Редактор Хабрахабра
38,6
рейтинг
25 марта 2015 в 22:59

Разработка → Планеты и четвёртое измерение перевод

Наверняка вам известно, что планеты движутся вокруг солнца по эллиптическим орбитам. Но почему? На самом деле, они двигаются по окружностям в четырёхмерном пространстве. А если спроецировать эти окружности на трёхмерное пространство, они превращаются в эллипсы.

image

На рисунке плоскость обозначает 2 из 3 измерений нашего пространства. Вертикальное направление – это четвёртое измерение. Планета движется по кругу в четырёхмерном пространстве, а её «тень» в трёхмерном движется по эллипсу.

Что же это за 4-е измерение? Оно похоже на время, но это не совсем время. Это такое особенное время, которое течёт со скоростью, обратно пропорциональной расстоянию между планетой и солнцем. И относительно этого времени планета двигается с постоянной скоростью по кругу в 4 измерениях. А в обычном времени его тень в трёх измерениях двигается быстрее, когда она находится ближе к солнцу.

Звучит странно – но это просто необычный способ представления обычной ньютоновской физики. Этот способ известен по крайней мере с 1980 года благодаря работе математического физика Юргена Мозера. А я узнал об этом, получив на email работу за авторством Джеспера Горансона под названием «Симметрии в задаче Кеплера» (8 марта 2015).

Самое интересное в этой работе – такой подход объясняет один интересный факт. Если взять любую эллиптическую орбиту, и повернуть её в 4-мерном пространстве, то мы получим другую допустимую орбиту.

Конечно, можно вращать эллиптическую орбиту вокруг солнца и в обычном пространстве, получая допустимую орбиту. Интересно то, что это можно делать в 4-мерном пространстве, например, заужая или расширяя эллипс.

В общем случае любую эллиптическую орбиту можно превратить в любую другую. Все орбиты с одинаковой энергией – это круговые орбиты на одной и той же сфере в 4-мерном пространстве.

Задача Кеплера

Допустим, у нас есть частица, которая двигается по закону обратных квадратов. Уравнением её движения будет

image

где r — позиция как функция времени, r — расстояние от центра, m – масса, а k определяет силу. Отсюда можно вывести закон сохранения энергии

image

для некоей константы E, зависящей от орбиты, но не меняющейся со временем. Если эта сила будет притяжением, то k > 0, а на эллиптической орбите E < 0. Будем звать частицу планетой. Планета двигается вокруг солнца, которое настолько тяжело, что его колебаниями можно пренебречь.

Будем исследовать орбиты с одной энергией E. Поэтому единицы массы, длины и времени можно принять любыми. Положим

m = 1, k = 1, E = -1/2

Это избавит нас от лишних букв. Теперь уравнение движения выглядит как

image

а закон сохранения говорит

image

Теперь, следуя идее Мозера, перейдём от обычного времени к новому. Назовём его s и потребуем, чтобы

image

Такое время идёт медленнее по мере удаления от солнца. Поэтому скорость планеты по удалению от солнца увеличивается. Это компенсирует тенденцию планет двигаться по мере удаления от солнца более медленно в обычном времени.

Теперь перепишем закон сохранения при помощи нового времени. Поскольку для производных по обычному времени я использовал точку, давайте будем использовать штрих для производных по времени s. Тогда к примеру:

image

и

image

Используя такую производную, Горансон показывает, что сохранение энергии можно записать в виде

image

А это ни что иное, как уравнение четырёхмерной сферы. Доказательство будет позже. Сейчас поговорим о том, что это для нас значит. Для этого нам надо совместить меж собой координату обычного времени t и пространственные координаты (x,y,z). Точка

(t,x,y,z)

двигается в четырёхмерном пространстве по мере изменения параметра s. То есть, скорость этой точки, а именно

image

двигается по четырёхмерной сфере. Это сфера радиуса 1 с центром в точке

(1,0,0,0)

Дополнительные расчёты показывают другие интересные факты:

image

и

t''' = -(t' — 1)

Это обычные уравнения гармонического осциллятора, но с дополнительной производной. Доказательство будет позже, а пока подумаем, что это значит. Словами это можно описать так: 4-мерная скорость v совершает простые гармонические колебания вокруг точки (1,0,0,0).

Но так как v в то же время остаётся на сфере с центром в этой точки, то можно заключить, что v двигается с постоянной скоростью по кругу на этой сфере. А это подразумевает, что среднее значение пространственных компонент 4-мерной скорости равно 0, а среднее t равно 1.

Первая часть понятна: наша планета в среднем не улетает от Солнца, поэтому её средняя скорость равна нулю. Вторая часть посложнее: обычное время t движется вперёд со средней скоростью 1 относительно нового времени s, но скорость его изменения колеблется синусоидально.

Проинтегрировав обе части

image

мы получим

image

для некоего постоянного вектора a. Уравнение говорит, что позиция r гармонически осциллирует вокруг точки a. Поскольку a не меняется со временем, это сохраняющаяся величина. Это называется вектором Лапласа—Рунге—Ленца.

Часто люди начинают с закона обратных квадратов, показывают, что угловой момент и вектор Лапласа—Рунге—Ленца сохраняются, и используют эти сохраняющиеся величины и теорему Нётер, чтобы показать наличие 6-мерной группы симметрий. Для решений с отрицательной энергией это превращается в группу поворотов в 4 измерениях, SO(4). Поработав ещё немного, можно увидеть, как задача Кеплера сопряжена с гармоническим осциллятором в 4 измерениях. Это делается через репараметризацию времени.

Мне больше понравился подход Гораснона, потому что он начинается с репараметризации времени. Это позволяет эффективно показать, что эллиптическая орбита планеты – это проекция круговой орбиты в четырёхмерном пространстве на трёхмерное. Таким образом становится очевидна 4-мерная вращательная симметрия.

Горансон переносит этот подход на закон обратных квадратов в n-мерном пространстве. Получается, что эллиптические орбиты в n измерениях – это проекции круговых орбит из n+1 измерений.

Он также применяет этот подход для орбит с положительной энергией, которые представляют собой гиперболы, и для орбит с нулевой энергией (параболы). У гипербол получается симметрия групп Лоренца, а у парабол – симметрия групп Евклида. Это известный факт, однако примечательно, как просто он выводится с помощью нового подхода.

Математические детали

Из-за обилия уравнений я поставлю вокруг важных уравнений рамки. Основные уравнения – сохранение энергии, сила и изменение переменных, которые дают:

image

Начинаем с сохранения энергии:

image

затем используем

image

чтобы получить

image

Немного алгебры – и получаем

image

Это показывает, что 4-мерная скорость

image

остаётся на сфере единичного радиуса с центром в (1,0,0,0).

Следующий шаг – взять уравнение движения

image

и переписать его, используя штрихи (производные по s), а не точки (производные по t). Начинаем с

image

и дифференцируем, чтобы получить

image

Теперь используем другое уравнение для

image

и получаем

image

или

image

поэтому

image

Теперь хорошо бы получить формулу и для r''. Сначала посчитаем

image

а затем продифференцируем

image

Подключим формулу для r", кое-что сократится, и мы получим

image

Вспомним, что закон сохранения говорит

image

а мы знаем, что t' = r. Поэтому,

image

и

image

Получаем

image

Поскольку t' = r, то получается

image

как нам и нужно.

Теперь получим сходную формулу для r'''. Начнём с

image

и продиффиренцируем

image

Подключим формулы для r'' и r'''. Кое-что сокращается, и остаётся

image

Проинтегрируем обе части и получаем

image

для некоего постоянного вектора a. Это значит, что r гармонически осциллирует относительно a. Занятно, что и вектор r и его норма r осциллируют гармонически.

Квантовая версия планетарной орбиты – атом водорода. Всё, что мы посчитали, можно использовать и в квантовой версии. Подробности см. у Greg Egan, The ellipse and the atom.

Подробности об истории этой задачи см. у John Baez, Mysteries of the gravitational 2-body problem.

И всё это также имеет отношение к квантовой физике, суперсимметрии и йордановой алгебре!
Перевод: John Baez
Вячеслав Голованов @SLY_G
карма
255,2
рейтинг 38,6
Редактор Хабрахабра
Реклама помогает поддерживать и развивать наши сервисы

Подробнее
Реклама

Самое читаемое Разработка

Комментарии (50)

  • +21
    Зашёл посмотреть комментарии…
    А их нет!

    Тема про 4е измерение поражает.
    • +11
      Нужно неплохо шарить, чтобы написать что-то осмысленное ;)
      В М-теории, их кстати 11 штук. 11 измерений.
      • –1
        На матлогике мы оперировали бесконечномерными пространствами. Хотя на самом деле, количество измерений у этих пространств было счётно. Да и пространства чисто математические.
        • +6
          на матлогике?? вряд ли… при чем тут логика. насколько я помню бесконечномерностями нас развлекали на функциональном анализе.
          • –1
            возможно, детали теряются, семинарист был тот же :)
          • 0
            На матлогике. Которую ещё называют дискретной математикой. Есть например теория графов. И в двухмерном пространстве нельзя построить граф, который можно построить в трёхмерном. И в курсе дискретной математики об этом расказывают.
  • 0
    Довольно интересно!
  • +3
    Интересно, но задачу трёх тел ей не решить?
  • –9
    На рисунке плоскость обозначает 2 из 3 измерений нашего пространства. Вертикальное направление – это четвёртое измерение.

    Эллипс — это проекция движения тела на плоскость, расположенную под углом к изображенной на рисунке горизонтальной плоскости.
    Где автор увидел 4-е измерение?

    • +3
      Как раз-таки под углом не эллипс, а окружность, там для этого нарисована сфера. Это на экран монитора она проецируется как эллипс. А вот синяя точка бегает по эллипсу.
  • +3
    Кажется, мой мозг только что сломался.
  • +14
    Надо же, сегодня тоже представлял себе 4-е пространство (не считая время) и понял что для начала не стоит представлять это визуально, лучше думать математически. Допустим можно двигаться по X, не перемещаясь по Y, значит вроде движение есть, но только по X, а по Y никуда не двигаешься. Значит позиционно измерения не связаны друг с другом, т.е. допустим мы видим три измерения, а в четвертом перемещаемся и на первые три это не обязательно должно сказываться. Однако есть определенные силы, которые передают энергию между измерениями. Например, если спускаться с горки и наблюдать это сверху, то казалось бы горизонтальной силы недостаточно для объяснения роста горизонтальной скорости, а все дело в том что вертикальная сила горки переходит в горизонтальную и без учета третьего измерения нельзя понять причины роста скорости по X и Y.

    Аналогично в данной теме объясняется что раз планеты двигаются по эллипсу, а не кругу, возможно существует четвертое измерение, которое создает силу на видимые нами три измерения и изменяет траекторию движения на эллипс, а если учесть все четыре измерения, то результирующей траекторией планеты может быть круг.

    Кстати, сразу вспомнилась темная материя, которая никак не регистрируется в трех измерениях, а фиксируется только по гравитации и ее достаточно много. Выходит существовать она как раз может в четвертом измерении, а гравитация передает ее силу и на наши три измерения, из-за чего мы ее и регистрируем.
    • +1
      Вряд ли что-то может существовать в одном измерении и отсутствовать в остальных. То же трехмерное пространство, любой объект в нем можно спроецировать на любую плоскость, хотя бы в точку. А то что темная материя не регистрируется исходит из её определения, она не испускает электромагнитного излучения и не взаимодействует с ним.
      И вы в конце пишете, что темная материя всё-же регестрируется. На самом деле, некоторые расчёты астрофизиков не сходятся, поэтому предположили, что вероятнее всего дело в массе. Если добавить в расчеты темную материю, из этого несоответствия можно даже рассчитать её.
    • +14
      Кстати, сразу вспомнилась темная материя, которая никак не регистрируется в трех измерениях, а фиксируется только по гравитации и ее достаточно много. Выходит существовать она как раз может в четвертом измерении, а гравитация передает ее силу и на наши три измерения, из-за чего мы ее и регистрируем.

      Измерение — это не какой-то контейнер для объектов. Измерение — это некая характеристика пространства.

      Другими словами: выражения типа: «существует в трёх измерениях», «существует в четвёртом измерении» — не имеют смысла.

      Объекты существуют в пространстве, а оно может иметь какое-то определённое число этих измерений (даже бесконечное). Все объекты, которые существуют в этом пространстве, измеримы во всех этих измерениях. В отдельных вырожденных случаях может оказаться так, что в какая-то мера объекта будет иметь значение 0, но это только в математике, в природе это невозможно. Например, сфера и плоскость — такие вырожденные объекты, они имеют толщину 0 (и две ненулевых меры). Такие объекты сами могут быть «пространствами» меньшей размерности. Ещё пример — линия: имеет ненулевую только длину.

      Число измерений, грубо говоря — это сколько нужно ввести коррдинат, чтобы описать положение тела оносительно некоторой системы отсчёта (без учёта поворотов). Например, на линии нужна одна координата, она одномерна; плоскость — двумерное пространство, для положения точки там нужно указать два числа; сфера — это тоже двумерное пространство, но искривлённое, на ней тоже есть ровно две координаты, обычно в качестве координат на сфере используются широта и долгота. Есть даже способ не выходя за рамки двумерного пространства сферы или плоскости измерить её радиус (для плоскости получится бесконечность).

      Как для сферы можно, не сходя с неё, померить радиус (и значение скалярной кривизны, которое обратно пропорционально квадрату радиуса), так и для трёхмерного пространства можно. Учёные померили, и вышло, что Вселенная — плоская, кривизна в больших масштабах близка к нулю (в малых — есть флуктуации). Двумерный аналог — российские дороги: в больших масштабах плоские, но в деталях — ямы да колдобины, которым соответствуют звёзды и планеты. Итак, кривизна нулевая, а если посчитать, сколько во Вселенной вещества — должна была получиться кривизна резко ненулевая, для нулевой не хватает массы. Сделали вывод — мы видим не всю имеющуюся массу, есть ещё и часть, которую мы не видим — тёмная материя.

      Тёмная материя если и существует, то в том же самом количестве измерений и в том же пространстве, в каком существуете и вы, и Земля, и вся Вселенная. Собственно тёмность её в том, что она не участвует в электромагнитных, сильных и слабых взаимодействиях, а участвует только в самых слабых — гравитационных. Вы не можете видеть тёмную материю, но можете пройти сквозь неё (а она сквозь вас), поскольку она не участвует в электромагнитных взаимодействиях, а все привычные нам механические и оптические свойства тел (в том числе то, что стол твёрдый и сквозь него нельзя просунуть руку, а также то, что его видно) обеспечиваются именно электромагнитными взаимодействиями. Единственное, что вы ощутите, если сквозь вас пролетит сгусток тёмной материи — то, куда он вас потянет посредством гравитации. А если он будет небольшой массы, вы и это на практике не почувствуете.

      • 0
        Вы все классно объяснили на счет отличия природы от математической модели. Но мне интересно на сколько это является постулатом для всех физиков? Ведь математически у какого-то объекта какая-то координата может быть равна нулю и, наблюдая физически только три измерения точно ли нельзя допустить гипотетически что существует исключительный объект пространства, не имеющий координат в наших трех измерениях?
        • 0
          Существовать в пространстве <=> иметь координаты в этом пространстве.

          И, если на то пошло, я ничего не сказал про отличия природы от модели, наоборот, я практически всё время говорил про модели и только в конце сказал пару слов про то, как модель отвалилась от природы, и чтобы восстановить соответствие постулируют в природе нечто такое, что никто не наблюдал.
  • +8
    Обычно четвертое измерение на пальцах я обьяснял так: внутpь двухмерного обьекта типа круг легко можем попасть пальцем из трехмерного пространства, аналогично в трехмерный закрытый сейф можно попасть из 4-мерного пространства.
    • +22
      Скажите, это, стало быть, любую стенку можно так убрать? Вашему изобретению цены нет! (с)
      • +2
        Был такой в перестройку детский журнал «Трамвай». И в нем был рассказ про четырехмерную мышь, которая проникала в холодильник сквозь стены.
    • +1
      удалённый повтор про «вашему изобретению цены нет»
    • +1
      Нужно подкинуть идею в Голливуд для очередной серии «Друзей Оушена»
  • +1
    А как в эту теорию укладываются кометы с их экстремально-эллиптическими орбитами? При этом необходимо учесть, что их скорость разная в разных частях орбиты.
    • +3
      При этом необходимо учесть, что их скорость разная в разных частях орбиты.
      Ну так планеты тоже в разных точках орбиты имеют разную скорость, очевидно. А почему оно не укладываться должно, в статье ж про это сказано, в начале ещё?
  • +11
    Хорошо, что есть люди, которые знают, как оно всё устроено на самом деле :-)
  • +1
    Про движение по окружности в четырехмерном пространстве я, кажется, читал еще в книге "На переднем крае астрофизики", выпущенной в 1979 году.
    Жаль, под рукой этой книги нет, и в электронном виде не нашел, чтоб точно проверить.
  • +2
    Вполне наглядно. Я вот видел другую интересную идею с четвертым измерением. Суть в том, что все тела в реальности движуться со скоростью C, но движутся в 4х мерном пространстве, при этом обычное движение, которое мы видим это лишь проекция на 3х мерное пространство. Тоже самое с пространствовременем: в целом получается 5 мерное пространство (4+1), в котором все эффекты, вызванные кривизной пространства, описываются через дополнительное пятое измерение.
    • 0
      Как это, мы видим проекцию? Мы можем видеть срез 4-мерного пространства в виде 3-мерного. А чтоб появилась проекция — нужен кто-то, кто ее изображает, и он для этого должен видеть все 4 измерения. Вроде так…
  • +3
    А почему солнце не в центре четырёхмерной сферы?
    • –1
      Такое тоже бывает, например, у тех же комет. Да и у планет, правда, они не вокруг солнца вращаются.
      • 0
        Ну, в принципе, да, в центре сферы, видимо, находится центр масс, по аналогии с эллиптическими орбитами.
    • +1
      Потому что солнце должно быть в фокусе эллипса.
      • 0
        Это же сфера, а не эллипс
        • +1
          Если планета летает по большому кругу на сфере, в центре которой находится солнце, то на эллиптической проекции этого круга оно тоже будет в центре, а должно быть в фокусе.
          • 0
            Ну вот потому я и спрашиваю, почему оно не в центре сферы.
            С эллипсом-то всё понятно, но в четырёхмерном пространстве солнце точно так же должно быть в фокусе, а фокус сферы — в центре.
            • +1
              Ещё раз, попробую подробнее объяснить то, что написал Yuuri.

              Если в четырёхмерном пространстве солнце будет в центре сферы, по большому кругу (например, экватору) которой летает планета, то оно находится в центре этого круга и принадлежит той же самой плоскости, что и этот круг.
              На любой проекции этой картинки проекция солнца окажется в геометрическом центре проекции круга, т.е. эллипса.

              Физическая реальность же такова, что солнце не находится в центре эллипса, а находится в одном из его фокусов. Чтобы при проекции круга солнце попало в фокус, оно изначально должно было находиться не в центре круга, а следовательно (поскольку центр большого круга совпадает с центром сферы) и должно было находиться не в центре сферы.
              • 0
                Ну а иначе зачем было бы вводить переменное время зависимое от расстояния, если бы расстояние от планеты до солнца не изменялось как 1/r?

                В определенном смысле, это просто математическая фантазия, а не объяснение «как оно есть на самом деле».
                Если уж хочется чего-то более «объясняющего все», то лучше почитать Цвибаха (Начальный курс теории струн).
              • 0
                Вы пытаетесь объяснить причину из следствия :)
                Ну, примерно, как «вода жидкая, потому что её пьют, если бы вода была твёрдая, то мы не могли бы её пить, а физическая реальность такова, что мы воду пьём, поэтому вода должна быть жидкой» :)

                • +1
                  Вы неправы, видимо вы не понимаете как строятся математические модели, и поэтому приводите некорректную аналогию.

                  Именно, что строятся они так, чтобы выводы, сделанные на модели, совпали с выводами, сделанными на натуре. Другими словами да, эквивалент воды в модели должен обладать абстрактной «текучестью», чтобы можно было её виртуально «пить»; если подобного свойства в модели не наблюдается, модель признаётся некорректной (не соответствующей моделируемому явлению) и отбрасывается. В результате, останется модель с «жидкой» водой. А в нашем случае — останется модель с солнцем не в центре.
  • +6
    Что-то не понимаю, в чем преимущество считать, что планета движется по окружности в четырехмерном пространстве, только в этом случае звезда оказывается не в фокусе. Движение по окружности вокруг точки, не являющейся её центром, да и с переменной скоростью (бред про то, что скорость меняется из-за проекции, покуда это не согалсуется с реальностью: скоросьт планеты максимальна рядом с звездой (в перицентре) и минимальная в наибольшом удалении (апоцентре), при проектировании скорость в этих точках должна быть одинаковой) как-то противоречит ожидаемому.

    Хотя может я что-то не допонял.
    • +1
      бред про то, что скорость меняется из-за проекции, покуда это не согалсуется с реальностью

      Насколько я понял, модуль четырехмерного вектора скорости — константа. Но 3хмерная проекция меняет свою длинну, т.е. движение идут с ускорением.

      Это как если подвес (маятник) раскрутить по кругу, скорость по модулю будет константной, но проекция на вертикальную плоскость будет менять скорость качания.
      • +1
        Да, все верно. Только вот это не согласуется с действительностью:
        повторюсь — планета обладает минимальной скоростью в апогее, максимальной в перигее. При проецировании же в этих точках скорость будет одинаковой (минимальной, если точнее).
        Тут подумал, что можно представтиь, что когда планета находится в «положительной части 4-го измерения», тогда скорость возрастает, и наоборот. Но в таком случае поздравляю, вы открыли производную и построили орбиту, сделав третее измерение (на изображении, в местных терминах — 4-е) отображением производной модуля скорости. Тут я не удивлен, что она получилась гармонической (действительно, с чего бы производная гармонического процесса тоже гармоническая?).
        А окружность или нет — зависит от шкалы этого 4-го измерения.
  • +4
    А чем в этом четырехмерном пространстве явялются фокусы эллписа?
  • 0
    Не так давно создал простую 2d игру, где есть объекты «планеты» (выстроенные в планетарном виде) и маленький кораблик, которым управляет игрок. Планеты искусственно вращаются по правильному в виртуальном мире кругу вокруг «Солнца». «Солнце» стоит на месте. У каждой планеты и Солнца есть масса, из которой высчитывается сила притягивания кораблика (сила обратнопропорциональна квадрату дистанции до корабля и прямо пропорциональна массе объекта). Планеты и Солнце никак друг на друга не влияют.

    Так вот запустив кораблик в свободное плаванье с начальной скоростью чаще всего оказывалось, что он начинает вращаться по эллиптической орбите вокруг какой — либо планеты, либо вокруг солнца (в зависимости о того куда и с какой силой кораблик направить).

    Если из ньютоновской механики вырисовываются эллиптические орбиты, зачем искать их причины в других теориях?
    • +1
      Если из ньютоновской механики вырисовываются эллиптические орбиты, зачем искать их причины в других теориях?

      Так никто ж в статье не отрицает ньютоновскую механику
      Звучит странно – но это просто необычный способ представления обычной ньютоновской физики.
    • 0
      Можно построить теорию в которой все планеты и Солнце вращаются вокруг Земли, только формулы в этой теории получатся сложные.
      Так и тут, если формулы для модели 4d окажутся проще, то это даст серъёзные основания полагать, что Мироздание по меньшей мере имеет 4 измерения. В свою очередь упрощённые формулы позволят делать новые открытия и двигаться дальше в познании Мироздания.
  • +3
    Коллеги, честно говоря не вникал глубоко в смысл формул, может быть их надо было подробнее «разжевать» в статье, но идея понятна, что эллиптические орбиты в 3-мерии являются проекциями круговых орбит в 4-хмерии. Теперь поскольку мы видим эллипс, то значит мы видим только одну 3-хмерную плоскость секущую 4-хмерное пространство. Возникает вопрос: под каким углом находится наша секущая 3-мерная плоскость, по отношению к плоскости в 4-хмерии, в которой «в действительности» вращается планета? Каковы углы для других Планет? Совпадают эти углы для разных Планет или нет?
    Другими словами:
    по аналогии с рисунком в начале статьи: можно измерить угол между плоскостью вращения красного шарика и плоскостью вращения синего шарика. Нужно измерить этот угол на размерность выше для разных Планет.
    Каковы радиусы вращения Планет в 4-хмерном пространстве, в такой модели? Я лично пока не готов сделать такие вычисления, но подход к предметной области в статье очень интересный.
  • 0
    Жаль, нельзя покрутить эту сферу, чтобы получить остальные возможные траектории тела в зависимости от начальной скорости (параболу и гиперболу). Мне больше нравится модель, где множество возможных траекторий — четырёхмерный конус, сечение которого нашим трёхмерным пространством и даёт конкретную.
  • +1
    Человек прислал мне на почту комментарии, т.к. не может оставлять их здесь. А у меня пока нет возможности разбираться подробно, поэтому просто процитирую его.

    Я нашел несколько грубых ошибок в формулах. Так, когда вы получаете
    image
    и говорите, что это уравнение для сферы в 4-х мерном пространстве. Это не верно, ведь сделав алгебраические преобразования получим
    ,
    что является уравнением для сферы.

    Еще было бы полезно уточнить, что
    image,
    и выражение
    .
    стоить отметить, что в конце поста в месте описания мат преобразований формула сферы некорректна. И выражение
    image
    нужно записать в следующем виде
    .

    Спасибо за интересный материал.

    Сергей Медведев. folkl
  • 0
    А что если нет никакого четвертого измерения и планеты просто движутся по эллипсу вокруг Солнца в трёхмерном пространстве. Может планетам «так надо» — двигаться по эллипсу, или «так было задумано».

    Любая теория должна подтверждаться на практике. А так это просто чьи-то фантазии, секта «свидетелей четвёртого измерения».
    • +1
      Так да, это просто остроумное наблюдение. Ибо способ рассчитать всё это без привлечения четвёртого измерения придумал ещё Птолемей (правда, система у него была забубённая, но не суть, предсказывать положение планет на орбитах позволяла). А потом Коперник придумал, как это посчитать проще. А Ньютон объяснил, почему способ Коперника работает. А потом Эйнштейн заметил, что Ньютон объяснил неправильно, приделал четвёртое измерение (другое, не как в топике), и объяснил правильнее, чем Ньютон.

      Всё это не запрещает придумывать всякие другие способы рассчёта — мало ли, какой из них потом выльется в ещё более правильную теорию.

Только зарегистрированные пользователи могут оставлять комментарии. Войдите, пожалуйста.