Делить на ноль — это норма. Часть 1

Часть 1. Вобще-то уже все поделили до нас!
Часть 2. Истина где-то рядом

Говорят, можно поделить на ноль если определить результат деления на ноль. Просто нужно расширить алгебру. По странному стечению обстоятельств найти хоть какой-то, а лучше понятный и простой, пример такого расширения не удается. Чтобы исправить интернет нужна либо демонстрация одного из способов такого расширения, либо описание почему это не возможно.



Статья написана в продолжение тренда:

Disclaimer


Цель данной статьи — объяснить «человеческим языком», как работают фундаментальные основы математики, структурировать знания и восстановить упущенные причинно-следственные связи между разделами математики. Все рассуждения являются философскими, в части суждений расходятся с общепринятыми (следовательно, не претендует на математическую строгость). Статья рассчитана на уровень читателя «сдал вышку много лет назад».

Понимание принципов арифметики, элементарной, общей и линейной алгебры, математического и нестандартного анализа, теории множеств, общей топологии, проективной и аффинной геометрии — желательно, но не обязательно.

В ходе экспериментов ни одна бесконечность не пострадала.

Пролог


Выход «за рамки» — это естественный процесс поиска новых знаний. Но не всякий поиск приносит новое знание и следовательно пользу.

1. Вобще-то уже все поделили до нас!


1.1 Аффинное расширение числовой прямой


Начнем с того, с чего начинают, наверное, все искатели приключений при делении на ноль. Вспомним график функции .

Слева и справа от нуля функция уходит в разные стороны «небытия». В самом нуле вообще “омут” и ничего не видно.

Вместо того, чтобы бросаться в «омут» с головой, посмотрим что туда втекает и что оттуда вытекает. Для этого воспользуемся пределом — основным инструментом математического анализа. Основная “фишка” в том, что предел позволяет идти к заданной точке так близко, как это возможно, но не “наступить на нее”. Такая себе “оградка” перед “омутом”.


Оригинал

Хорошо, «оградку» поставили. Уже не так страшно. У нас есть два пути к «омуту». Зайдем слева — крутой спуск, справа — крутой подъем. Сколько к “оградке” не иди, ближе она не становится. Пересечь нижнее и верхнее «небытие» никак не выходит. Возникают подозрения, может мы идем по кругу? Хотя нет, числа-то меняются, значит не по кругу. Пороемся в сундучке с инструментами математического анализа еще. Кроме пределов с «оградкой» в комплекте идет положительная и отрицательная бесконечности. Величины совершенно абстрактные (не являются числами), хорошо формализованы и готовы к употреблению! Это нам подходит. Дополним наше «бытие» (множество вещественных чисел) двумя бесконечностями со знаком.


Математическим языком:
Именно это расширение позволяет брать предел при аргументе стремящемся к бесконечности и получить бесконечность в качестве результата взятия предела.

Есть два раздела математики которые описывают одно и тоже используя разную терминологию.

С геометрической точки зрения выполнено аффинное расширение числовой прямой. То есть привычная последовательность вещественных чисел “сжата” так, чтобы можно было оперировать границами этой последовательности. В качестве границ (условных) введены две абстрактные бесконечно большие величины. Расширение аффинное, но это не значит что оно пришло из Греции, это значит что сохраняется относительное положение точек (в нашем случае чисел) на прямой. Отсюда и следует, что сохраняются отношения “больше” и ”меньше” как для чисел между собой, так и в сравнении с границами.



С точки зрения общей топологии выполнена двухточечная компактификация числовой прямой путем добавления двух идеализированных точек (бесконечностей с противоположным знаком).


1.2 Проективное расширение числовой прямой


Прогуливаясь по графику , у нас есть только два пути к нулю (слева и справа). В конце каждого пути стоит небольшая «оградка». По странному стечению обстоятельств одна и та же «оградка» оказалась и на дне и на вершине «бытия». Если мы хотим чтобы пути сошлись, то за «оградкой» нам нужен телепорт из одного конца «бытия» в другой. Мы уже такие телепорты видали. Не проблема.



Попробуем состыковать обе границы «бытия» так, как это делали наши предки. Перейдем на одно измерение выше. Отобразим одномерную линию на двумерной плоскости.



После стыковки наличие двух знаковых бесконечностей теряет смысл. Вместо них можно ввести одну общую точку пересечения, беззнаковую бесконечность.




Эта стыковка очень похожа на линию перемены даты находящуюся (в основном), между часовыми поясами UTC+12 и UTC-12 в Тихом океане. Именно там находится телепорт из сегодня во вчера и из сегодня в завтра. У нас же телепорт из сверхмалых в сверхбольшие.

Математическим языком:
По факту это самостоятельное расширение, проведенное над исходным множеством вещественных чисел. Данное расширение не основывается на рассмотренном ранее аффинном расширении.

С геометрической точки зрения выполнено проективное расширение числовой прямой (есть информация на wolfram.com). То есть введена идеализированная точка которая соединяет оба конца вещественной прямой. Так как расширение не аффинное, сравнение вещественных чисел с бесконечностью не определено.

С точки зрения общей топологии выполнена одноточечная компактификация числовой прямой путем добавления идеализированной точки (бесконечности без знака).

Аналогичным расширением над полем комплексных чисел является широко известная в математических кругах Сфера Римана.

Хорошо, избавились от знака минус. Однако в нуле у нас разрыв второго рода и устранимой точкой разрыва его нельзя считать по определению. Нарушается требование «конечности» предела. Соответственно мы не можем судить о равенстве предела справа и слева.

Но так как приближение к бесконечности выполняется по одинаковым правилам, мы можем утверждать что пределы слева и справа совпадают. Соответственно мы можем принять наш разрыв за точку устранимого разрыва в бесконечности.

Математическим языком:
Посмотрим внимательнее, как мы оперируем бесконечно большими и малыми величинами. При операциях мы часто пренебрегаем малыми низшего порядка попросту отбрасывая их при записи результата.


Аналогичная ситуация при нахождении производных


Отбрасывая «мелочевку» мы теряем информацию! Это хорошо видно на примере взятия пределов. Рассмотрим две функции, которые стремятся к положительной бесконечности при стремлении аргумента к нулю справа.


Однако одинаковая запись результата взятия предела не свидетельствует о их равенстве. Данные бесконечности разного порядка и это подтверждается отсутствием конечного предела в отношении одной функции к другой.


В нестандартном анализе такие упрощения не допустимы. Поле вещественных чисел расширяется путем введения гиперреальных чисел. Бесконечно малые представлены в виде привычного значения — ноль, но в довесок хранится вся выкинутая “мелочевка”. Для бесконечно больших потенциальная бесконечность (две или одна — неважно), разбивается на множество актуальных бесконечностей. С одной стороны мы усложняем (теряем возможность поглощения/пренебрежения). С другой стороны мы приобретаем возможность сравнения бесконечно малых и бесконечно больших величин. А это значит что мы можем рассматривать бесконечности как числа.


Для функции актуальные бесконечности слева и справа от нуля равны (по модулю, т.е. не учитывая знак), так как:
  • с обеих сторон путь (количество элементов, которые нужно пройти) от нуля до бесконечности одинаков;
  • алгоритм приближения (формула в виде дроби) одинаков;
  • знак минус в алгоритме не влияет на скорость или ускорение приближения к бесконечности.

Стоит отметить что указанные критерии условны и не приведены к формальным определениям нестандартного анализа.

Для дальнейших рассуждений понятие актуальной бесконечности нам больше не потребуется. Мы возвращаемся в привычный мир где будем оперировать понятием бесконечность, подразумевая потенциальную бесконечность.

Хорошо, пределы совпадают. Теперь, похоже, все готово для устранения разрыва между ними.


В математической модели, использующей проективное расширение числовой прямой, деление на ноль определено.


Создается впечатление что наша задача решена. Однако не будем спешить, посмотрим к каким последствиям это привело. В дополнение к делению в системе определены следующие операции (напомним, что бесконечность беззнаковая).


Практически все они с дополнительными условиями, это настораживает. Но не будем спешить, лучше посмотрим на список неопределенных операций:

Посмотрим как будет вести себя дистрибутивный закон. Подставим в него определенные значения и выполним требуемые операции.

Как следствие, часть тождеств перестает вести себя так как мы привыкли. Однако, они не исчезли бесследно. Дистрибутивный закон работает только справа налево (т.е. в случае, когда правая часть равенства определена). Это один из ярких примеров негативных последствий. Другие же тождества сохранилась в более-менее устойчивой форме.

Подытожим:
  1. Изменилось привычное поведение тождеств. Чтобы ими оперировать, нужно не забывать про новые дополнительные условия.
  2. Искажено привычное поведение нуля. Мы привыкли рассуждать, если ноль раз взять что-либо, то будет ноль. Однако в данной алгебраической системе произведение нуля на бесконечность не определено. Соответственно алгебраическое выражение с переменными, в котором встречается например такая запись , не может быть упрощено в одностороннем порядке.
  3. Исчезает возможность привычного сравнения. Сравнение на больше-меньше определено только на части пространства. Например, сравнение вещественных чисел с бесконечностью не определено.
  4. Полученная алгебраическая структура не поле в терминах общей алгебры. Нарушается дистрибутивный закон (показано выше). Так же не существует обратного элемента для бесконечности (произведение этого элемента и бесконечности должно дать единицу). Последние можно рассматривать как следствие неопределенности деления бесконечности на бесконечность. Но все же следует понимать что это грубое упрощение. Строгое определение обратного элемента не связано с операцией деления.

В сухом остатке. Старые подходы перестали работать. Сложность системы, в виде кучи “если”, “для всех, кроме” и т.п., возросла. У нас было только две неопределенности 1/0 и 0/0 (мы не рассматривали степенные операции), стало пять. Раскрытие одной неопределенности породило еще больше неопределенностей.


1.2 Колесо


На введении беззнаковой бесконечности все не остановилось. Для того чтобы выбраться из неопределенностей нужно второе дыхание.

Итак, у нас есть множество вещественных чисел и две неопределенности 1/0 и 0/0. Для устранения первой мы выполнили проективное расширение числовой прямой (то есть ввели беззнаковую бесконечность). Попробуем разобраться со второй неопределенностью вида 0/0. Сделаем аналогично. Дополним множество чисел новым элементом, представляющим вторую неопределенность.

Определение операции деления основано на умножении. Это нам не подходит. Отвяжем операции друг от друга, но сохраним привычное поведение для вещественных чисел. Определим унарную операцию деления, обозначаемую знаком "/".


Доопределим операции.


Данная структура называется «Колесом» (Wheel). Термин был взят из-за схожести с топологической картинкой проективного расширения числовой прямой и точки 0/0.

Вроде все неплохо выглядит, но дьявол кроется в деталях:
  • Умножение ∞ либо ⊥ на ноль не дает ноль. Это приводит к тому, что в общем случае.
  • Для ∞ и ⊥ отсутствуют обратные элементы по обеим бинарным операциям. Это значит, что по умножению в общем случае. Как следствие, нет возможности ввести бинарную операцию деления покрывающую все пространство.
  • Симметричная ситуация по сложению, в общем случае.

Чтобы устаканить все особенности, дополнительно к расширению множества элементов прилагается бонус в виде не одного, а двух тождеств, описывающих дистрибутивный закон.


Математическим языком:
С точки зрения общей алгебры мы оперировали полем. А в поле, как известно, определены всего две операции (сложение и умножение). Понятие деления выводится через обратные, а если еще глубже, то единичные элементы. Внесенные изменения превращают нашу алгебраическую систему в моноид как по операции сложения (с нулем в качестве нейтрального элемента), так и по операции умножения (с единицей в качестве нейтрального элемента).

В трудах первооткрывателей не всегда используются символы ∞ и ⊥. Вместо этого можно встретить запись в виде /0 и 0/0.

Мир уже не так прекрасен, не правда ли? Все же не стоит спешить. Проверим, справятся ли новые тождества дистрибутивного закона с нашим расширенным множеством .


На этот раз результат намного лучше.

Подытожим:
  1. Все операции хорошо определены и нет возможности «вывалиться за борт».
  2. Элементарная алгебра является частным случаем колеса. Если мы отбросим надстройки ∞ и ⊥ (то есть снова сможем утверждать что и ), то все формулы выродятся в привычные.
  3. По ощущениям все что было “не определено” (Undefined) при проективном расширении было обозначено символом . Данный объект так же поглощает все с чем столкнется как и “не определено”. Все щели, где появились неопределенности при проективном расширении, были заткнуты данным объектом.

В сухом остатке. Алгебра работает отлично. Однако за основу было взято понятие «не определено» которое стали считать чем-то существующим и оперировать им. Однажды кто-нибудь скажет, что все плохо и нужно разбить данное «не определено» еще на несколько “не определено", но помельче. Общая алгебра скажет: “Без проблем, Бро!".
Примерно так постулированы дополнительные (j и k) мнимые единицы в кватернионах.

Стоит отметить, существуют и другие алгебраические системы с делением. Например, «луга» (common meadows). Они чуть проще, так как не расширяют пространство, вводя новые элементы. Цель достигается как в колесах, трансформацией операций сложения и умножения, а так же отказом от бинарного деления.

Возможность «передвигать неизвестные» для математики норма. Но все эти обертки не дают ответа на главный вопрос, что же там внутри?


Полезная литература
Метки:
Поделиться публикацией
Похожие публикации
Комментарии 102
  • +2
    Отличная работа. Что будет в части 2?
    • +5
      Во второй части заход «с другой стороны» вопроса — к первоистокам арифметики.
    • –15
      Класс! Иногда кажется, что чёрные дыры реальны из-за нулей… поживём увидим!
      • +5
        Сколько бы я ни читал различных популярных статей о том, почему на ноль делить нельзя, всё никак не мог понять, а, собственно, почему нельзя-то. Наконец автор данного замечательного труда донёс ту мысль, которая всегда не давала мне покоя — делить можно, просто получим другую алгебру с другими свойствами (я правильно всё понял?). Уффф… С нетерпением ждем продолжения!
        • +1
          в первом приближении да — такие алгебры уже существуют. Выдумывать что-то свое уже не так заманчиво :)
          • 0
            Как читатель, получивший диплом 10 лет назад и ни разу на практике теорию чисел (да и почти всего остального тоже) не применявший, я понял так, что:

            1. В стандартных теориях введение исключений при делении на 0 позволяет избавиться от противоречий (и головняка) в свойствах поверх аксиоматики.
            2. В данной статье описывается, как предки предложили специальные обозначения для двух типов сложных ситуаций, и в общем никто не запрещает эти случаи ещё раздробить – как обычно говорится в таких случаях, читателю предлагается проделать это самостоятельно [при желании].
        • +2
          «Колеса» и «кольца», «поля» и «луга», я смотрю, у математиков своеобразное чувство юмора.
          • +3
            Подозреваю, что школьный анекдот про «квадратный корень» и «многочлен» Вы тоже не слышали?
            • 0
              Не слышал, но зато слышал про суперфакториал и суперпуперфакториал.
              • +1
                Озвучьте, если уж на то пошло.
                • +2
                  Ну, просто есть факториал числа n! = 1 * 2 * 3....* n
                  Есть суперфакториал n — sf(n) = 1! * 2! * 3!… * n!
                  И есть гиперфакториал (superduperfactorial) — H(n) = sf(1) * sf(2)… * sf(n).

                  Просто забавно, на мой взгляд. Т.е. это не анекдот, а реальные термины. Как понравившиеся мне «луга» в посте.
              • +2
                По типу такого?
                5^2
                image
                • 0
                  Про три вторых помните?:)
              • –2
                В JS это все реализовано в описанном виде, очень удобно.
                • +3
                  Что именно реализовано в JS в описанном виде?
                  • –2
                    Получение Infinity и -Infinity при делении на ноль и их корректное поведение при дальнейших арифметических и логических операциях.
                    Например, Infinity * 0 дает NaN, что достаточно корректно отражает «не ноль» и т.п. в соответствии с описанной алгеброй.
                    Правда вторую неопределенность для 0/0 вводить не стали, ограничились NaN.
                    • 0
                      Ах, это вы о IEEE 754. Смотрю, тут ниже уже ответили. Я добавлю, что все не так уж радужно, как кажется на первый взгляд. Например:

                      var a=0
                      for (var i=0; i<100; a+=0.1, ++i);
                      if (a != 10) console.log(«a = „+a+“ wtf?!»);

                      var a = 1e8, b = 1e-9;
                      if (a+b == a) console.log(a+"+"+b+" == " +(a+b)+ " wtf?!");

                      Второй пример в одинарной точности можно повторить, положив b = 1

                      Но это даже, не к IEEE 754 «претензии». Просто сетую на конечность битов и байтов %)
                  • +3
                    JS тут не причём, это IEEE 754. И в нём больше фич, чем вы думаете. И к математике он отношение имеет условное. Например, по нему 9e999==Infinity. :)
                    • 0
                      Век живи)
                      • 0
                        Да уж. Cмесь понятий бесконечно малая и ноль выглядит весьма печально, с математической точки зрения.
                        console.log(-0)
                        // -0
                        console.log(0)
                        // 0
                        console.log(-0 === 0)
                        // true
                        console.log(-1/0)
                        // -Infinity
                        console.log(1/0)
                        // Infinity
                        
                    • –1
                      Меня вот всегда интересовало почему математики не вводят, по аналогии с комплексными числами (i = sqrt(-1) ), значение еще одной мнимой единицы j = 1 / 0
                      • +4
                        Уже ввели. Беззнаковая бесконечность и есть это самое значение.
                        • +1
                          да, я просто из статьи не совсем понял, почему, например inf + a = inf требует ограничение a != inf? будет просто 2*inf

                          дошло
                      • +1
                        В расширенной комплексной плоскости уже много лет делят на ноль ))
                        • 0
                          Полностью с Вами согласен. «Проективное расширение числовой прямой», рассмотренное в статье, частный случай «расширенной комплексной прямой». В статье, кстати, об этом говорится (есть ссылка на «Сферу Римана»).
                      • +2
                        Не нравится мне что беззнаковая бесконечность описывается тем же символом что и обычная. В частности, при умножении на -1 поведение становится неинтуитивным.

                        Я бы не плодил лишние абстракции и ограничения у традиционных сущностей — проще ввести отдельный знак или понятие.
                        • 0
                          удалено
                          • –11
                            А ноль на ноль делить можно? 0:0=0?
                            Если можно значит 2*0=0 и отсюда следует что 0:0=2. Заменим 2 на х, получается 0*х=0 и 0:0=х
                            • 0
                              Это же описано в топике в разделе про колеса:
                              Для начала попробуем разобраться со второй неопределенностью 0/0.
                              • +5
                                Лучше все таки прочитать статью. Там есть ответ на Ваш вопрос. Там есть пример изменения дистрибутивного закона, остальные тождества тоже весьма изменились.
                                • 0
                                  Дополним проективное расширение числовой прямой новым элементом, представляющим вторую неопределенность.

                                  Если бы вы вместо этого написали перевод следующей цитаты, было бы намного понятнее.
                                  Edalat and Potts [EP00, Pot98] suggested that two extra ‘numbers’, ∞ = 1/0 and ⊥ = 0/0, be adjoined to the set of real numbers (thus obtaining what in domain theory is called the ‘lifting’ of the real projective line) in order to make division always possible.
                                  Carlström, Jesper: Wheels — on division by zero, 2001
                                  • 0
                                    А в чём, собственно, разница?
                                    • 0
                                      В принципе напомнить что привнесло «проективное расширение» имеет смысл. Дополнил. Холивар предлагаю вываливать в аналогичный комментарий чуть ниже. И на всякий случай напоминаю что в статье есть Disclaimer
                                      • 0
                                        В этом и дело, что в Disclaimer вы так и пишете
                                        Цель данной статьи — объяснить «человеческим языком»

                                        Вот в комментарии выше я про это и пишу, что в цитате на английском написано доступным «человеческим языком». Если бы вы также доступным языком написали — моего первого комментария и не было бы.
                                        • 0
                                          Я услышал суть Вашего посыла и согласен что старая формулировуа «была тяжелой». Сделал соответствующее дополнение. Однако считаю что превращать «авторский текст» в «первод» — это выход за рамки.
                                • 0
                                  >2*0=0 и отсюда следует что 0:0=2
                                  в рамках варианта статьи — не следует :)
                                  • 0
                                    В колесах 0/0 (иногда обозначается как⊥) максимально компактная запись, дальше не сокращается. И кстати операция деления унарная, так что. Carlström, Jesper: Wheels — on division by zero, 2001 (pdf) Вам в помощь.
                                    • 0
                                      two extra ‘numbers’, ∞ = 1/0 and ⊥ = 0/0, be adjoined to the set of real numbers

                                      Не просто обозначается, а вводится в набор чисел
                                      • 0
                                        Эта цитата — единственное место где эти символы появляются в данной работе. По всей же работе используются конструкции вида /0 и 0/0. Использование символов ∞ и ⊥ упрощает понимание, но совершенно не обязательно.
                                • +3
                                  Автор, огромное спасибо за стиль подачи материала. От человека, который думал, что перестал понимать математику окончательно и бесповоротно.
                                  • +2
                                    Рад что труд полезен для Вас. Желание объяснить «на пальцах» — основная причина для выбора этого стиля подачи.
                                    • +2
                                      Кстати, присоединяясь к благодарности выше, вторая благодарность за то, что кроме «на пальцах» вы все-таки оставляете немного «математического языка», что сильно помогает потом ковыряться в ссылках по теме.
                                      И немного оффтопа — не посоветуете ли чего-нибудь на 100-200 страниц чтобы разобраться в основных современных математических теориях без страшенных формул, а то даже Википедию читать крайне сложно (там просто выдержки из вузовских учебников, непроходимых для людей со стороны). Или может сами сделаете серию статей-ликбеза по наиболее интересным вопросам?
                                      • +1
                                        Самое доступное — англоязычная википедия (она намного шире русскоязычной в части математики). Доступная информация о «математике на пальцах», в моем случае, закончилась на производных (советская бумажная книга). Найти аналоги для «более высших материй» без страшных формул, к сожалению, больше везение.

                                        Так что посоветовать Вам что-нибудь наподобие «вся вышка на пальцах» не могу.

                                        Про статьи-ликбез. У меня есть заготовка по не евклидовым пространствам (где параллельные пересекаются). Но это уж точно не раньше второй части про деление на ноль.
                                        • +1
                                          Книги Босса. Не на пальцах, но поиметь представление — вполне.
                                          • 0
                                            Превращайте заготовки в статьи, с большим удовольствием почитаем! Еще в школе познакомился с геометрией Лобачевского, интересно теперь взглянуть взрослым взглядом :)
                                          • 0
                                            Роджер Пенроуз, «Путь к реальности или законы, управляющие вселенной». Первые ~300 страниц посвящены математике, начиная с обыкновенных дробей и аристотелевой логики и заканчивая тензорами, лагранжианами и алгеброй Ли.

                                            На пальцах. Последовательно. Объясняя, как появился и зачем потребовался тот или иной математический аппарат.
                                            • 0
                                              Потрясающе! Просмотрел по диагонали, теперь есть что почитать на досуге. Спасибо!
                                      • 0
                                        Как раз недавно читал статью про деление на ноль с точки зрения полезности в языке программирования: www.jsoftware.com/papers/zero.htm. Там про то почему 0 / 0 = 0 может быть удобнее чем 0 / 0 = 1
                                        • +1
                                          На самом деле, есть ведь еще один аспект. Делить на ноль нельзя, потому что подобное деление не возникает при моделировании физической реальности, следовательно, вопрос «что будет, если поделить на ноль» абстрактен.
                                          • 0
                                            Согласен с Вами. Бесконечность существует сама по себе (кое кто говорит что вселенная и время бесконечно :), независимо от математики, деления или нуля (сама по себе, так сказать).
                                            • +1
                                              мнимые числа в физической реальности встречаются что ли?)
                                              • 0
                                                Волновая функция например.
                                                • 0
                                                  физический смысл только у ее квадрата имеется )
                                                  речь же не про математические представления, а про реальный мир.
                                                  • 0
                                                    Квантовая суперпозиция на мой взгляд — вопрос вполне себе физический.
                                                    • 0
                                                      тогда это философский вопрос из области «что считать реальным». фаза волновой функции реальна?
                                                      • 0
                                                        ну смысл комментария был в том, что неопределенность применения 0/0 как чего-то физического еще не значит, что его не надо использовать, с комплексными числами в качестве примера
                                                      • 0
                                                        Вообще вся матемактика нереальна :-). Но некоторые математические выкладки позволяют предсказать поведение реальных предметов.
                                                        Так и с комплексными числами, и с волновой функцией. Хотя мне ближе пример с комплексной амплитудой и импедансом.
                                                    • 0
                                                      Я лично представляю мнимые числа просто как дополнительное измерение. В этом смысле они вполне могут встречаться в физической реальности.
                                                      • 0
                                                        А на мой взгляд, это костыль. То есть это же объективный факт, что они помогают решать реальные уравнения при этом самоустраняясь в ответах, и мне кажется, что это потому что мы пока упускаем какую-то часть математики, создающую такие эффекты
                                                        • 0
                                                          Это не костыль.
                                                          Математика, как и все другие точные науки, соответствует критерию Поппера и имеет (на сегодняшний взгляд) бесконечные перспективы развития.
                                                          • 0
                                                            Ну, справедливости ради, математика критерию Поппера ни разу не соответствует, и наукой, в строгом смысле, не является. Математика — это язык моделирования реальности, позволяющий описать физическую теорию кратко и однозначно. Но, вообще говоря, никакая математическая теория ничем не хуже и не лучше любой другой и любая математическая абстракция (комплексные числа в том числе) имеет право на жизнь постольку, поскольку пригодна для моделирования. Даже противоречивые теории сами по себе ничем не плохи, просто они не имеют и не могут иметь приложений.
                                                          • 0
                                                            По-моему, скорее чисто вещественные числа — костыль) По крайней мере, читая хороший курс ТФКП, просто восхищаешься красотой и простотой предмета.

                                                            Кстати, отличная почти школьная книжка про комплексные числа: Арнольд, «Геометрия комплексных чисел, кватернионов и спинов»
                                                            • 0
                                                              Это не костыль, это глобальное следствие неполноты любых формальных систем, в том числе и чисел.
                                                              Поэтому можно бесконечно расширять числа, и все эти дополнения не будут полны.
                                                          • 0
                                                            А image?
                                                            • 0
                                                              Для начала надо четко вывести число π, вот сразу после этого можно и поговорить )
                                                              • 0
                                                                Соотношение длины окружности круга к его диаметру.

                                                                UPD Длина полуокружности единичного радиуса, если придираться.
                                                                • 0
                                                                  >Соотношение длины окружности круга к его диаметру.
                                                                  осталось лишь создать в физическом мире нечто, имеющее форму идеального круга )
                                                                  • +1
                                                                    Ну тогда любая математическая абстракция не существует.
                                                                    • 0
                                                                      Конечно, они лишь способ короче записывать что-то существующее. Например интеграл позволяет более кратко записать решаемую и без него задачу, и так почти со всей математикой. И с комплексными числами тоже.
                                                                      • 0
                                                                        Ну вот. А какой эксперимент вы собираетесь описывать делением на ноль?
                                                                        • 0
                                                                          Лично я — никакой. Но допускаю возможность, что где-то это пригодится )
                                                                          • 0
                                                                            Пока не пригодилось — смысла в нем нет. Если пригодится — ответ «как» узнаем экспериментом.
                                                                        • 0
                                                                          Поздравляю. Вы выкинули такую абстракцию как мера.
                                                              • 0
                                                                Да. Они применяются, например, для описания колебаний и волн. Не только квантовых, еще и электрических. Я вам больше скажу: кватернионы — вполне себе реальные. Описывают вращение в трех измерениях.
                                                              • 0
                                                                Ох, если бы. Если признать ОТО и КМ полностью верными (читай, абсолютно точными) то вполне себе возникают. В частности, из-за этих самых делений на 0 провалилась теория струн а потом и суперструн.
                                                              • 0
                                                                А надо ли обязательно запихивать задницу и бесконечность на один уровень с остальными числами?
                                                                Вроде бы, если лифтануть арифметику в монаду Maybe, то получим алгебру, в которой задница (Nothing) будет честным идемпотентным множителем и слагаемым всего на свете, а Just 0 — идемпотентным множителем почти всего.

                                                                Если бы у нас ещё и бесконечность как-то была закодирована — например, если бы мы взяли Maybe Maybe Float, и на втором уровне Just Nothing символизировал бы бесконечность, — то мы получили бы проблему делителей нуля:
                                                                (Just Nothing) `lifted_mult` (Just Nothing) = Nothing.

                                                                А в ситуации с просто Maybe Float — всё хорошо.
                                                                • 0
                                                                  В комментариях уже есть цитата из первоисточника. Похоже в ней говорится о подобном «лифтинге».
                                                                  • 0
                                                                    надо будет тщательнее вкурить в оригинал.
                                                                    я-то говорю о том, что в поднятой алгебре… а, стоп-стоп… всё плохо. обычно идемпотент умножения это нейтраль сложения, что в арифметике, что в булевых алгебрах. а боттом — идемпотент обеих операций.
                                                                    • 0
                                                                      Ого, Вы добрались до понятия bottom :). Да, это идемпотент, но сам по себе (⊥*⊥=⊥+⊥=⊥). по отношению к другим элементам он «поглощает в себя все остальное» (⊥*5=⊥+5=⊥). А моноиды образованы по старинке, через нейтральные элементы 0 (сложение) и 1 (умножение) которые не оказывают влияние на исходный элемент.
                                                                      • 0
                                                                        Ххе, я добрался.
                                                                        Боттом это всем идемпотентам идемпотент.
                                                                        Если его помножить на ноль, кто кого заборет?
                                                                        Пойду освежать аксиоматику алгебры. Может, нету там такого, что нейтраль сложения это идемпотент умножения, тогда неувязочки нам пофиг.
                                                                        • 0
                                                                          ⊥*5=⊥*∞=⊥*0=⊥+5=⊥+∞=⊥+0=⊥ (по таблице операций из статьи)
                                                                          • 0
                                                                            как умножать на идемпотент, я знаю, вопрос был риторический. мне интересно, не пострадала ли аксиоматика?
                                                                            • 0
                                                                              Весьма пострадала. Например так x-x=0*x2
                                                                  • +1
                                                                    Второй слой Maybe можно как бы и не делать — в Хаскеле уже есть ⊥, как допустимое значение почти всех идентификаторов.

                                                                    Проблема в другом — полученная алгебра имеет взаимно-однозначное отображение на колесо. То есть, как бы красиво она не реализовывалась в Хаскеле, проблемы, присущие колесу, все равно останутся.
                                                                  • 0
                                                                    удалено
                                                                    • 0
                                                                      А я так ничего и не понял, троечник блин :'(
                                                                      • 0
                                                                        1)Сомневаюсь, что вводить обозначение «1\0 = бесконечность» удобно, лучше было бы что-то наподобие 1\0=S, потому что «2\0 + 1 = две бесконечности + 1» взрывает мозг, а 2\0 + 1 = 2S + 1 выглядит более удобно.
                                                                        2)При прочтении статьи часто возникает ощущение, что под нулём вы подразумеваете не ноль, а нечто стремящееся к нулю в пределе, а это совершенно разные вещи.
                                                                        3)Не увидел в статье примеров использования данного расширения, например можно было бы поискать решение системы уравнений: x*x=1 и y=1\(x-1); ответы: (1;S) (-1; -1\2).
                                                                        4)В расширения поля 1\0=S возникает проблема с нейтральным элементом по сложению. 0 в качестве нейтрального уже не годится, т.к. как из следствие из ассоциативности, любой элемент * нейтральный по сложению = нейтральный по сложению, а в расширении S*0=1. Решение данной проблемы в статье я не увидел, поэтому нельзя говорить что поле расширения было построено.
                                                                        • 0
                                                                          Пересмотрел статью и понял что вы и не собирались строить расширение поля, вы просто ввели элемент 1\0. В таком случае, от этого мало пользы: при решении уравнений нельзя использовать операцию минус (т.к. нет нейтрального по сложению и, как следствие, обратных). Если же каждое уравнение превращать в систему, вставляя проверку на то, не было ли деления на ноль (чтобы воспользоваться минусом), то непонятно зачем вообще было вводить это множество, т.к. получается такой же ход решения, как и над R. Получается что описанное вами множество а)не существует в нашем мире б)им нереально пользоваться, чтобы от него была какая-то польза, как от комплексных чисел.
                                                                          • 0
                                                                            Не очень понял про какое конкретно из расширений, представленных в статье, вы говорите. Отвечу предположив что вы про колеса.
                                                                            1. Это сделано для упрощения восприятия далеких от темы людей (обсуждалось тут)
                                                                            2. Тут именно ноль. Все бесконечно малые были отброшены на проективном расширении
                                                                            3. Думаю в рамках «деления на ноль» понимания того «к чему мы пришли» достаточно на примере работы дистрибутивного закона. Иначе название статьи было бы
                                                                              Колеса и с чем их едят
                                                                            4. Про расширение поля, смотрю, Вы уже сами ответили. Дополню лишь что мы получили моноид по сложению и моноид по умножению. До группы такая система не дотягивает (есть нейтральные элементы, но нет есть обратных). Кстати все это описано в статье. По поводу уравнений см. п 3

                                                                            Конечно вопрос применимости таких систем здесь не рассматривается. Статья существует лишь потому что люди упорно продолжают пытаться делить на ноль в нашей с Вами «реальности».
                                                                        • 0
                                                                          ОЙ, а тут похоже Уральский студент заявил о доказательстве жизни после смерти математической формулой из лимита 8/8 доказывают, что есть жизнь после смерти )))
                                                                          • –1
                                                                            Поаккуратнее с чувствами верующих
                                                                            8/8 это Вам не 9/9
                                                                          • 0
                                                                            Вторая часть готова Часть 2. Истина где-то рядом
                                                                            • +1
                                                                              Говорят, можно поделить на ноль если определить результат деления на ноль. Просто нужно расширить алгебру. По странному стечению обстоятельств найти хоть какой-то, а лучше понятный и простой, пример такого расширения не удается. Чтобы исправить интернет нужна либо демонстрация одного из способов такого расширения, либо описание почему это не возможно.

                                                                              Как насчёт {0}?
                                                                              Все операции определяются стандартно кроме того, что 0 является единицей по умножению.
                                                                              Как следствие, 0/0 = 0, как и положено всякой уважающей себя единице.
                                                                              • 0
                                                                                Получится 0*100500 = 100500. Думаю от такого расширения пользы маловато.
                                                                                • +1
                                                                                  Мы же рассматриваем множество из одного 0, откуда там 100500, на который можно умножить?

                                                                                  Да и причём тут польза, просто пример, когда деление на 0 определено и обладает всеми основными свойствами ({0} получается полем).
                                                                                  • 0
                                                                                    Я, сказать по правде, «множество из одного 0» даже как-то не ожидал :) Исходная идея в расширении школьной алгебры, без изменений существующих элементов.

                                                                                    А если по сути, Вы уверенны что это Поле, Операция сложения и умножения эквивалентны. То есть получается в алгебре определена всего одна операция. Группа — и то с натягом, если еще какую-нибуть аксиому не нарушит.
                                                                                    • +1
                                                                                      Например, для пары двоек операции сложения, умножения, возведения в степень и дальнейших гиперумножений — эквивалентны :).
                                                                                      Операции определены по-разному, и мы с уверенностью говорим, что их две. Правда, в данном множестве они эквивалентны, да. Но их две.

                                                                                      Да, уверен. Обычно, определяя поле, также говорят о 9 аксиоме: неравенство нуля и единицы. Именно это вычёркивает {0} из разряда полей, и, кажется, из 9 аксиомы даже следует ряд разных хороших свойств.
                                                                                      Но делается это исключительно для удобства, чтобы не писать везде «выполняется везде, за исключением вырожденного поля».
                                                                                      • 0
                                                                                        Операции определены по-разному, и мы с уверенностью говорим, что их две. Правда, в данном множестве они эквивалентны, да. Но их две.

                                                                                        Хотя это интересный вопрос, конечно. Можно ли называть функции, определённые принципиально по-разному, но всегда дающие одинаковый результат (в рамках нашего «рабочего» множества), одинаковыми?

                                                                            Только полноправные пользователи могут оставлять комментарии. Войдите, пожалуйста.