вы смогли сделать ещё один шаг, значит вы обманули, и не прошли бесконечное число шагов…
                              • –1
                                не могу понять баттхёрта по поводу бесконечно удалённых точек…
                                это же распространённое понятие, много где используемое… например, в опредении проективных плоскостей, где евклидова плоскость пополняется бесконечно удалёнными точками пересечения параллельных прямых…

                                Короче, какой-то ангажированный слив получился со стороны…
                                • –1
                                  в опредении

                                  «в определении», разумеется
                                • +1
                                  Бесконечно удаленная точка — это, в модели без повышения размерности, символ, обозначающий класс параллельных прямых. В модели с повешением размерности это прямая, параллельная основной плоскости.

                                  Где здесь есть упоминание про бесконечное число шагов, которые следует пройти?

                                  Искусственность понятия бесконечно удаленной точки замечательно иллюстрируется тем фактом, что на проективной плоскости таких точек — целая прямая, а на плоскости-сфере Римана такая точка одна.
                      • 0
                        Вы предлагаете процесс, который не может быть завершён. Можно бесконечно искать эти точки, но вы никогда их не найдёте. А что нельзя найти — того не существует.
            • –1
              Введем число 1/0 и назовем его каким-нибудь j. Тогда 5/0=5*1/0=5j.

              >> Как понимать запись «5/0 + 1»?

              5/0 + 1=5j+1

              >> Как его изобразить на числовой прямой?

              Изображаем на плоскости подобно комплексных числам.

              >> В каких отношениях оно с «4/0 — 2» — больше, меньше

              В таких же, в каких отношениях 5i+5 с -2i+1

              >> Да ещё так, чтобы ничто ничему не противоречило

              найдите противоречие
              • +1
                Противоречия нет, но операция умножения у вас потеряла ассоциативность.
                • –3
                  С чего это вдруг? Ну ладно, проведем выкладку:
                  ((aj+b)(cj+d))(ej+f)=(acj+adj+bcj+bd)(ej+f)=(ace+ade+bce+bde+acf+adf+bcf)j+bdf
                  (aj+b)((cj+d)(ej+f))=(aj+b)(cej+cfj+dej+df)=(ace+ade+bce+bde+acf+adf+bcf)j+bdf

                  * Объясняю, куда делись квадраты и кубы. По определению, j — это такое число, которое при умножении на 0 дает 1, т.е. j*0=1, возведем это выражение в любую натуральную степень, получим j^n*0=1, откуда следует j^n=j для любого n.
                  • +2
                    Нельзя так просто возвести (j*0) в степень по частям — потому что эта формула требует ассоциативного умножения.

                    Не пытайтесь доказать ассоциативность умножения, лучше изучите контрпример.
                    (2*0)j = 0j = 1
                    2*(0j) = 2*1 = 2
                  • +2
                    UPD: в вашей системе еще и дистрибутивный закон не работает. Зря вы его в доказательстве использовали.
                    (2+0)j = 2j
                    2j + 0j = 2j+1
              • +2
                Под j вы понимаете 1/0? Хорошо.

                j^n = j по-вашему, то есть, 2j^2 = 2j, или 2j = 2. Да ну, правда что ли? Или на j теперь тоже делить нельзя?

                P.S. С комплексными числами таких проблем нет. На i делить можно, можно извлекать из него корни и так далее.
                • 0
                  Я больше скажу. В математике есть функция, чем-то похожая на 1/0 — называется δ-функция Дирака, она является обобщённой функцией (в англоязычной литературе — вообще не функция, а distribution). Она определяется так:
                  \int_a^b \delta(x)f(x) dx = \left\{\begin{matrix} 0, & 0\not\in[a,b];\\ f(0), & 0\in(a,b). \end{matrix}\right.
                  Если a или b равны нулю, могут быть варианты, но эти ситуации обычно не важны на практике. Иногда в этом случае определяют функцию как 1/2.

                  Странная эта дельта-функция, не правда ли? Вроде как равна нулю везде, кроме x=0, а если x=0, то равна вроде как «1/0» (не больше и не меньше!), потому, что площадь под ней — строго равна 1. Но имеет смысл эта функция только под знаком интеграла. График её нарисовать невозможно. Зато можно написать несколько обычных функций, которые в пределе переходят в эту дельта-функцию — например, обычное гауссово распределение переходит в дельта-функцию, если дисперсия стремится к нулю.

                  Можно от неё посчитать производную, образ Фурье, и много чего ещё. Всё это делается элементарно просто исходя из определения (по частям, например, проинтегрировать), или делаем соответствующую операцию с например с Гаусовским колоколом и предельным переходом получаем результат.

                  Но вот возвести в квадрат — не получается. Потому, что функция имеет смысл только в интегральном операторе, и квадрат дельта функции — это отдельная тема, имеющая смысл двойного интеграла, соответственно, по разным переменным. А где вязть разные переменные — в каждом случае решаем отдельно. Такая ситация, например, возникает в квантовой электродинамике, и для разрешения ситуации с квадратом дельта-функции приводятся весьма туманные рассуждения.
    • –1
      Деление на «x», это короткая запись линейного уравнения «делитель» * «x» = «делимое».
      уравнение не имеет решения, так как при любом «x» ответ равен 0

      Докажем
      x * 0 = x * (0 + 0) = x*0 + x*0
      x * 0 = x*0 + x*0
      x * 0 — x * 0 = x * 0
      0 = x * 0
  • –3
    стойте-стойте, ангем первый курс, уравнение прямой
    (x-x0)/p1=(y-y0)/p2=(z-z0)/p3, направляющий вектор p(p1;p2;p3), — вроде можно делить на 0.
    P.S. я мог ошибиться, давно дело было, но вроде это место навсегда отложилось в памяти
    • 0
      Ага, если прямая окажется параллельна одной из осей, то получится деление на ноль. Например p1=0, x-x0=0, 0/0 будет равно любым значениям в выражениях с «y» и «z». Как ему (0/0) и полагается.
    • 0
      Это не совсем деление, это операция отношения.
      А чтобы избежать таких моментов с нулем, то уравнение приводят, например, к параметрическому виду.
  • +2
    Не забудьте рассказать дочери о делении нуля на ноль в отношении предела отношения функций :)
  • +13
    y1 =? дней
    y2 = 5 яблок

    y1 = y2 / 0

    — Папа, а почему на ноль делить нельзя?
    — Представь, что у тебя есть 5 яблок, но ты каждый день ешь 0, на сколько дней тебе хватит яблок?

    P.S.: Яблоки печатаются на 3D принтере, поэтому не портятся :)
    • +9
      Очевидно, тогда 5 яблок хватит на бесконечное количество дней. А вот если бы вначале было 0 яблок, то, поедая по 0 яблок в день, можно было бы сказать, что их хватило на 2 дня. ну или на 3. И то, и другое было бы одновременно правильным, как и полагается в зазеркалье.
      • 0
        самое непонятное для меня — почему 1 день норм, а 0 нет?
        Было 0 яблок, едим 0 в день — уж на 0 дней-то точно хватит…
        • 0
          Этот момент упомянут в посте — вроде как 0*0=0, но дальше идут степени нуля, и получается что 0*0=0^2 != 0^1.
          • 0
            Что-то я запутался в этих рассуждениях. Это как 0*0!=0?
            Если 3*0=0 и 2*0=0 то 0/0=2 и 0/0=3.
            Но тогда по этим же рассуждениям ∞*0=0 и 0*0=0 соответственно должно быть что 0/0=∞ и 0/0=0, но у вас 0/0 != 0 и 0*0!=∞.
            • 0
              Из того, что 2*0=0, не следует, что ∞*0=0.
              2 и ∞ относятся к разным категориям.
              С другой стороны, в конце поста все категории сливаются в одну, и на последнем уровне действительно 0 равен ∞.
              Противоположные мнения могут существовать одновременно, дополняя друг-друга на разных уровнях, как в физике Планка, Ньютона и Эйнштейна…
              Да и параллельные прямые у Евклида и у Лобачевского то пересекаются, то не пересекаются…
              И такой агностицизм — как раз и есть настоящая наука, которая не боится менять законы, и даже давать существовать одновременно противоположным законам.
              • +1
                Параллельные прямые пересекаются не у Лобачевского, а на проективной плоскости.

                И у Евклида, и у Лобачевского, и даже у Римана параллельные прямые пересекаться не могут никак!

                И все эти альтернативные конструкции существуют не просто так — а потому что у них есть непротиворечивая аксиоматика. Непротиворечивость же доказана путем построения модели, обладающей всеми требуемыми свойствами, которые можно доказать исходя из представлений Евклидовой геометрии.

                Приведите систему аксиом, которые остаются верными в вашей математике, где можно делить на ноль, и постройте модель, которая этим аксиомам удовлетворяет — и мы вам поверим.
                • 0
                  Рад бы, но вероятно это предстоит сделать настоящему математику, а не мне)
                  Вот тут подробнее.
        • 0
          0/0 это неопределенность. Неопределенность — это когда из имеющихся формул нельзя узнать ответ и надо привлекать дополнительные знания и формулы чтобы раскрыть неопределенность. В физике довольно часто приходится раскрывать неопределенности, а в квантовой физике вообще полно математических изворотов.
          • –2
            если под 0/0 вы имеете в виду (бесконечно малая/бесконечно малая) — вы правы… Иначе это не может быть неопределённостью.
      • 0
        Да, я думал перед отправкой комментария, что это не самый логичный ответ, но что то в нём есть, притягательное. Проблема ещё и в том, что как объяснить ребёнку про 0 яблок, они вроде и есть, и вроде нет. Возможно такой ответ помог бы маленькому ребёнку понять чуть ближе смысл, не дожидаясь математики.
      • 0
        Выходит, что 0/0 = абсолютно все возможные значения, соответственно результат зависит от спроса.
      • +2
        >можно было бы сказать, что их хватило на 2 дня. ну или на 3.

        Их тоже хватило бы на бесконечное количество дней, т.к. для любого дня потребность в нуле яблок удовлетворяется.
        • 0
          Точнее — и удовлетворяется, и не удовлетворяется одновременно, ведь в отличии от изначальных 5 яблок, тут в любой момент яблок ноль.
      • +1
        А на бесконечное количество дней 0 яблок никак не хватит, если поедать по 0 в день? :)

        Нет уж. Либо мы считаем, что яблоки кончаются, когда их 0 — и тогда их не хватит даже на 1 день, они сразу кончились.
        Либо мы считаем, что яблоки кончаются, когда мы больше не можем их есть по 0 в день — и тогда они не кончатся никогда.

        А вот «конечного мира» никак не получается.
        • 0
          Яблоки кончаются, когда вот они были, а вот их не стало. А в примере с нулём яблок, их изначально не было, так что кончиться они не могли. Зато поедая по ноль яблок в день, можно растянуть это удовольствие на произвольное количество дней (0/0).
          • +1
            И что вы исправили в проблеме?

            Если понимать «яблоки кончаются» так, как вы предлагаете, то есть «вот они были, а вот их не стало», то 0 яблок, если поедать их по 0 в день, не кончатся никогда.
            Если же нам нужно, чтобы они всё-таки кончились — день мы можем выбирать произвольно.

            Но если мы можем выбирать — то что мешает нам сказать, что они кончились сразу?
            • 0
              Вы правы. Вот мы и доелись яблок до третьего уровня (в конце поста), где 0/0 может быть равен бесконечности никогда и нулю сразу. С Вашего позволения, включу Ваш пример в пост, только дам немного настояться этому кальвадосу в голове.
    • 0
      В вашем примере с яблоками — операция вычитания, а не деления.
  • +8
    Ссылку не найду, но много уже лет назад читал одну научную статью, в которой исследовался вопрос восприятия нуля детьми. Из статьи было четко видно, что понимание нуля у детей органически не возникает до определенного возраста. Примерно четыре года. Однако, выводы в статье были грустными. Как только ребенок поглощает сознанием эту цифру он понимает конечность жизни, будет плакать от того, что бабушка умерла и это необратимо и т.д. При этом автор делает еще один малоутешительный вывод. После осознания нуля фазовым образом падает развитие ребенка. Он уже не развивается как вулкан, удивляя каждый день, а просто становиться на некие рельсы и уже катиться с некой энерцией по пути своего генетического развития. Конечно, вперед, но уже понятно и предсказуемо.
    • +3
      Ну, проверим, были ли правы эти британские учёные. Пока что Соня — это вулкан и ураган, удивляющий каждый день новыми перлами, поступками и вопросами.
      • 0
        это замечательно. Не спешите с этими нулями. Пусть побудет в сказочном мире, где все есть, а если что-то нет под руками — значит просто как игрушка где то в шкафчике лежит;-)
    • +3
      После осознания нуля фазовым образом падает развитие ребенка.
      Это скорее всего следствие взросления. Как и осознание нуля это тоже следствие взросления. Ну то есть ноль тут не виноват, и то и другое равноправные следствия.

      Удивительно, но о том, почему ноль связан со смертью и почему дети начинают понимать смерть после понимания нуля, — мне кажется я нашел ответ в своем комментарии ниже в этом посте.
    • +2
      Какой-то бред. Моему ребенку 2 года, и он вполне органично осознает 0: вот было 3 ягодки, все съел — осталось «ной». Не замечал у него особых депрессий по этому поводу.

      Осознание конечности жизни и необратимости событий, мне кажется, это совсем другое, к пониманию математического нуля не имеет отношения.
    • 0
      Что такое это «фазовое падение развития»?
      • 0
        Остановка бурного развития. Фазовый — суть быстрый в этом случае процесс.
        • +1
          Не нашёл ни в одном словаре такой интересной интерпретации прилагательного «фазовый».
  • 0
    Двоичная, десятичная(арабская), шестнадцатеричная, шестидесятеричная (вавилонская), римская, инфиксная, префиксная, постфиксная нотации и т.д. — тысячи их и у каждой своя область применения. Ваша тоже хороша.
    • 0
      Да, мне тоже кажется, что 0^x — это категория, как оценка сложности алгоритма O(N). Там нотация O большого, тут нотация степени нуля.
  • +1
    Думается, проще объяснять суть нуля, и почему нельзя на него делить в терминах количества предметов. Очевидно, что ноль предметов — это нисколько предметов.Тогда и парадоксы разрешаются:

    возьмём n раз по нисколько — получим нисколько -> x*0 = 0
    поделим нисколько вещей на n -> 0/n = 0
    поделим нисколько вещей на -n -> 0/-n = 0
    положим n помидор в нисколько ящиков, сколько помидор будет в каждом?
    очевидно, что ящика не существует, значит в нём может быть бесконечность помидор -> n/0 = ∞
    возьмём нисколько n раз — ясно, что будет нисколько -> 0^n = 0

    С бесконечностью тоже можно упростить дело — не бесконечность, а много. Знак бесконечности — плюс много, минус много, можно привести аналогию с долгом. И всё сравнительно ясно, немного фантазии — и запретное становится очевидным.

    И становится ясно сразу, почему нельзя делить на ноль и использовать арифметику с бесконечностями — мы не знаем, сколько это — много. Просто много.
    • –1
      А мой примитивный разум рассуждает так:
      Сколько единиц в тройке? 3.
      Сколько троек в тройке? 1.
      Сколько нулей в нуле? 1.
      0/0=1.
      • 0
        А если так?
        Сколько шестёрок в шестёрке? 1.
        Сколько троек в шестёрке? 2.
        Сколько единиц в шестёрке? 6.
        Сколько половинок единицы в шестёрке? 12.
        Сколько нулей в шестёрке? Бесконечно много.
        Сколько нулей в нуле? Сколько хочешь.
        • +1
          6=6?
          2=2?
          0=0?
          0/0=1
    • +1
      значит в нём может быть бесконечность помидор

      неубедительно… с яблокоднями нагляднее
    • +2
      > поделим нисколько вещей на -n

      Тут даже я не смог это быстро представить «в натуре».

      Вообще «разделить» на N мне визуально представляется как «разложить на N одинаковых кучек» и в таком представлении деление на отрицательные числа сложно представить.
      • 0
        вместо кучек представьте ямки где что-то вот-вот должно появится, его еще нет но должно и когда появится то поверхность сравняется в ноль.
  • +4
    Эх, вспомнилось как я читал книжку «Путешествия по Карликании и Аль-Джебре» в детстве…
    • +2
      А «Приключения рассеянного магистра»?
      • 0
        В местной библиотеке такой не было.
      • 0
        Эта книга очень моей жене нравится.
      • 0
        Отличная книга! Кстати, не к нулю будет сказано, но есть ещё «Флатландия»
    • +1
      Добавил в список к прочтению, спасибо!
      • +1
        Опубликуйте потом ваш список к прочтению, пожалуйста!
  • +3
    0^0=1
  • +3
    Поздравляю, вы переизобрели матан:) (или по крайней мере попытались в очень упрощенном виде).
  • 0
    неее своим детям я так сложно объяснять не буду, всё объясняется гораздо проще. Ну и слово нельзя я бы в объяснении не использовал
    • 0
      Поделитесь, пожалуйста, как проще объяснить?
  • 0
    Нужно было начинать с определение термина деления, все было бы значительно проще. Ведь деление это всего лишь обратная операция от умножения, 6/2 = 3 лишь потому, что 3*2 = 6, а так как при умножении на ноль получается всегда ноль, то делить что-либо на ноль просто нельзя. Исключение только для случая 0*0, но этот случай у Вас как раз разобран хорошо (через парадокс 2=3). Такие вещи нужно понимать на бытовом уровне, без всяких графиков.
    • 0
      так как при умножении на ноль получается всегда ноль, то делить что-либо на ноль просто нельзя

      Просто нельзя, а осторожно — можно.
  • +5
    Хм. Так нули же бывают не только в поле действительных чисел. И на них тоже делить нельзя :) А там графиков нет. Есть же более простое обоснование. Если для нуля есть обратный элемент, то это поле из одного элемента: a * 0 = b * 0, умножаем на обратный для нуля элемент, получаем a = b для любых a и b. Если мы работаем в поле с большим числом элементов, значит, обратного элемента для него в этом поле нет. Вот и всё.

    А всякие там операции с бесконечно малыми величинами — это уже сосем не деления на нули. Да и с бесконечностями нужно быть осторожнее. Например, если делить на бесконечно малые величины в поле комплексных чисел получается вообще очень сложная картина.
    • +4
      То есть, это я к тому, что бесконечности тут ни при чём. Это чисто алгебраическое свойство. Графики же гипербол могут себя вести похожим образом не только в окрестности нуля. И лучшее объяснение должно быть как раз через 2 = 3 и указание на тот факт, что это не соответствует действительности. Доказательство методом от противного. Классика.
      • 0
        Ну давайте определим операцию обращения числа как псевдообращение матрицы размерности 1х1. И внезапно станет можно, и окажется, что «1/»0 = 0 (кавычки потому, что это не обычное деление).
        • 0
          Эмс… Несколько не понятно. А что такое псевдообращение матриц?
    • 0
      Всё верно, если ограничиться полем действительных чисел, то действительно нельзя. Но корень из минус единицы успешно выходит за пределы поля действительных чисел, и это (уже) воспринимается как норма. Почему же бесконечности и категории 0/0 нельзя существовать за пределами поля действительных чисел?
      • +2
        Потому что для этого надо сначала определить поле, в котором они могут существовать.
        • 0
          Верно. Надеюсь кто-нибудь это сможет сделать) Я вот не могу, но верю, что кто-нибудь сможет. Вы сможете?
          • 0
            Такого поля нет. Но есть много других структур, где возможно делить на 0. Просто в них исчеают другие полезные свойства, которые есть в полях.
  • +5
    Как мило замазана гипербола на графике y=0/x :)
    • 0
      А как аккуратно!
    • 0
      Ага) Хотел было реставрировать сетку, но решил что «эффект ластика» будет даже интереснее, показывая, мол, вот тут была гипербола 1/x, совсем недалеко от 0/x, только перегиб в другой точке.
  • 0
    0^(0^0) включает в себя 0^0, так что { 0^(0^0) } = { 0^0 U 0^(0^0) }.

    Группа, порожденная через 0 и операцию степени — единственное, что может представлять какой-то математический интерес во всём этом наблюдении. Хотя я могу ошибаться, может быть, это неинтересная группа.
    • +2
      Проблема в том, что в большинстве алгебр над поле действительных чисел, 0^1 = 0^2. Поэтому ваши идеи, не обладая внутренним противоречим, не могут использоваться одновременно с более общепринятой математикой. Поэтому группа по умножению 0^x является одновременно банальной и бесполезной.
      • 0
        Абсурду в комплимент банальность и бесполезность. Однако абсурд Алисы в стране чудес весьма интересен многим, как и деление на ноль. Наверняка математики не сразу придумали как использовать мнимые числа вроде корня из минус единицы одновременно с более общепринятой математикой. Но придумали же в итоге.
        • 0
          0^1 = 0
          0^2 = 0
          =>
          0^2 = 0^1

          Возражения?
          • –2
            В официальной математике так и есть, возражений нет.
            Но в предлагаемой мной модели-фантазии, не претендующей на математическую строгость, 0^1 != 0^2.
            Может когда-нибудь кто-нибудь сможет придать этой идее нужное математическое оформление, не вызывающее возражений.
            • +2
              Как только кто-то произносит словосочетание «официальная (подставить название науки)», он становится научным фриком…
              PS Вам что, мало бесконечно малых величин и гиперреальных чисел? Зачем придумывать еще одно оформление?
            • +1
              Понятно. Таким образом, вы изобрели группу чисел, изоморфную абелевой группе (R, +), которую проходят студенты-первокурсники на первом занятии по алгебре. При этом ваша модель полностью оторвана от математической реальности (поскольку ваша «операция степени» не имеет ничего общего с общепринятой). У вас есть какие-либо доводы в пользу того, почему ваша модель может быть интересна детям старше трех лет?
              • –3
                У вас есть какие-либо доводы в пользу того, почему ваша модель может быть интересна детям старше трех лет?


                Посмотрите на статистику под постом. Тема интересна людям.
                • +5
                  Да, я искал объяснение этому феномену. Я думаю, что народ на Хабре просто изголодался по научно-популярной математике, и рад пообсуждать любой когитивный мусор, который обладает внешними признаками любопытности.
    • +1
      Вы не могли бы подробнее объяснить, почему 0^(0^0) включает в себя 0^0, если отталкиваться от принятого ранее 0 != 0^0? Если получится, я бы исправил пост.
      • 0
        Ну как бы это, вы видите 0^0 внутри 0^(0^0)? Результат первого выражения используется во втором.
        • 0
          Ну нет) Множество {1,2,3} используется в выражении ({1,2,3,4,5} пересечение с {4,5}),
          при этом {1,2,3} не будет содержаться в результате этого выражения справа.
          Точно так же 0^0 не содержится в 0^(0^0), поэтому я и использовал в посте объединение: «0^0 U 0^(0^0)».
          • 0
            Ах вы про множества говорите, простите, я воспринял вне контекста. Да, тогда согласен, если результат вычисления выражений 0^0 и 0^(0^0) разный.
      • –2
        Согласно вашему графику функции y = 0/x, при x=0 y имеет все возможные значения r из R, в том числе r = 0. Вы доказали, что 0/0 = 0^0.
        Таким образом, 0^0 существует в пространстве значений 0^(0^0) как набор значений 0^r при r=0 Следовательно, множество значений 0^(0^0) включает в себя множество значений 0^0.
        • –1
          Нет-нет, там рядом с графиком отдельно обсуждается, что в нуле точка выколота, сам ноль не входит в график 0/x.
          • 0
            А, ну да. Это следует из неравенства 0^1 != 0^2.
  • –5
    ЭЭЭ… А разве деление на ноль не даёт бесконечность? Кажись в GLSL так…
    • 0
      mathworld.wolfram.com/DivisionbyZero.html. Хотя может мне стоило статью сначала прочитать? :)))
      • +7
        Нет, не стоило. По ссылке всё правильно написано, а автор просто бредит.
    • +2
      нет не дает. По ссылке которую вы привели ниже так и написано. Просто многие пораженные матаном не видят разницы между делением и опреацией предельного перехода.
      • –3
        А в чем разница?

        Делим на ноль — получаем Inf, делим на Inf получаем ноль.
        • 0
          Разница в том, что ноль в арифметике и ноль как символ, обозначающий бесконечно малую последовательность — это разные нули, обладающие разными свойствами.

          К примеру, первый ноль беззнаковый, а у второго может иметься знак.
        • 0
          А ещё в том, что «делить на бесконечность» не получится, потому, что бесконечность — не число, и арифметические операции с ней не определены.
        • +1
          В том, что вы не делите в тех примерах. Вы находите предел отношения функций. Это совсем другая операция, это операция не из алгебры, а из анализа. Просто из-за того, что там есть знак деления, и вместо счисла в знаменателе подставляется 0, многим кажется, что там происходит какое-то деление на 0, хотя его там нет совсем. Ведь вам же написано: " limits involving division by a real quantity x which approaches zero may in fact be well-defined." Пределы дают результат, а не деление числа на 0.
  • +4
    Деление представляет собой умножение на обратный элемент a^{-1}, ключевое свойство которого, a*a^{-1} = 1; для нуля обратного элемента не существует (нет такого числа, умножив которое на ноль получим один), отсюда делить на ноль нельзя.
    • –1
      Как раньше и не было такого числа, умножив которое само на себя получим минус один)
      • +3
        С мнимой единицей — это лишь алгебраическое замыкание поле. Корень многочлена x^2+1. И то это первое время был лишь вопрос философии.
        Тут можно пойти и ниже. Взять рациональные числа. У многочлена x^2-2 там нет решения, но можно добавить его в рациональные числа и получить поле Q(sqrt(2)). Тоже самое с мнимой единицей. И вообще, в любом поле — если есть многочлен, у которого нет корня в этом поле — то мы можем расширить поле и в нем уже будет «корень». Все это математически строго обосновано.
        Вы же почему-то уходите в какую-то философию, в которой нет нужды в математике. Не в обиду, но почему-то в среде не-математиков тема деления на ноль слишком популярна, среди математиков я подобного не заметил.
  • 0
    А сможете объяснить покороче, и для взрослых? Всегда думал о нуле как о бесконечно малых, но никогда — именно как об абсолютном нуле (в смысле вообще ничего нет). И никогда таких парадоксов (+0=-0; 2 = 0/0 = 3) в голову не приходило. Интересует, как вы вводите ноль и в каком контексте задача 0/0 имеет смысл.

    И да, своей дочке буду объяснять именно со стороны бесконечно малых… но может я не прав?
    • 0
      Подумал еще. Но ведь нельзя взять и просто так захотеть поделить на ноль. Или по другому — все делят на ноль, и мне нужно. Просто у вас все примеры из арифметики, а там просто нет такой операции. Просто на ноль делить нельзя.
    • 0
      Понятие нуля моей дочке сообщил не я, а заяц из одного мультика, там как раз яблоки были — 3 яблока, 2, 1, а когда яблок не осталось, заяц спросил — «Нет совсем — это сколько?!» — и ответил — «Когда нет совсем — это ноль». Совсем нет, а не чуть-чуть есть.
  • +4
    Люблю число 0.
    Благодаря ему у меня есть все!
    Яхта, дворец, машина и все, все все.
    Правда в нулевом количестве.
  • 0
    Давайте так: нельзя просто так взять и поделить. Должен быть какой-то смысл. Математика — это модель мира, а соответственно, должна в какой-то части свойств его повторять.

    Припишете числу смысл длины палки, сложение получит смысл приставления одной палки к концу другой. В результате, в модели вы получите сумму чисел, а в природе — более длинную палку. И такая модель в принципе непротиворечива, соответствует наблюдениям (согласуется с правилом треугольника и так далее).

    А теперь припишите смысл числам и операции деления, такой, чтобы 1/0 или 0/0 имело смысл в модели и соответствовало какой-нибудь, возможно, выдуманной, реальности, и не противоречило другим наблюдениям с операцией деления в этой модели этой реальности.

    Я могу придумать пример вроде чёрной дыры (это 1/0), но вот чтобы возникло 0/0 — не могу. Ещё 1/0 возникает в квантовой электродинамике в виде дельта-функции в выражении пропагатора электрона, то есть, радиус электрона считается равным нулю, а мы интегрируем по всему пространству, дельта-функция как раз как бы говорит нам «электрон существует только в этой точке и больше нигде, поэтому плотность заряда электрона равна нулю везде, кроме этой точки».

    Смысл всего этого такой: можно всё, но не всё это нужно. Можно придумать ситуацию, где можно делить на ноль. Но применить это на практике как-то не получается.
    • –1
      Мнимые и комплексные числа сами по себе вроде как тоже далеки от привычной реальности. Тем не менее, используются в весьма прикладных расчётах. В сталеварении, например, если я правильно помню. А бесконечность, мне кажется, имеет очень даже реальную модель — горизонт, хоть на круглой планете, хоть во вселенной в целом. А 0/0 — тоже соответствует понятию из реальности «да где угодно». Может всё-таки найдётся польза от понимания, как взаимодействуют бесконечности, пустота, и конечные количества.
      • +2
        Конечно используются. Но непосредственно в материальной природе наблюдаются только целые положительные. Даже ноль не существует в материальном воплощении, о прочих даже говорить не получится.

        Не путайте природу и модель. Не всё, что существует в модели, существует в оригинале. Если мы строим математическую модель природы, мы конечно можем в модели описать то, что в природе невозможно, но это всего лишь следствие того факта, что модель не идеальна и не вполне соответствует оригиналу, применимость её ограничена.

        Все мнимые, отрицательные числа и прочие извращения при сравнении с измерениями внезапно приводятся к целым положительным. Например, "-5 м" можно понимать как «5 метров ниже уровня моря» и опа, даже чтобы объяснить смысл знака «минус», мне потребовалось написать положительное число.

        А про целые — никто никогда не рассматривает задачи с бесконечной точностью. А измерение с конечной точностью — конечное число цифр из ограниченного набора в записи числа — выбором единиц измерения всегда можно записать как целое число.
        • 0
          комплексные числа в материальном мире возникают в квантмехе
          Целые положительные точно также не суествуют за пределами разума. Думаю вы затруднитесь показать мне 3
          • 0
            комплексные числа в материальном мире возникают в квантмехе

            Не возникают. Комплексные числа там в виде функций состояния, которые сами по себе не имеют физического смысла. Их нельзя измерить и они «не существуют». Смысл имеет квадрат модуля функции состояния, <ψ|ψ> который всегда вещественный и положительный, и который имеет смысл плотности вероятности обнаружения частицы в пространстве (также плотности заряда, если это заряженная частица).
            • 0
              Ой простите, я загнался. Физический смысл имеет квадрат модуля функции состояния, а то, что я написал — это интеграл от этого квадрата модуля. Выражение со скобками содержит интегрирование, которое в данном случае лишнее. Интеграл нужно убрать, конечно же.

              Никакие измерения даже в квантовой физике не дадут вам в результате ничего, кроме вещественного и положительного числа. А то, что происходит там «внутри» — это модель, а не измерения. Внутри модели может быть что угодно, я об этом и говорю. Важно только, чтобы внешне она соответствовала оригиналу.
        • 0
          Я вот тоже не совсем понимаю где кончается модель и начинается реальность. Если я попрошу Вас показать число 3, Вы мне покажите 3 пальца или 3 яблока или еще чего нибудь три… Отдельно от предметов Вы не покажите число три. Выходит число три — это такая же математическая модель?!!!
          • 0
            Число — в любом случае модель. Треугольник — тоже модель (например, традиционно он не имеет толщины), но если вырезать из бумаги «треугольник», вы увидите три угла. Но хотя бы он будет материальным выражением числа «три» (одним из). А сделать n-угольник с нецелым числом углов не получится, хотя виртуально рассматривать такие монстры можно.

            Два с половиной яблока плохо выражают модель нецелого числа, «это ещё с какой стороны посмотреть», то есть, материально — это три (независимых объекта). Ну и вообще нецелые числа трудно себе представить материально. Если вам принесли две спички и пол-спички, вы интуитивно так и скажете, а не будете говорить «две с половиной».

            С рациональными понятно. Иррациональные, но алгебраические числа: традиционный пример — sqrt(2) как диагональ квадрата. Очень наглядно, да? Совершенно очевидно, невооружённым взглядом, что диагональ не состоит в рациональном соотношении со стороной. А если вздумаем мерить линейкой (вполне себе материальное выражение длины), то получим ограниченную точность, и значит — целое число делений каждого типа. Иррационального не увидим.

            Ещё хуже — с неалгебраическими (вещественными) числами. Тут даже пример не привести.
            • 0
              Во-первых, у вырезанного из бумаги треугольника не получится точно определить углы. Во-вторых, углы у вырезанной из бумаги фигуры и, скажем, спички — это не представления натуральных чисел. Чтобы это было представлением, вам их надо научиться складывать. Попытайтесь предложить какой-нибудь непротиворечивый способ сложить спички и стороны треугольника и вы увидите, что для того, чтобы это сделать вам понадобятся понятия эквивалентности и фактора, которые уже существенно математические. Если вы их принимаете, то это сразу вытряхивает в нашу вселенную всю математику. Если не принимаете, то ни о каких объективных натуральных числах говорить нельзя.
              • 0
                Никто не требует определять «точно». Поэтому, кстати, никаких нецелых чисел — проблема точности определения «на глаз».

                А что касается эквивалентности — да, согласен. Слышал, что некоторые индейские (в смысле, американские) языки не имеют в себе абстрактных понятий, например, слова «дерево». Нельзя спросить «сколько деревьев» на том холме. Если там темно и Зоркий Орёл не смог определить тип растений, он просто их не назовёт, хотя и разглядел: мол, там было три сосны, и два клёна, а что ещё — не понял. А вы зато видите там восемь силуэтов, и легко понимаете, что это — явно деревья, хотя и непонятно, какие.

                Вообще мышление связано с языком. Если допустить в этот язык математику, весь мир станет «арифметичным». Но от этого в нём не появятся материальные выражения комлексных чисел или тензоров n-го ранга — эти понятия останутся абстракными в любом случае.
                • 0
                  На счет последнего тезиса можно очень долго спорить, но это довольно бессмысленное занятие. Например, можно заметить, что электромагнитные поля натуральными числами не описываются и никакой арифметики с ними связать нельзя. Однако от этого они не перестают существовать.
                  • 0
                    Не всё, что существует, может являться наглядным объектом. Электромагнитное поле, нейтронная звезда и молекула — штуки абстрактные, поскольку органами чувств не ощущаются. (Ладно, с полем я чуток слукавил — свет-то мы видим.) Но от этого они не перестают существовать (и мы плавно переходим к философии — привет, Рассел).
                    • +2
                      Не совсем понимаю, зачем здесь наглядность — очень странно было бы утверждать, что описания требует только то, что мы видим.

                      Ну и опять же — граница наглядности непонятно где проходит. Вы можете видеть стену в темной пещере своими глазами потому что зажгли фонарь, вы можете ее ощупывать руками в полной темноте, вы можете тыкать в нее палкой в полной темноте или использовать ультразвуковой дальномер. Действия в цепочке становятся все менее наглядными, но от этого стена существовать не перестает.

                      Мой тезис в том, что есть куча объектов, которые никаким образом нельзя задать натуральными числами. Вы можете их спроецировать в натуральные числа, но это будет крайне неестественной операцией.
                    • –1
                      И свет и нейтронная звезда и молекула и еще множество вполне реальных объектов существуют вне зависимости от нашего знания и нашего представления о них и нашей способности их наблюдать.
                • 0
                  Наука требует точных определений. Вы утверждаете, что целые числа можно определить на глаз, а вот дробные на глаз уже не определяются? Непонятно и что Вы ожидаете от материального выражения комплексного числа? Чтобы его можно было представить в яблоках? Вы же сами признали, что число само по себе — это модель, а значит некоторая абстракция отделенная от реальности. Натуральное число это абстракция над множеством эквивалентных друг другу абстрактных элементов, а в реальном мире каждый элемент уникален и требуется абстрагироваться от одних признаков и сосредоточиться на других. Одна абстракция базируется над другой. Натуральные числа определяются над множеством эквивалентных элементов, нулевой элемент по сложению и отрицательные дополняют абстракцию натуральных до абстракции целых, абстракция дроби определяется как отношения между целыми числами и так далее каждая более сложная абстракция основывается на простой, но оперирует при этом уже более сложным классом элементов. Поэтому ничего удивительного, что комплексные числа нельзя выразить в яблоках.
            • 0
              Пока писал, никак не мог вспомнить как они называются. Трансцендентные. Не удастся вам так просто назвать трансцендентное число, кроме e. Вы будете называть только трансцендентные функции от рациональных (а то и целых) аргументов. Прикол в том, что хотя их бесконечно много, континуум — то есть, много больше, чем даже алгебраических, которых счётное множество — записать (назвать) такие числа невозможно в принципе, только выражения, к ним приводящие. Да, ln(2) трансцендентно, но чему равно? Ответ — «примерно» и далее следует какое-то близкое к точному значению рациональное число.

              Ну, можно представлять себе векторы. До трёх измерений. Больше измерений представить не удаётся. В рамках векторов можно понимать комплексные числа, но «мнимость» их мнимой части не осознаётся совершенно никак.

              Любые более сложные объекты невозможно себе даже преставить в какой-то конкретной форме. Они понимаются исключительно в абстрактном виде, как записываются в виде выражений. Ландау про это так и говорил: мы сейчас можем понимать и осмыслять такие вещи, которые не можем себе представить.
              • –1
                Ну так вывод из всего написанного напрашивается такой: любое число — это абстракция, натуральные числа — простая абстракция, трансцендентные — относительно более сложная. Проблем в названии тоже нет, назовем число Пи, и сразу будет понятно что это, а вот его перевод в десятичное представление или в обыкновенную дробь — уже отдельная проблема.
      • 0
        Может всё-таки найдётся польза от понимания, как взаимодействуют бесконечности, пустота, и конечные количества.
        Их взаимодействие сильно различается в зависимости от их природы. В множествах бесконечность плюс 1 даст бесконечность, причем того же порядка. Для трансфинитных чисел бесконечность плюс 1 даст бесконечность плюс 1. Для пределов бесконечность плюс 1 дает такую же бесконечность, но если вычесть из результата первое слагаемое обратно — получится 1.

        Все эти области различаются допустимыми операциями над числами. А если слепить все это в одно целое — то не получится ничего, кроме парадоксов и ошибок.
        • 0
          Для трансфинитных чисел бесконечность плюс 1 даст бесконечность плюс 1

          Ну, это не бесконечность и обозначается по-другому имено для того, чтобы лишний раз не называли бесконечностью.
  • –1
    Прежде чем читать статью напишу это, чтобы вы не могли повлиять на мое мнение

    Кратко:
    На ноль делить нельзя потому, что деление это следствие умножения. Ну то есть производя деление вы подразумеваете, что что-то было на что-то умножено. В то же время умножение на ноль сильно отличается от умножения на что-то другое, поскольку всегда приводит к уничтожению умножаемого числа, а уничтожение происходит безвозвратно, прошлые качества числа теряются. То есть ноль для умножения это как числовая черная дыра — что бы в нее не попало перестает существовать. В этом смысле деление на ноль означает взрыв черной дыры: вы пытаетесь извлечь из черной дыры все, что там находится одновременно. Все эти числа, которые человечество за всю историю своего существования пыталось умножать на ноль, все они находятся там, томятся в заточении и копят злобу на человечество. Теперь вы пытаетесь извлечь их оттуда. Все, одновременно. Поэтому, чтобы не разрушить вселенную и не призвать все это Зло лучше на ноль не делить.

    Лирика:
    Если разбираться во всем по порядку, то во вселенной существует только один тип объекта — единица, но этих объектов неограниченное множество. А так же существуют операции над этим объектом. Первая это сложение — вы берете две единицы и ставите их рядом, получая в хаосе единиц уголок порядка — две единицы теперь стоят вместе и это двойка. Тем не менее во вселенной пока ничего не изменилось — все эти бесконечные единицы по прежнему там, просто они немного более упорядочены. (вычитание опустим, чтобы не углубляться)

    В этой воображаемой вселенной по идее уже не может существовать других операций, но тут человек придумывает умножение. Что такое умножение? В нашей вселенной, состоящей только из единиц это как добавление цвета: магическое превращение всех белых единиц в красные. То есть вот было у вас две белых единицы, они стояли вместе, рядышком и были двойкой, т.е. двумя единицами. Теперь вы производите умножение на два и вселенная меняется: все белые единицы становятся красными (и каждая красная гордо именует себя четверкой), а те две рядом стоящие единицы вновь находятся во всеобщем хаосе. Любая красная единица в этой вселенной теперь это четверка. Но для вселенной это просто красная единица, чего бы она там о себе ни возомнила. Умножая мы меняем цветовое качество единиц, но сами единицы остаются теми же, что и были.

    Теперь деление. Деление это обратное преобразование красных единиц в белые или же красных единиц в какие то другие цветовые качества. То есть по сути это то же самое, что и умножение — изменение цвета, но лишь по другому закону. Есть единицы, которые мы красим в «дробные цвета», есть единицы, которые окрашены в «целые цвета», но всё это по прежнему единицы, они лишь разного качества.

    Теперь что такое умножение на ноль? Это уничтожение единиц! Жестокая операция, которая существует в единственном виде. Единицы становятся черными и пропадают из вселенной цветных единиц. Теперь у них есть своя вселенная, где всех гребут под одну гребенку — там все имеют черный цвет. При этом не важно, каких цветов были единицы до этого, белые они были или красные, они все станут черными. Умножение на ноль разрушает всю цветовую гармонию цветового многообразия-умножения. Умножение на ноль это совсем не то, что умножение на что-то еще: простое умножение это жизнь, а умножение на ноль это смерть. Жизнь единиц разнообразна, они постоянно совершают великие дела-умножения и поэтому меняют свои цвета. Но умножение на ноль жестоко — какие бы великие дела единицы не совершали прежде, умножение на ноль делает все это великое прошлое бессмысленным, оно прерывает нить причинно-следственных связей разноцветных единиц. Теперь у них нет будущего — что бы ни происходило с ними после умножения на ноль, не изменит их цвета, теперь они всегда останутся черными.

    Именно жестокость этого мира, т.е. умножение на ноль, делает невозможным обратный шаг — деление на ноль. Поделить на ноль это как вернуть к жизни мертвого. Единственный шанс для всех этих несчастных единиц избежать своей судьбы и сбросить ярмо умножения на ноль это сделать возможным деление на ноль, но этого невозможно сделать, поскольку деление на ноль и умножение на ноль это как инь и янь, как свет и тень — если существует умножение на ноль, то деление на ноль не может существовать. Если мы хотим, чтобы существовало деление на ноль, то мы должны будем отказаться от умножения на ноль. Вот и получается, что равно как отказ от умножения на ноль, так и разрешение деления на ноль приведет к тому, что любые операции с нулем скорее всего вообще будут запрещены. А ведь вся каша заварилась не из за деления или умножения, а из за нуля! Это он во всем виноват, его необходимо изгнать!
    Я думаю, это единственный шанс для единиц сбросить ярмо этого жестокого мира и попасть в другой, лучший мир, где нет ни тьмы ни зла, а есть лишь бесконечное счастье, то есть бескрайняя радуга цветных умножений, вечная и счастливая жизнь!
  • +2
    Какая ещё табуированная тема? Первый курс высшей математики. Пределы, степени бесконечности, деление и умножение бесконечностей и нулей. Всё прекрасно вписывается и всё в учебниках есть. Учиться надо, а не фантазировать )
    • 0
      И я там был, пытался этот мёд пить, по усам текло, да как видно в голову не так много и попало. Насколько я помню, никто там в чистом виде нули и бесконечности не делит, всегда есть оговорки — предел 1/x при x стремящемся к нулю с положительной стороны равен плюс бесконечности, и т.д. А я предлагаю пофантазировать про именно чистые, беззнаковые, и не стремящиеся, а уже прилетевшие в ноль или в бесконечность понятия. Если же матан уже так сильно ушёл вперёд что и вправду смело делит на чистый ноль — прошу ссылку, почитаю.
      • +1
        Потому, что бесконечность — не число, а на ноль никто смело не делит. Вот тут есть про 1/0: ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9F%D1%81%D0%B5%D0%B2%D0%B4%D0%BE%D0%BE%D0%B1%D1%80%D0%B0%D1%82%D0%BD%D0%B0%D1%8F_%D0%BC%D0%B0%D1%82%D1%80%D0%B8%D1%86%D0%B0
      • 0
        Гуглить типы неопределённостей, раскрытие неопределённостей, правило Лопиталя.

        Математика не рассматривает уже прилетевшие бесконечности, потому что мы не можем увидеть установившегося значения в таком случае, его возможно просто не существует. Математика рассматривает этот процесс как бы в динамике (как функцию) и сравнивает две бесконечности как скорости стремления двух разных функций в бесконечность. Вводится понятие бесконечностей высшего и низшего порядка. Ноль же рассматривается как бесконечно малая функция, там всё то же самое. Неопределённость деления на ноль раскрывается с учётом того с какой стороны и с какой скоростью функция к нулю стремилась, а также куда и с какой скоростью стремилась функция которую на ноль делят или умножают. Сам же ноль никогда не устанавливается ни в математике, ни в природе. Как и бесконечность.
        • 0
          Математика не рассматривает уже прилетевшие бесконечности

          Рассматривает, только не называет их бесконечностями. Гуглите трансфинитные числа.

          Другое дело, что я не знаю ничего про практическое применение такого аппарата.
  • +1
    Лучше расскажите как создавался наш мир:
    Сначало не было ничего — 0
    Потому ничего, возвели в степени ничего, т.е. 0^0
    А любое число в 0-й степени равно 1, т.к. 0 ^ 0 = 1, это был Б-г.
    Потом он поделил себя на ничего 1 / 0 = ∞
    И начался такой хаос, который мы до сих пор разгребаем.
    • 0
      Нравится) Хоть я и не согласен, что любое число в 0-й степени равно 1, но всё равно нравится. Кто знает, может так всё и было)
    • 0
      Ура! С любопытством ждал появления в комментариях какого-то отголоска креационизма, так как сделать сделать такой вывод крайне соблазнительно после «результат деления на ноль это весь конечный мир, точнее всё, что и не бесконечно и не пустота»!
  • 0
    По сути операция деления b/a — это решение уравнения a*x = b. Делить b != 0 на ноль нельзя, поскольку в этом случае у уравнения нет решений, а вот когда b равно 0, уравнение имеет бесконечное число решений. Поэтому, чтобы операция деления всегда давала однозначный результат, запретили и 0/0. Подобную аксиоматику я видел в каком-то серьезном учебнике по алгебре для высшей школы. Вспомню — напишу автора.
    • –2
      Чётко написано. Так всё и было, я думаю. Запретили заодно и 0/0, а то опять начнётся — земля не плоская… жечь их всех таких, и запрещать.
      Вот я и пытаюсь обратить внимание, что не такая земля уж и плоская…
  • 0
    Тут не философия, тут аксиоматика операций над числами.
    • 0
      Дело тут в том, что не нравится нам подобная аксиоматика, это как «Вот дверь, в неё входить нельзя. Никому и никогда. Это закон.»
      • +2
        Входить можно, но это будет другая алгебра (если мы введем деление на ноль), и надо тогда внимательно смотреть, какие классические теоремы нарушаются. Скорее всего, новая теория будет никому не нужна.
        • +1
          Вот именно. Есть алгебры, где определяется деление на нулевой элемент. И результатов такого деления может быть много, и так далее. Но мы-то об арифметике.
          • 0
            Так алгебра — это расширение арифметики.
            • 0
              Ну тогда ответ на вопрос топика вообще «подрастёшь — узнаешь». В арифметике никак на ноль делить нельзя, можно расширть арифметику и тут уже как повезёт, может быть, станет можно.
      • +3
        А вы математикой занимаетесь, чтобы вам не нравилась такая аксиоматика?
        Вот вам зачем деление на ноль? Какой вам от этого толк? Эстетический? А почти всем математикам это не нужно.
        В гиперреальных числах тоже на ноль не делят, делят на специальные «числа», которые мы «трактуем как бесконечно малые». И все.
        Что более забавно, это мы так определили всю систему, что делить на ноль нельзя. Это не то что закон — это факт.
        В анализе тоже не делят на ноль, все примеры с пределами — это не деление на ноль, это именно что пределы.
        Более того, кольцо, где у нуля есть обратный — состоит из одного элемента — из нуля и единица совпадает с нулем.
        • –1
          Самое смешное, что автор тоже не на ноль делит — хотя бы потому что ноль один, а у него есть 0^1 и 0^2.
        • +2
          TakeOver, поддерживаю.
  • 0
    Отличня статья. Хочу ещё)
    И книг тут насоветовали хороших.
    • +1
      Книг насоветовали отличных! А статья ужасная, хочу нормальную)
      • 0
        Я тоже)
        Моя статья и вправду безумная, и не скрывает, что это всё абсурд и фантазии.
        С удовольствием прочитаю нормальную статью, которая впишется в существующие законы математики. Напишите?
        • 0
          Рекомендую книгу В.А. Успенского «Что такое нестандартный анализ?».
          • 0
            Спасибо, прочитаю.
            • 0
              Владимир Андреевич Успенский — известный математик, ученик Андрея Николаевича Колмогорова. По нестандартному анализу у Успенского еще выходила статья в научно-популярном журнале «Наука и жизнь» (1984, №1).
  • +8
    Статья получилась занятной, но зря вы запутываете людей фантазиями :) Вся эта метафизика и рассуждения о том, как вольно трактуют деление на ноль калькуляторы и джава скрипты, только мешает пониманию сути вопроса. А суть его в том, что обратный элемент для поглощающего элемента по умножению может существовать только в тривиальном числовом кольце.

    В самом деле, допустим, что на ноль можно делить. Тогда существует число, обратное нулю, обозначим его omega = 1/0. Поскольку оно обратно нулю, то верно 0*omega = 1. Но с другой стороны, для любого x 0*x = 0. Следовательно, 0*omega = 0. В итоге, имеем 0 = 1; а далее уже нетрудно вывести, что все прочие числа равны между собой и равны нулю. А это не так, если мы говорим про рациональные или действительные («обычные») числа.

    Вот так я объяснил своему десятилетнему сыну этот вопрос, когда мы начали заниматься арифметикой по книге Диофанта. Когда сын подрастет и дорастет до абстрактой алгебры, я расскажу ему о тривиальном кольце {0}, состоящем из одного нуля. Это то самое числовое кольцо, где можно делить на ноль и все числа равны между собой :)

    К сожалению, мне в детстве никто так и не рассказал, почему на ноль делить нельзя. Все открещивались и говорили, что так не принято. И я тоже долгое время глядел на график гиперболы, и наивно думал, что 1/0 = infinity. Все встало на свои места, когда мне было лет 13, и я начал самостоятельно изучать математическую логику и теорию пределов. Изложенное выше доказательство пришло на ум само собой.
    • +1
      Вообще говоря, можно определить алгебраическую структуру в которой можно делить на ноль без проблем (референс), но ценность этого довольно сомнительна.

      Мне несколько непонятны утверждения выше, основная мысль которых заключается в том, что существует какая-то нерешенная проблема в математике, заключающаяся в делении на ноль. Конечно же никаких проблем такого рода не существует.
      • 0
        По ходу дела, в этой работе числовое поле расширяется добавлением в него двух элементов 1/0 и 0/0. Спасибо за ссылку, надо на досуге поизучать новые теории :)
      • +3
        Да. Нерешенной проблемы в делении на ноль в математике не существует. Есть проблема в методике. Есть проблема в квалификации учителей и преподавателей, когда они не могут внятно объяснить почему нельзя делить на ноль.

        Про пополнения числовых колец до числовых «колес» тема любопытная. Но эта работа (если, допустим, в ней нет никаких ошибок) все равно ничего не меняет в классической арифметике.
        • 0
          Согласен. Абсолютно ничего не меняет. Как я уже писал, практическое применение такое пополнение вряд ли будет иметь.
    • –2
      PavelSandovin, спасибо за этот комментарий. Вы объяснили доступно и математически точно. Но мне кажется, мои фантазии в духе «а что, если» скорее полезны, чем вредны, ведь они добавляют желания выйти за границы классической арифметики и изучать дальше.
      • +1
        Конечно, фантазии полезны. Но они бывают разными. Например, когда я начал изучать геометрию, мне не давал покоя следующий парадокс: отрезок имеет длину, хотя ни одна из составляющих его точек длины не имеет.

        Тогда я придумал несколько аксиом, как я назвал их тогда, «многоразмерно-точечной геометрии», где точки имели размеры.

        Эти аксиомы я записал в конце тетради. Каково было разочарование, когда после очередной проверки тетрадей, я обнаружил под своими записками рецензию учительницы, в которой доказывалось, что мои построения противоречивы, т.е. не принадлежат математике.

        К счастью, это не отбило желание изучать дальше — наоборот, я взялся за ум и перестал получать по геометрии тройки :)

        С другой стороны, есть аксиома о параллельных Евклида и Лобачевского, есть теория алгебраических расширений — это тоже когда-то были фантазии, но они математически безупречны.
    • +1
      А мне кажется всё дело в том, что нуля в реальности нет. Он есть только в математике и создает там свои проблемы. Ровно также в реальности нет и (актуальных) бесконечных множеств, они только в абстракции.
      Я это к тому, что если в реальности нуля нет, то и насрать, что он там творит в математике. И если на него делить нельзя, это будет только проблемой теории, а описать реальность — зачем и нужны науки — не поможет.
      • +1
        Когда в кошельке остается 0 рублей, а до новой зарплаты — неделя, или когда в день выдачи зарплаты работодатель заявляет, что у него кассовый разрыв и на счетах по нулям — реальность нуля ощущается в полной мере.
        • 0
          В любом кошельке есть 0 слонов, 0 бетонных стен, 0 чего угодно. Истину глаголю )
          0 — все же математическая абстракция, имеющая к реальности «странное» отношения…
      • 0
        В реальности есть только положительные целые числа. Тут где-то есть мой комментарий с пояснением.
        • –2
          Как только вы сможете показать реально существующее в природе целое положительное число, вам тут же покажут и рациональные и комплексные над Q и трансфиниты и, может быть, даже действительные числа.

          Вы, либо, до конца идите, говоря, что чисел вообще нет, либо принимайте сразу весь багаж.
  • 0
    Интересно, работают ли эти рассуждения как снотворное или сильно будет зависеть от интонации?
  • +1
    Дайте дочке посмотреть как физматематик Семихатов размышляет о связи математики с окружающим миром!
    • +2
      Спорное высказывание насчёт отрицательных чисел в природе. Всё-таки отрицательные числа это абстракция для удобства расчётов, в природе всё выражено количественно.
  • +3
    Список к прочтению на основе комментариев к этой статье:

    Для детей и взрослых:
    • «Автоматическая Алиса» Джеффа Нуна
    • «А почему» publ.lib.ru/ARCHIVES/A/%27%27A_pochemu%27%27/_%27%27A_pochemu%27%27.html
    • «Почемучка»
    • «Путешествия по Карликании и Аль-Джебре»
    • «Приключения рассеянного магистра»
    • «Занимательная физика, математика,..» Якова Перельмана
    • «Cooking for Geeks»

    Для взрослых:
    Большое спасибо всем, кто дал эти рекоммендации.
    Если я что-то пропустил, дайте знать, пожалуйста.
    • +3
      Книги, которых не было в комментариях:

      — Диофант Александрийский «Арифметика и книга о многоугольных числах».

      Хотя она далека от обсуждавшейся темы, считаю, что понять красоту арифметики без знакомства с этой великой книгой нельзя.

      Далее, чтобы понять как устроены числа (и почему именно так), рекомендую:

      — И.В. Арнольд «Теоретическая арифметика», М, ОГИЗ 1938 — очень подробная и детальная книга, в которой можно найти описания классических числовых систем, включая кватернионы.
      — Е.Г. Гонин «Теоретическая арифметика», М, 1959 — эта книга покороче и посовременнее, и тоже очень хороша.

      Также можно почитать книгу С. Фефермана «Числовые системы», но она местами достаточно сложна; также в ней изложены некоторые частные вопросы, которых нет в двух других книгах по теоретической арифметике.

      Также рекомендую брошюру А.А. Кириллова «Что такое число?» (1993) см. http://www.math.ru/lib/book/djvu/chislo.djvu — но она на подготовленного читателя.

      Прекрасна популярная книга «Математические беседы» Дынкина и Успенского — в ней масса информации и задач по такой «нестандартной» теме, как p-адические числа, причем материал рассчитан на школьников.

      Из современной популярной литературы для взрослых и детей рекомендую 40-томную серию «Мир математики» (это перевод www.everythingismathematical.com/, русское издание осуществляет издательство DeAgostini), сейчас книжки из этой серии продаются в газетных киосках. Серия очень хороша, несмотря на то, что в некоторых местах встречаются досадные опечатки и фактические ошибки (например, Архимеда называют Аристотелем — возможно, это проблемы перевода).
  • +1
    Мне кажется для дочки будет гораздо понятнее вот это объяснение:
    avva.livejournal.com/2697498.html
    • –2
      Если цель — подтвердить, что «на ноль делить нельзя», то да.
      У меня же была другая цель — разобраться, почему мнения расходятся.
      Заодно удалось получить интересный список к прочтению и мотивацию изучать математику глубже в этом направлении.
  • 0
    Так это очень похоже на статью в еще бумажной компьютерре про алгебру бесконечностей.
    • –1
      Спасибо, я разыскал эту статью: old.computerra.ru/think/332773/ — «Мерцающий компьютер бесконечности» про арифметику Ярослава Сергеева, разработанную в полном соответствии с научными стандартами. Особенно мне понравился фрагмент про мотивацию:
      Поясняя мотивы для разработки своей системы, Сергеев приводит пример арифметики, используемой одним из живущих в дельте Амазонки племен. Индейцы племени Пираха (Pirahг) считают так: один, два, много. Для них и 1 + 2 = много, и 2 + 2 = много. Что такое 3 или 4, они не представляют. Сергеев уверен, что этот примитивный способ счета очень важен для нас, потому что дает отличную аналогию с современным понятием бесконечности. Действительно, в системе счета Пираха операции много + 1 и много + 2 дают один и тот же результат: много. Нечто похожее мы имеем и в современной математике: ∞ + 1 = ∞ и ∞ + 2 = ∞. Это сравнение наводит на следующую простую мысль: как индейцы Пираха не могут различить числа 3, 4, 5 и т. д. из-за неразвитости их системы записи конечных чисел, так и мы не можем различить бесконечные числа из-за неразвитости наших способов представления бесконечности. Именно поэтому возникают проблемы при вычислениях, связанных с бесконечно большими и бесконечно малыми величинами: невозможность их представления в памяти компьютера, необходимость введения понятия предела, неопределенные формы типа ∞ — ∞ и т. д., заключает Сергеев.
      • 0
        Еще с самого начала я понял, что ничего нового в той теории нет:
        Ярослав Сергеев придумал арифметику, объединяющую конечные и бесконечные числа. Более того, он разработал (и запатентовал!) конструкцию компьютера, выполняющего операции этой арифметики.
        Зачем нужна особая конструкция компьютера, если достаточно библиотеки?

        Но окончательно все стало ясно после вот этого фрагмента:
        Во всяком случае, парадокс Банаха-Тарского в теории Сергеева не возникает — дело в том, что точки, из которых состоят шары, в данном случае можно просто пересчитать, выразив их количество соответствующей записью вида (1), и это не позволяет выполнять трюки с производством предметов из ничего.
  • –2
    Статья шикарная. Как говорится «сам уже понял»…
    Можно спокойно в школьную программу добавлять.
  • –1
    Да…
    Как говорится, мне, пожалуйста, то же самое, чо пьют за соседним столиком :)
    Больше всего понравилось, что 0/0 = наша реальность (или конечный мир).

    — Потому и трудно понять ад, что понимать почти нечего, в прямом смысле слова. Но и на земле так бывает.
    Клайв Стейплз Льюис «Великий развод»
  • 0
    — Почему нельзя делить на ноль?
    — 42.
    — Это и есть ответ на этот вопрос, над которым ты думал миллионы лет?
    — Да.

Только зарегистрированные пользователи могут оставлять комментарии. Войдите, пожалуйста.