Магия тензорной алгебры: Часть 5 — Действия над тензорами и некоторые другие теоретические вопросы

    Содержание


    1. Что такое тензор и для чего он нужен?
    2. Векторные и тензорные операции. Ранги тензоров
    3. Криволинейные координаты
    4. Динамика точки в тензорном изложении
    5. Действия над тензорами и некоторые другие теоретические вопросы
    6. Кинематика свободного твердого тела. Природа угловой скорости
    7. Конечный поворот твердого тела. Свойства тензора поворота и способ его вычисления
    8. О свертках тензора Леви-Чивиты
    9. Вывод тензора угловой скорости через параметры конечного поворота. Применяем голову и Maxima
    10. Получаем вектор угловой скорости. Работаем над недочетами
    11. Ускорение точки тела при свободном движении. Угловое ускорение твердого тела
    12. Параметры Родрига-Гамильтона в кинематике твердого тела
    13. СКА Maxima в задачах преобразования тензорных выражений. Угловые скорость и ускорения в параметрах Родрига-Гамильтона
    14. Нестандартное введение в динамику твердого тела
    15. Движение несвободного твердого тела
    16. Свойства тензора инерции твердого тела
    17. Зарисовка о гайке Джанибекова
    18. Математическое моделирование эффекта Джанибекова


    Введение


    Прежде чем продолжать рассказ о прикладных аспектах применения тензорного исчисления, совершенно необходимо затронуть ещё тему, обозначенную заголовком. Эти вопросы всплывали в неявной форме во всех предыдущих частях частях цикла. Однако, мной были допущены некоторые неточности, в частности тензорные формы записи скалярного и векторного произведения в статьях 1 и 2 были названы мною «сверткой», хотя на деле они являются комбинацией свертки и умножения тензоров. О сложении, умножение тензоров на число, о тензорном произведении упоминалось только вскользь. О симметричных, антисимметричных тензорах вообще речи не шло.

    В этой заметке мы поговорим о тензорных операциях более подробно. Для дальнейших упражнений нам потребуется хорошо в них ориентироваться.

    Кроме того, важным является представление о симметричных и антисимметричных тензорах. Мы узнаем о том, что любой тензор можно разложить на симметричную и антисимметричную части, а также познакомимся с тем фактом, что антисимметричной части тензора можно поставить в соответствие псевдовектор. Многие физические величины (к примеру угловая скорость) являются псевдовекторами. И именно тензорный подход к описанию физических явлений позволяет выявить истинную природу некоторых величин.

    1. Четыре основных действия над тензорами


    1.1. Умножение тензора на скаляр и сложение тензоров (линейная комбинация)


    Под умножением на число понимают умножение на это число каждой компоненты исходного тензора. В результате получается тензор того же ранга, что и исходный.

    Складывать же, можно только тензоры, имеющие одинаковый ранг. В бескомпонентной записи линейная комбинация тензоров выглядит так

    \mathbf{C} = \lambda \, \mathbf{A} + \mu \, \mathbf{B}

    где \lambda, \, \mu — скаляры. Если перейти к компонентной записи, то, например, для тензоров второго ранга данная операция выглядит следующим образом

    c_{ij} = \lambda \, a_{ij} + \mu \, b_{ij}

    1.2. Умножение тензоров


    Умножение выполняется над тензорами любого ранга. Результатом является тензор суммарного ранга. Пусть, например \mathbf{a} — тензор ранга (0,1), а \mathbf{B} — тензор ранга (0,2). Тогда результатом их умножения будет тензор \mathbf{C} ранга (0,3)

    \mathbf{a} \, \mathbf{B} = \mathbf{C}

    или, в компонентной форме

    a_{i} \, B_{jk} = C_{ijk}

    С тензорным произведением мы уже сталкивались во второй статье, рассматривая диаду. Вернемся к этому ещё раз, перемножив два вектора

    \mathbf{c} = \mathbf{a} \, \mathbf{b}

    что в компонентной форме

    c^{ij} = a^{\,i} \, b^{\,j}

    дает матричное представление полученной диады

    \mathbf{c} = \begin{bmatrix} a^1 \, b^1 && a^1 \, b^2 && a^1 \, b^3 \\ a^2 \, b^1 && a^2 \, b^2 && a^2 \, b^3 \\ a^3 \, b^1 && a^3 \, b^2 && a^3 \, b^3 \end{bmatrix}

    Из последних примеров, в частности видно, что в общем случае тензорное произведение не коммутативно

    \mathbf{a} \, \mathbf{b} \ne \mathbf{b} \, \mathbf{a}

    что очень легко проверить, выписав умножение в компонентной форме и выписав матричное представление диады

    d^{\,ij} = b^{\,i} \, a^{\,j}

    \mathbf{d} = \begin{bmatrix} b^1 \, a^1 && b^1 \, a^2 && b^1 \, a^3 \\ b^2 \, a^1 && b^2 \, a^2 && b^2 \, a^3 \\ b^3 \, a^1 && b^3 \, a^2 && b^3 \, a^3 \end{bmatrix}

    Очевидно, что \mathbf{c} \ne \mathbf{d}, но так же очевидно и то, что

    \mathbf{d} = \mathbf{c}^{\,T}

    Это является следствием выполнения другого действия над тензорами

    1.3. Перестановка индексов тензора


    При этом из компонент исходного тензора образуется новая совокупность величин, с другим порядком индексов. Ранг тензора при этом не изменяется. Например, из тензора \mathbf{A} ранга (0,3) можно получить три других тензора \mathbf{B}, \mathbf{C} и \mathbf{D}, таких что

    B_{ijk} = A_{jik}, \quad C_{ijk} = A_{kji}. \quad D_{ijk} = A_{ikj}

    Для тензоров второго ранга возможно лишь одна перестановка, называемая транспонированием

    d_{ij} = c_{ji} \quad \Rightarrow \quad \mathbf{d} = \mathbf{c}^{\,T}

    Выше, когда мы рассмотрели не коммутативность тензорного произведения и переставили векторы, образующие диаду мы как раз и выполнили перестановку индексов, ведь перестановка множителей ведет к перестановке индексов результирующего тензора

    1.4. Свертка


    Сверткой называется суммирование компонент тензора по какой-либо паре индексов. Это действие выполняется над одним тензором и на выходе дает тензор с меньшим на два. Скажем, для тензора второго ранга, свертка дает скаляр, называемый, первым главным инвариантом или следом тензора

    A_{ii} = I_1(\mathbf{A}) = \mathop{\rm tr} \mathbf{A}

    Свертка всегда производится по паре разновариантных индексов (один индекс должен быть верхним, а другой нижним).

    Очень часто свертку комбинируют с произведением тензоров. Иногда такую комбинацию называют внутренним произведением тензоров. При этом тензоры сначала перемножают, а потом сворачивают получившийся тензор суммарного ранга. Примером может служить, использованная нами ранее запись скалярного произведения

    c = a_{\,i} \, a^{\,i}

    что эквивалентно безиндексной записи

    c = \mathbf{a} \cdot \mathbf{b}

    Точка, напоминающая скалярное произведение, в безиндексной записи как раз и означает совмещение умножения со сверткой. Свертка производится по соседей с точкой паре индексов. Покажем весь процесс развернуто. Из ковектора \mathbf{a} и вектора \mathbf{b} умножением образуем тензор \mathbf{c} ранга (1,1)

    c_i^{\,j} = a_i \, b^j

    или

    \mathbf{C} = \mathbf{a} \, \mathbf{b} = \begin{bmatrix} a_1 \, b^1 && a_2 \, b^1 && a_3 \, b^1 \\ a_1 \, b^2 && a_2 \, b^2 && a_3 \, b^2 \\ a_1 \, b^3 && a_2 \, b^3 && a_3 \, b^3 \end{bmatrix}

    Свернем получившийся тензор по его единственной паре индексов

    C_k^k = a_1 \, b^1 + a_2 \, b^2 + a_3 \, b^3 = c

    Однако не стоит считать эту точку скалярным произведением, поскольку, например вот такая операция

    A_{ij} = B_{ik} \, C_j^k

    так же умножение совмещенное со сверткой

    \mathbf{A} = \mathbf{B} \cdot \mathbf{C}

    но по смыслу производимых действий оно эквивалентно произведению матриц, которыми представлены компоненты тензоров.

    2. Симметричные и антисимметричные тензоры


    Сформулируем определение
    Тензор называется симметричным по паре индексов, если он не изменяется при перестановке этих индексов

    B_{ij \cdots} = B_{ji \cdots}

    Если тензор не меняется при перестановке любых двух индексов, то он является абсолютно симметричным

    И ещё одно определение
    Тензор называют антисимметричным по паре индексов, если при их перестановке тензор меняет знак

    B_{ij \cdots} = B_{ji \cdots}

    Если тензор меняет знак при перестановке любых двух индексов, то он является абсолютно антисимметричным

    Любой тензор можно разложить на симметричную и антисимметричную, по выбранной паре индексов, части. Доказать это очень легко, пусть дан тензор \mathbf{A}. Проведем над ним эквивалентные преобразования

    A_{ij\cdots} = \frac{1}{2} \, A_{ij\cdots} + \frac{1}{2} \, A_{ij\cdots} = \frac{1}{2} \, A_{ij\cdots} + \frac{1}{2} \, A_{ij\cdots} + \frac{1}{2} \, A_{ji\cdots} - \frac{1}{2} \, A_{ji\cdots} =

    = \frac{1}{2} \left(A_{ij\cdots} + A_{ji\cdots} \right ) + \frac{1}{2} \left(A_{ij\cdots} - A_{ji\cdots} \right ) = A_{(ij)\cdots} + A_{[ij]\cdots}

    где симметричная часть тензора

    A_{(ij)\cdots} = \frac{1}{2} \left(A_{ij\cdots} + A_{ji\cdots} \right ),

    а его антисимметричная часть

    A_{[ij]\cdots} = \frac{1}{2} \left(A_{ij\cdots} - A_{ji\cdots} \right ).

    Чтобы не оставалось сомнений, докажем, для полученных нами тензоров, симметричность

    A_{(ji)\cdots} = \frac{1}{2} \left(A_{ji\cdots} + A_{ij\cdots} \right ) = A_{(ij)\cdots}

    и антисимметричность

    A_{[ji]\cdots} = \frac{1}{2} \left(A_{ji\cdots} - A_{ij\cdots} \right ) = -\frac{1}{2} \left( A_{ij\cdots} - A_{ji\cdots} \right ) = - A_{[ij]\cdots}

    Если говорить о тензорах второго ранга, то если таковой тензор симметричен, то он же и абсолютно симметричен. Это же касается и антисимметричного тензора второго ранга. Эти свойства следуют непосредственно из данных нами определений — у тензора второго ранга всего одна пара индексов.

    Антисимметричный тензор обладает любопытным свойством. Пусть тензор второго ранга \mathbf{B} — антисимметричный. Тогда его компоненты удовлетворяют условию

    B_{ij} = -B_{ji}

    данное условие выполнимо только в том случае, если диагональные компоненты тензора — нули, так как при перестановке индексов (и транспонировании матрицы компонент) диагональные компоненты переходят сами в себя. А единственное число, противоположное самому себе это ноль. Компоненты симметричные относительно главной диагонали имеют противоположные знаки.

    Таким образом, из девяти компонент антисимметричного тензора второго ранга только три являются независимыми (речь идет, разумеется, о трехмерном пространстве). Три независимые компоненты образуют вектор (или ковектор). Логично предположить, что может существовать некий вектор, который однозначно зависит от данного антисимметричного тензора. Попробуем найти такой вектор.

    3. Сопутствующий вектор тензора второго ранга


    Для того чтобы разобраться с этим вопросом я хорошенько, до перегрева клавиш на клавиатуре, «погуглил». Толкового и вместе с тем элегантного ответа на сформулированный параграфом вопрос я не нашел, поэтому предлагаю свой ответ, являющийся в некотором роде компиляцией и переработкой полученных мною сведений.

    Вспомним о тензоре Леви-Чивиты, о котором я уже подробно писал тут, и построим такой тензор

    C_{ij} = \varepsilon_{ijk} \, a^{\,k} \quad (1)

    Докажем, что тензор (1) — антисимметричный. Переставим в нем индексы

    C_{ji} = \varepsilon_{jik} \, a^{\,k} = -\varepsilon_{ijk} \, a^{\,k} = -C_{ij} \quad (2)

    Минус в (2) вылез из-за того, что тензор Леви-Чивиты — абсолютно антисимметричный тензор третьего ранга. Перестановка индексов в нем, ведет к перестановке векторов базиса, на смешанном произведении которых построен данный тензор. Таким образом тензор (1) действительно антисимметричный. Тогда мы можем легко найти вектор a^{\,k}

    \varepsilon^{\,ijl} \, C_{\,ij} = \varepsilon^{\,ijl} \, \varepsilon_{\,ijk} \, a^{\,k} = 2 \, \delta_{k}^{\,l} \, a^{\,k} = 2 \, a^{\,l}

    a^{\,l} = \frac{1}{2} \, \varepsilon^{\,ijl} \, C_{\,ij} \quad (3)

    Примечание: о том, откуда взялись в (3) две дельты Кронекера можно прочитать в восьмой статье цикла.

    соответствующий антисимметричному тензору C_{ij}. Тензор третьего ранга в (3), это контравариантный тензор Леви-Чивиты, который повторяет свойства ковариантного собрата с той лишь разницей, что

    \varepsilon^{ijk} = \begin{cases} + \cfrac{1}{\sqrt g}, \quad P(i, j, k) = +1 \\ -\cfrac{1}{\sqrt g}, \quad P(i, j, k) = -1 \\ \quad 0, \quad i = j \vee j = k \vee k = i \end{cases} \quad (4)

    – для правой системы координат (для левой надо изменить знак ненулевых компонент на противоположный). Компоненты вектора (3), с учетом свойств тензора (4) определяются однозначным образом

    a^{\,1} = \frac{1}{2\,\sqrt g} \, c_{\,23} \quad a^{\,2} = \frac{1}{2\,\sqrt g} \, c_{\,31} \quad a^{\,3} = \frac{1}{2\,\sqrt g} \, c_{\,12}

    или, если представить матрицу компонент антисимметричного тензора C_{ij}, то перед нами предстанет такая запись

    \mathbf{C} = \begin{bmatrix} 0 && 2\,\sqrt g \, a^3 && -2\,\sqrt g \, a^2 \\ -2\,\sqrt g \, a^3 && 0 && 2\,\sqrt g \, a^1 \\ 2\,\sqrt g \, a^2 && -2\,\sqrt g \, a^1 && 0 \end{bmatrix}

    Заметим ещё один факт, не упомянуть который нельзя, но оставив строгое доказательство за рамками данной статьи (к этому мы вернемся несколько позже). Если тензор С_{ij} /> является истинным тензором, то соответствующий ему вектор (3) является псевдовектором или аксиальным вектором. Псевдовектор преобразуется как и вектор при повороте координатных осей, но при смене базиса с правого на левый (или с левого на правый) — меняет своё направление на противоположное (все его компоненты меняют знак).

    Если же в (1) вектор a^{\,k} — истинный вектор, то образованный из него антисимметричный тензор является псевдотензором — компоненты такого тензора преобразуются так же как и компоненты истинного тензора при повороте осей системы координат, но меняют знак на противоположный при смене ориентации базиса.

    Таким образом, любому антисимметричному тензору можно поставить в соответствии псевдовектор, получаемый в соответствии с выражением (3).

    Теперь покажем, что симметричный тензор не имеет соответствующего ему псевдовектора, вернее этот псевдовектор — нулевой. Допустим, нам дан симметричный тензор \mathbf{G}, то есть справедливо равенство

    G_{ij} = G_{ji} \quad (5)

    Предположим, что существует вектор

    b^{\,k} = \frac{1}{2} \, \varepsilon^{\,ijk} \, G_{ij} \quad (6)

    Переставим индексы в (6) учитывая симметричность (5)

    b^{\,k} = \frac{1}{2} \, \varepsilon^{\,jik} \, G_{ji} = - \frac{1}{2} \, \varepsilon^{\,ijk} \, G_{ij} = -b^{\,k} \quad (7)

    Выражение (7) справедливо только в одном случае, если

    b^{\,k} = -b^{\,k} = 0 \quad (8)

    То есть, если мы умножим симметричный тензор на тензор Леви-Чивиты с последующей сверткой по двум парам индексов, мы получим нулевой вектор. Если мы проделаем аналогичное с произвольным тензором второго ранга

    \frac{1}{2} \, \varepsilon^{ijk} \, T_{ij} = \frac{1}{2} \, \varepsilon^{ijk} \left(T_{ij}^{\,S} + T_{ij}^{\,A} \right ) = \frac{1}{2} \, \varepsilon^{ijk} \, T_{ij}^{\,A}

    на выходе получится псевдовектор, соответствующий его антисимметричной части.

    Заключение


    Получилось еще одно погружение в теорию тензорного исчисления. Но погружение несомненно нужное, ибо результаты, собранные в данной статье мы используем в дальнейших статьях цикла. Спасибо читателям за проявленное внимание!

    Продолжение следует…
    • +17
    • 17,9k
    • 3
    Поделиться публикацией
    AdBlock похитил этот баннер, но баннеры не зубы — отрастут

    Подробнее
    Реклама
    Комментарии 3
    • 0
      Подскажите пожалуйста математические пакеты, в которых удобно работать с тензорами. Интересует не просто запись выражений, а выполнение операций.
      • +1
        Было что-то похожее в Maple 7. Навскидку нашел описание на русском языке пакета tensor. Некоторые операции он выполняет, но применительно к тензорам, которыми оперирует ОТО.

        Судя по выводу Maple 18 за прошедшее время мало что поменялось

        • 0
          В процессе подготовки к статье 10, внесены правки в данную статью, в параграф 3, касающийся сопутствующего вектора антисимметричного тензора

          Только полноправные пользователи могут оставлять комментарии. Войдите, пожалуйста.