Магия тензорной алгебры: Часть 17 — Зарисовка о гайке Джанибекова

    Данная статья посвящается светлой памяти моего учителя, доктора технических наук, профессора Кабелькова Александра Николаевича, основателя и первого декана Физико-математического факультета ЮРГТУ (НПИ)

    Введение


    Данное видео иллюстрирует повторный эксперимент — вместо «барашка» используется какая-то самодельная ерунда



    Это случилось в 1985 году, на орбитальной станции «Салют-7», во время посещения её экипажем корабля «Союз Т-13» в составе космонавтов Джанибекова В. А. и Савиных В. П. Не буду описывать своими словами, процитировав один из многочисленных сетевых источников
    Когда космонавты распаковывали доставленный на орбиту груз, то им приходилось откручивать так называемые «барашки» – гайки с ушками. Стоит ударить по ушку «барашка», и он сам раскручивается. Затем, раскрутившись до конца и соскочив с резьбового стержня, гайка продолжает, вращаясь, лететь по инерции в невесомости (примерно как летящий вращающийся пропеллер). Так вот, Владимир Александрович заметил, что пролетев примерно 40 сантиметров ушками вперед, гайка вдруг совершает внезапный переворот на 180 градусов и продолжает лететь в том же направлении, но уже ушками назад и вращаясь в другую сторону. Затем, опять пролетев сантиметров 40, гайка снова делает кувырок на 180 градусов и продолжает лететь снова ушками вперед, как в первый раз и так далее. Джанибеков неоднократно повторял эксперимент, и результат неизменно повторялся. В общем, вращающаяся гайка, летящая в невесомости, совершает резкие 180-градусные периодические перевороты каждые 43 сантиметра. Также он пробовал вместо гайки использовать другие предметы, например, пластилиновый шарик с прилепленной к нему обычной гайкой, который точно так же, пролетев некоторое расстояние, совершал такие же внезапные перевороты.

    Думаю, что для затравки этого вполне достаточно. На самом деле, в «эффекте Джанибекова» нет ничего экстраординарного (хотя ему причисляют и возможную смену полюсов Земли каждые 12000 лет, и прочие глобальные катаклизмы). Используя аппарат тензорной алгебры и теорию устойчивости механического движения, попробуем разобраться, что происходит с загадочной гайкой.

    1. Гайка «барашек» — массово-инерционные характеристики


    На рисунке изображен объект нашего исследования. Наверняка каждый из читателей видел такую гайку хотя бы один раз в жизни. За сходство с оригиналом не ручаюсь, художник из меня тот ещё, но тем не менее.

    Гайка Джанибекова

    Во-первых, движение гайки (пока что, хотя моделирование в планах есть) мы будем изучать качественно. Поэтому нас не будут интересовать конкретные размеры этого изделия. Нам важна форма этой гайки, из которой мы, практически ничего не вычисляя можем сделать некоторые выводы.

    Гайка совершает свободное движение, поэтому в качестве полюса удобно выбрать её центр масс. Кроме того, пусть собственная система координат (связанная с телом) будет декартовой, а её оси пусть совпадают с главными осями инерции. Такие оси всегда можно найти, и они будут ортогональны, что мы строго доказывали в предыдущей статье. Так что мы можем считать, что центральный тензор инерции гайки будет представлен диагональной матрицей

    \mathbf I_c = 
\begin{bmatrix}
I_x && 0 && 0 \\
0 && I_y && 0 \\
0 && 0 && I_z
\end{bmatrix}

    Очевидно, что наибольшим главным осевым моментом инерции будет I_y — гайка имеет наиболее протяженную форму именно в плоскости, перпендикулярной оси Cy. Насчет моментов инерции I_x и I_z можно поспорить — всё зависит от соотношения толщины центральной части к её диаметру и удаленности центра масс от резьбового отверстия, но допустим, что форма гайки такова, что I_x > I_z. Тогда введем безразмерные моменты инерции

    i_x = \frac{I_x}{I_x} = 1, \quad i_y = \frac{I_y}{I_x}, \quad i_z = \frac{I_z}{I_x}

    и, так как I_y > I_x > I_z

    i_y \ge 1, \quad 0 < i_z \le 1

    В этом случае центральный тензор инерции принимает вид

    \mathbf I_c = I_x \, 
\begin{bmatrix}
1 && 0 && 0 \\
0 && i_y && 0 \\
0 && 0 && i_z
\end{bmatrix}

    2. Дифференциальные уравнения установившегося движения гайки


    Так как после схода с резьбы гайка движется как свободное тело, форма записи уравнений движения очевидна

    \begin{align*}
&m \, \vec a_{c} = \sum \vec F_k^{\,e} \\
&\mathbf I_c \, \vec\epsilon + \vec\omega \times \left(\mathbf I_c \, \vec\omega \right) = \sum \vec M_{c}(\vec F_k^{\,e}) 
\end{align*}

    Поскольку гайка движется в неинерциальной системе отсчета, свободно падающей на Землю (кабина космического корабля, невесомость), приняв допущение о незначительности сопротивления воздуха и пренебрегая прочими возмущениями, правые части системы (5) будем считать нулевыми

    \begin{align*}
&m \, \vec a_{c} = 0 \\
&\mathbf I_c \, \vec\epsilon + \vec\omega \times \left(\mathbf I_c \, \vec\omega \right) = 0
\end{align*}

    С учетом начальных условий уравнение движения полюса легко интегрируется, и мы получаем равномерное и прямолинейное движение центра масс. Вся соль во втором уравнении, которое тоже легко интегрируется, ведь его левая часть — абсолютная производная от момента количества движения гайки относительно центра масс

    \mathbf I_c \, \vec\epsilon + \vec\omega \times \left(\mathbf I_c \, \vec\omega \right) = \frac{\tilde d\vec L_c}{dt} + \vec\omega \times \vec L_c = \frac{d\vec L_c}{dt}

    где \frac{\tilde d\vec L_c}{dt} — локальная производная МКД, взятая в связанной системе координат, а сама формула носит название формулы Бура.

    Таким образом и второе уравнение дает интеграл

    \vec L_c = \vec{\rm const}

    который говорит о неизменности МКД. Учитывая, что в начале угловая скорость направлена строго вдоль оси Cx, МКД так же будет направлен вдоль той же оси, ибо несимметричность тела в этом случае влияния оказывать не будет, МКД будет иметь проекцию на ось x и она будет равна I_x \, \omega. Откуда тогда берутся эволюции, описанные в опыте Джанибекова?

    3. Дифференциальные уравнения возмущенного движения гайки


    Предположим, что под действием короткого малого возмущения, угловая скорость гайки отклонилась от закона, который дают уравнения (6) на малую величину \Delta \vec\omega. Тогда угловая скорость гайки станет равна

    \vec \omega^{\,'} = \vec\omega + \Delta \vec\omega

    Перепишем второе уравнение (6) в тензорном виде

    I_{\,j}^{\,r} \, \dot\omega^{'\,j} + \varepsilon^{\,rkm} \, \omega_{\,k}^{\,'} \, g_{\,ms} \, I_{\,p}^{\,s} \, \omega^{'\,p} = 0

    и подставим туда (7)

    I_{\,j}^{\,r} \, \left(\dot\omega^{\,j} + \Delta \dot\omega^{\,j}\right) + \varepsilon^{\,rkm} \, \left(\omega_{\,k} + \Delta \omega_{\,k}\right) \, g_{\,ms} \, I_{\,p}^{\,s} \, \left(\omega^{\,p} + \Delta \omega^{\,p}\right) = 0

    Раскроем в (8) скобки

    \begin{align*}
I_{\,j}^{\,r} \, \dot\omega^{\,j} &+ \varepsilon^{\,rkm} \, \omega_{\,k} \, g_{\,ms} \, I_{\,p}^{\,s} \, \omega^{\,p} + I_{\,j}^{\,r} \, \Delta\dot\omega^{\,j} + \varepsilon^{\,rkm} \, \omega_{\,k} \, g_{\,ms} \, I_{\,p}^{\,s} \, \Delta\omega^{\,p} + \\
& + \varepsilon^{\,rkm} \, \Delta\omega_{\,k} \, g_{\,ms} \, I_{\,p}^{\,s} \, \omega^{\,p} + \varepsilon^{\,rkm} \, \Delta\omega_{\,k} \, g_{\,ms} \, I_{\,p}^{\,s} \, \Delta\omega^{\,p} = 0
\end{align*}

    Однако, I_{\,j}^{\,r} \, \dot\omega^{\,j} &+ \varepsilon^{\,rkm} \, \omega_{\,k} \, g_{\,ms} \, I_{\,p}^{\,s} \, \omega^{\,p} = 0, что соответствует установившемуся режиму движения. Последнее слагаемое (9) отбрасываем как малое 2-го порядка, приводя уравнение (9) к виду

    I_{\,j}^{\,r} \, \Delta\dot\omega^{\,j} + \varepsilon^{\,rkm} \, \omega_{\,k} \, g_{\,ms} \, I_{\,p}^{\,s} \, \Delta\omega^{\,p} + \varepsilon^{\,rkm} \, \Delta\omega_{\,k} \, g_{\,ms} \, I_{\,p}^{\,s} \, \omega^{\,p} = 0

    Пересчитаем компоненты угловой скорости по формулам

    \Delta\omega_{\,k} = g_{\,kl} \, \Delta\omega^{\,l}, \quad \Delta\omega^{\,p} = \delta_{\,l}^{\,p} \, \Delta\omega^{\,l}

    Подставим (10) в (9) и вынесем за скобку общие множители

    I_{\,j}^{\,r} \, \Delta\dot\omega^{\,j} + \varepsilon^{\,rkm} \, \left(\omega_{\,k} \, g_{\,ms} \, I_{\,p}^{\,s} \,\delta_{\,l}^{\,p} +  g_{\,kl} \, g_{\,ms} \, I_{\,p}^{\,s} \, \omega^{\,p} \right) \, \Delta\omega^{\,l} = 0

    Используя свойства дельты Кронекера и опуская индексы у тензора инерции, получаем

    I_{\,j}^{\,r} \, \Delta\dot\omega^{\,j} + \varepsilon^{\,rkm} \, \left(\omega_{\,k} \, I_{\,ml} +  g_{\,kl} \, I_{\,mp} \, \omega^{\,p} \right) \, \Delta\omega^{\,l} = 0

    или

    I_{\,j}^{\,r} \, \Delta\dot\omega^{\,j} + G_{\,l}^{\,r} \, \Delta\omega^{\,l} = 0

    где G_{\,l}^{\,r} =  \varepsilon^{\,rkm} \, \left(\omega_{\,k} \, I_{\,ml} +  g_{\,kl} \, I_{\,mp} \, \omega^{\,p} \right) — тензор ранга (1, 1).

    Полученная система уравнений (11) называется линеаризованной системой уравнений возмущенного движения и служит для исследования устойчивости установившегося движения по первому приближению.

    Обратите внимание, оперируя тензорами мы начисто забыли о том, что в уравнении (6) имеется страшное матричное умножение да ещё и векторное произведение. Ещё одна иллюстрация мощности тензорного подхода к преобразованию векторно-матричных форм.

    4. Исследование устойчивости движения гайки Джанибекова по первому приближению (первый метод Ляпунова)


    Снова перейдем к матричной форме в уравнении (11), разрешив его относительно производной отклонений угловой скорости

    \frac{d \Delta\vec\omega}{dt} = \mathbf I_c^{-1} \, \mathbf G \, \Delta\vec\omega

    Первый метод Ляпунова, который мы будем использовать для оценки устойчивости движения гайки предусматривает исследование собственных чисел матрицы \mathbf A = \mathbf I_c^{-1} \, \mathbf G. Для того, чтобы установившееся движение было устойчивым, собственные числа (которых будет три) матрицы \mathbf A должны иметь отрицательные действительные части.

    Однако, для начала нам следует получить матрицу \mathbf G, элементы которой удовлетворяют тензорному соотношению

    G_{\,l}^{\,r} =  \varepsilon^{\,rkm} \, \left(\omega_{\,k} \, I_{\,ml} +  g_{\,kl} \, I_{\,mp} \, \omega^{\,p} \right)

    Для начала вспомним, что мы работаем в декартовых координатах, значит метрический тензор представлен единичной матрицей, тензор Леви-Чивиты — символами Веблена, о которых мы уже говорили, а тензор инерции ранга (0,2) совпадает с тензором инерции ранга (1,1).

    Для свертки выражения (13) можно воспользоваться СКА, но так как я ещё не разобрался с покомпонентной работой с тензорами в Maxima и Maple, то быстро набросал следующий код в Maple, пользуясь её средствами линейной алгебры

    restart;
    with(LinearAlgebra):
    
    # Вычисление тензора Леви-Чивиты
    levi_civita := proc(i, j, k)
    
    local E := IdentityMatrix(3,3);
    local A := Matrix(3, 3);
    local i1 := 0;
    
    A[1] := E[i];
    A[2] := E[j];
    A[3] := E[k];
    
    return Determinant(Transpose(A)); 
    
    end proc:
    
    # Задаем используемые тензоры
    J := Matrix( [ [I[xx], 0, 0], [0, a*I[xx], 0], [0, 0, b*I[xx]] ]);
    g := IdentityMatrix(3, 3);
    Omega := Vector([omega, 0, 0]);
    L := J . Omega;
    
    # Вычисляем матрицу G
    G := Matrix(3, 3);
    
    for r from 1 to 3 do
    
     for l from 1 to 3 do
      G[r, l] := 0;
      for k from 1 to 3 do
       summ := 0;
       for m from 1 to 3 do
        summ := summ + levi_civita(r, k, m)*Omega[k]*J[m, l] + levi_civita(r,k,m)*g[k,l]*L[m];
       end do:
       G[r, l] := G[r, l] + summ;
      end do:
    
     end do:
    
    end do:
    

    Пропустив исходные данные через Maple, на выходе получаем матрицу

    \mathbf G = 
\begin{bmatrix}
0 && 0 && 0 \\
0 && 0 && \omega \, I_x \, \left(1 - i_z\right) \\
0 && \omega \, I_x \, \left(i_y - 1\right) && 0
\end{bmatrix}

    где \omega — угловая скорость вращения гайки сразу после схода с резьбы на установившемся участке движения, перед кувырком. Эту угловую скорость можно считать постоянной.

    Нетрудно получить и матрицу \mathbf A

    \mathbf A = \mathbf I_c^{-1} \, \mathbf G = 
\begin{bmatrix}
0 && 0 && 0 \\
0 && 0 && \omega \, \cfrac{1-i_z}{i_y} \\
0 && \omega \, \cfrac{i_y-1}{i_z}
\end{bmatrix}

    Характеристическое уравнение для вычисления собственных чисел данной матрицы имеет вид

    \lambda^3 - \omega^2 \, \frac{(i_y - 1)(1 - i_z)}{i_y \, i_z} \, \lambda = 0

    Решая его получаем собственные числа

    \lambda_1 = 0, \quad \lambda_2 = \omega \, \sqrt{\frac{(i_y - 1)(1 - i_z)}{i_y \, i_z}}, \quad \, \lambda_3 = -\omega \, \sqrt{\frac{(i_y - 1)(1 - i_z)}{i_y \, i_z}}

    Собственные числа принимают действительные значения, если безразмерные моменты инерции удовлетворяют условию

    i_y \ge 1, \quad i_z \le 1

    В противном случае два собственный числа будут чисто мнимыми. Если мы построим графики зависимости собственных значений \lambda_2 и \lambda_3 от безразмерных моментов инерции, то увидим, что при нарушении условия (15) графики проваливаются в комплексную область.

    Положительный корень характеристического полинома

    Отрицательный корень характеристического полинома


    Выводы



    Хотя бы одно собственное значение с положительной вещественной частью говорит о неустойчивости установившегося режима движения.

    Теперь посмотрим, ведь условие (15) удовлетворяет принятому нами в начале условию (3). При соотношении между моментами инерции, когда

    I_y > I_x > I_z

    то есть, будучи изначально закрученной вокруг оси с промежуточным между максимальным и минимальным значением момента инерции, гайка ведет себя неустойчиво, совершает переворот, а затем снова пытается найти устойчивое положение, и снова совершает переворот. Известно, что устойчивые вращения свободного тела возможны лишь вокруг осей с максимальным и минимальным моментом инерции.

    Если

    i_y > 1, \quad i_z < 1

    то мы получаем чисто мнимые корни характеристического уравнения, и первый метод Ляпунова не отвечает однозначно на вопрос, будет ли устойчиво движение в этом случае. Но исходя из того, что знает механика не сегодняшний день и из колебательного характера решения линейных уравнений с мнимыми корнями характеристического уравнения, можно предположить периодические колебания вектора угловой скорости около установившегося режима, что соответствует процессам прецессии и нутации.

    В этой связи, наша планета, удовлетворяющая условию (16) не будет испытывать на себе эффект Джанибекова. Так что глобальная катастрофа со сменой полюсов нам не грозит.

    Данная статья была некоторой разминкой. К гайке «барашку» мы, возможно ещё вернемся, а пока — благодарю моих читателей за внимание!

    >Продолжение следует…
    Поделиться публикацией
    AdBlock похитил этот баннер, но баннеры не зубы — отрастут

    Подробнее
    Реклама
    Комментарии 16
    • +5
      Вероятно, самый длинный, чисто технический, цикл статей на необъятном.
      Спасибо.
      • +8
        Читая этот цикл, испытываю просто квинтэссенцию белой зависти :)
        Так же, как и у многих, тензоры проехали как-то рядом со мной, и в подсознании закрепилась мысль, что «надо бы разобраться с ними».

        Но главное, что я здесь вижу — автор не только знает природу тензорной алгебры, но и понимает её, что бывает ещё реже.
        Не оставляет надежда, что будет время, и я досконально разберусь с тензорами при помощи этих статей.
        Спасибо!

        P.S. Смешной «выбор» похожих публикаций :)
        • 0
          На самом деле в тензорах нет ничего сложного.

          Тут в качестве аналогии можно привести стадии изучения слепой печати на клавиатуре. До изучения метода вы по одной букве печатаете одним пальцем, и весь этот процесс кажется жутко сложным и утомительным. Когда же вы достаточно попрактиковались, то процесс нажимания клавиш сливается в единый плавный ритмичный поток нажатий, а мозг думает о тексте, а не об отдельных буквах.

          Есть правда и обратное явление: если вы долго печатаете на клавиатуре вслепую, то найти глазами на клавиатуре скажем букву Ц будет сложнее, чем просто напечатать ее. Эта часть аналогии относится к тому, что доказательства различных свойств тензорной алгебры затираются в памяти, часто замечаю за собой, что не понимаю, почему то или иное преобразование «работает», хотя интуитивно вижу, что это «работает».
          • 0
            изучения слепой печати на клавиатуре


            Или вождение автомобиля. Когда только начинаешь, в голове не укладывается, что нужно жать педали и дергать рычаг, и при этом следить за окружающей обстановкой. Когда приобретается опыт, то следишь за дорогой и думаешь даже о каких-то посторонних вещах, а сцепление газ и тормоз жмутся сами, и даже не знаешь на какой передаче ты едешь в данный момент. Просто едешь и всё
        • +6
          Мне очень нравится, как объясняется эффект Джанибекова через интерпретацию Мак-Куллага в книжке Журавлева:)

          При свободном вращении тела сохраняется вектор момента импульса, то есть и его длина:
          ,

          Еще сохраненяется кинетическая энергия:


          Немного сжимаем координаты .
          В новых координатах первое уравнение описывает сферу, а второе — эллипсоид.
          Тело может двигаться так, чтобы сохранялся и закон сохранения энергии и момента импульса, то есть, в новых координатах, по пересечению сферы и эллипсоида:

          Мы видим, что сфера и эллипсоид всегда пересекаются так, что траектории близ большей и малой оси эллипсоида устойчививые, а близ средней оси — неустойчивые.

          • +1
            в книжке Журавлева:)


            Скачал себе эту книгу ещё со времен публикации об определении единицы Бурали-Форти (она упоминалась в самой статье и комментариях к ней). Книга весьма интересная в плане нестандартности подходов к рассмотрению теоретической механики
          • 0
            > ЮРГТУ (НПИ)

            Ничего-себе! Привет, земляк! :-)
          • 0
            А если взаимосвязь между реверсом гайки и шагом резьбы?
            • 0
              При движении по резьбе, если положить заданной начальную угловую скорость гайки заданной, то скорость центра масс будет связана с ней через шаг резьбы.

              После того как гайка сходит с резьбы, движение центра масс и вращение происходят независимо друг от друга, так что шаг резьбы на вращение гайки никакого влияния не оказывает
            • +1
              Я дико извиняюсь, но не будет-ли кто так любезен объяснить теперь на человеческом языке, почему-же эта чертова гайка переворачивается? Ну или пруф на объяснение попроще, спасибо
              • +1
                Есть вещи которые невозможно объяснить «попроще».
                В данной задаче происходит следующее. Есть некоторое движение которое совершает гайка — её центр масс движется прямолинейно, а гайка вращается вокруг своей оси. Это движение может быть устойчивым, то есть не испытывать резких изменений под действием разного рода малых возмущений. А может быть неустойчивым, то есть претерпевать резкие изменения, вызванные малыми возмущениями. Соотношения массово-инерционных параметров этого изделия таковы, что движение в конкретном случае является неустойчивым. Выше — один из способов показать, что движение неустойчиво.

                Проще объяснить наверное не выйдет
                • +1
                  то есть центр масс движется равномерно и устойчиво, а вращение вокруг своей оси неустойчиво? Это странно, т.к. всегда считал что вращающийся предмет обладает свойствами гироскопа, который противится любому изменению своего положения…

                  > резкие изменения, вызванные малыми возмущениями

                  случайными возмущениями? или закономерными? Говорилось ведь что гайка меняет направление вращения каждые 43 см, поэтому возмущения, заставляющие гайку переворачиваться похоже не случайные.

                  А если вместо барашка будет металлический шарик, он тоже будет менять направление своего вращения?

                  в общем магия, как и было сказано в заголовке :)
                  • 0
                    Это странно, т.к. всегда считал что вращающийся предмет обладает свойствами гироскопа,

                    Обладает, но при этом он должен вращаться вокруг оси с минимальным или максимальным моментом инерции

                    А если вместо барашка будет металлический шарик, он тоже будет менять направление своего вращения?

                    Нет, так как шар имеет равные во всех направлениях моменты инерции (шаровой тензор инерции)

                    случайными возмущениями? или закономерными?

                    Это не важно. Смысл в том, что после того как движение было возмущено, оно уже не возвращается к установившемуся режиму
                    • 0
                      "Смысл в том, что после того как движение было возмущено, оно уже не возвращается к установившемуся режиму"

                      На мой взгляд интерес как раз представляет то, что гайка делает реверс очень быстро т.е. происходит разрыв не помню как это называется в классической теории катастроф т.е. как раз с точки зрения всей системы — система довольно устойчивая так как реверс происходит с постоянной периодичностью. Интерес ИМХО это приближение к точке катастрофы и практически мгновенный реверс гайки.

                      То что с помощью корней уравнения можно объяснить эффект это прикольно, но это и так видно, а вот как качественно объяснить все остальное это действительно офигительно интересно.

                      Спасибо огромное за статью и рассказ об эффекте Джанибекова.
                      • 0
                        происходит разрыв


                        Нет, разрыва там нет, решение описывается гладкими функциями. Если движение безударное, то оно описывается по крайней мере дважды дифференцируемыми функциями. Но на участках, где происходит реверс производные проекций угловой скорости имеют достаточно большие значения.

              Только полноправные пользователи могут оставлять комментарии. Войдите, пожалуйста.

              Интересные публикации