Задача о конфетах

    На днях столкнулся с интересной задачкой, которая показалась мне достойной аудитории данного ресурса. Условие ее следующее:

    «Найти максимально допустимое отклонение массы конфеты при ее производстве, чтобы нетто коробки, состоящей из 12 штук их, не выходило за пределы 310±7 грамм в 90% случаев. Закон распределения считать нормальным.»

    Стоит сказать, что условие не было выдернуто из интернета или подсмотрено на каком-нибудь ресурсе занимательных задач, а пришло от одного очень хорошего друга, который по должности своей инженер по организации и управлению производством на одной небезызвестной кондитерской фабрике. То есть задача имеет вполне реальное происхождение, а ее решение — практическую пользу.

    Я предложил читателям решить задачу самостоятельно и должен сказать, что они справились с этим лучше меня. В своем же решении я я сделал не верное допущение.

    1. Условности


    Условимся обозначать большими буквами параметры для коробки и маленькими — для конфет.
    Пускай и — соответственно масса нетто коробки и ее допустимое отклонение, такое, что в процентах случаев она не выходит за пределы .
    Пускай и — соответственно масса конфеты и ее допустимое отклонение, такое, что в процентах случаев она не выходит за пределы .
    Количество конфет в коробке .

    2. Нормальное распределение


    Нормальное распределение описывается функцией Гаусса:


    , где — математическое ожидание, — стандартное отклонение, квадрат которого — называется дисперсией.

    В случае с конфетами , a , поэтому:


    В случае с коробкой конфет , a :


    Вероятность того что масса конфеты не выйдет за пределы равна:


    Вероятность того что нетто коробки не выйдет за пределы равна:


    Рисунок ниже хорошо иллюстрирует все выше сказанное:


    Найдем вероятность для конфеты:


    , где — функция распределения, а — функция ошибок.

    Таким образом для конфеты:


    Аналогично для коробки:



    3. Центральная предельная теорема


    Из центральной предельной теоремы следует что если существуют независимые случайные величины:


    , то их сумма:

    будет обладать параметрами:


    Применительно к нашей ситуации имеем:



    4. Вероятности и моя ошибка


    Я ошибочно посчитал что совокупная вероятность для коробки равна произведению вероятностей для отдельных конфет. Другими словами:


    , откуда:

    Получилась система уравнений:


    Решив ее относительно :

    , вывел:

    , где — обратная функция ошибок и нашел вполне конкретные цифры:








    Такое решение я обосновал следующим образом: необходимо, чтобы масса конфеты не выходила за пределы 25.8333±3.2212 в 99.13% случаев (1 на 115). И хотя такой ответ не является противоречащим, правда в том что только является верным ответом. Так как при таком и меньшем стандартном отклонении нам ничего не нужно отбрасывать, о чем многие читатели мне долго намекали и были правы.

    5. Проверка


    Как же без нее. Проверку состряпал в матлабе. Вкратце создаем 1000000 конфет с найденными параметрами по нормальному закону. Случайным (равновероятным) образом из них формируем 1000000 группок (считай коробок) по 12 штук. Проверяем количество таких групп не вышедших за пределы 310±7 и делим на общее, получая таким образом ту самую вероятность для коробки. И так 1000 раз.

    Код
    % Number of candys
    nC = 1000000 ;
    
    % Mass deviation of a single candy
    mC = normrnd ( m , s , 1 , nC ) ;
    
    % Number of candys in the box
    n = 12 ;
    
    % Number of boxes
    nB = 1000000 ;
    
    % Number of experiments
    nE = 1000;
    
    pB = zeros ( 1, nE );
    
    for k = 1 : nE
        % Random index of n candys
        i = random ( 'unid' , nC , nB, n ) ;
    
        % The mass of each boxes
        j = 1 : nB ;
        mB  = sum ( mC ( i ( j , : ) ) , 2 )' ;
    
        % Mask boxes that out of range
        mask = ( mB < M + dM ) .* ( mB > M - dM );
    
        % Probability of out of the range
        pB ( k ) = sum ( mask ) / nB;
    end
    

    В итоге получился такой вот красивый график:


    Осмелюсь предположить что 1 млн. коробок мало и если устремить их количество в бесконечность, наши вероятности будут ровно в 90%.

    Гораздо интереснее случай, когда аппарат для разлива конфет имеет константное стандартное отклонение, которое больше 1.2285 и нужно найти те самые границы , выше которых, при заданной , конфеты нужно отбросить, чтобы удовлетворять тем же условиям. Это куда более сложная задача, которой я возможно посвящу еще одну статью.
    Метки:
    Поделиться публикацией
    Похожие публикации
    Реклама помогает поддерживать и развивать наши сервисы

    Подробнее
    Реклама
    Комментарии 128
    • +9
      Не могу классифицировать ситуацию: это действительно «хакатон на халяву» в пользу некоего «известного кондитера»?
      • +15
        Можно просто бахнуть миллиардик экспериментов методом Монте-Карло и получить результат с точностью до надцатого знака после запятой. Тот случай, когда написать два вложенных цикла быстрее, чем вспоминать все законы теории вероятностей.
        • +11
          Вот и выросло поколение. :)
          • +2
            Как подсказывает Википедия, метод Монте-Карло впервые был предложен в 1930-ом году Энрико Ферми. С тех пор уже не одно поколение выросло. :)
            • 0
              Речь о том, когда «бахнуть миллиардик экспериментов» стало «быстрее».
              • 0
                Помнится, во времена Декарта вероятности тоже считали с помощью кучи экспериментов, а не каких-то там законов. Так что ничего нового.
          • 0
            А вы бахните… Ведь интересно на сколько сойдется ответ.
            • 0
              Интересно, конечно.

              Ну вот
              #include <iostream>
              #include <chrono>
              #include <random>
              
              int main()
              {
              	unsigned seed = std::chrono::system_clock::now().time_since_epoch().count();
              	std::default_random_engine generator(seed);
              	std::normal_distribution<double> distribution(0.0, 1.228518);
              
              	const int tests = 500000;
              	const int candiesInBox = 12;
              
              	// let's test all max candy weight from 5.0 to 3.0 with step 0.1
              	for (double m = 5.0; m > 3; m -= 0.01) 
              	{
              		int okBoxes = 0;
              		for (int j = 0; j < tests; ++j)
              		{
              			double sum = 0;
              			for (int i = 0; i < candiesInBox; ++i)
              			{
              				double number;
              				for (;;)
              				{	
              					// let's generate candies till we have a good one
              					number = distribution(generator);
              					if (number < m && number > 0 - m)
              						break;
              				}
              				sum += number;
              			}
              
              			if (sum >= -7.0 && sum <= 7.0)
              				okBoxes++;
              		}
              		std::cout << "For max = " << m << " okBoxes=" << (double)okBoxes / (tests / 100) << "%" << std::endl;
              	}
              
              
              	return 0;
              }
              



              4.4 получилось на миллиарде тестов. Это если я, конечно, правильно понял что надо было считать. :)
              • 0
                не верный ответ)
                • 0
                  Вы уверены, что сами правильно решили задачку? Как-то странно выглядит, что все решения включая численные, не совпадают с вашим.
                  • 0
                    да, если он на 35% отличается…
                    • 0
                      Странно, что на миллиарде тестов результаты так отличаются. Давайте проговорим словами, что мы моделируем. Вот есть машина, которая делает конфеты весом 25.8(3) грамма. Понятное дело, что машина не идеальна и конфеты имеют не точно этот вес, а какой-то, определяемый нормальным распределением со среднеквадратичным распределением 1.228518. Т.е. большинство конфет будет около 25.8 грамм плюс\минус пару грамм, но могут иногда встречаться и конфетки весом в килограм (нормальное распределение это позволяет).

                      Дальше все конфетки попадают на конвеер, одна за одной. Для того, чтобы в коробки не попадали те самые конфеты весом в килограм (а также слишком легкие) на конвеере стоит автомат, измеряющий вес конфеты и выбрасывающий её, если отклонение веса превышает некоторый вес M. Если М будет очень большим — у нас будет много коробок со слишком большим отклонением веса. Если М будет слишком маленьким — много конфет будет уходить в брак, что удорожает производство. Наша задача — подобрать это M таким образом, чтобы 90% наборов из 12-ти конфет имели суммарное отклонение веса не превышающее 7 грамм.

                      Так или не так?
                      • 0
                        Можно даже не отбрасывать неугодные конфеты, главное чтобы их процент был не больше некой величины и тогда мы все-равно попадем в нужный нам интервал.
                        • +1
                          Но тогда ответ на Вашу задачу — не какое-то одно число, а бесконечный набор пар (допустимый процент бракованых конфет — максимально допустимое отклонение массы). Akela_wolf вон привёл его ниже, но этот ответ Вам тоже не понравился.
                          • 0
                            Ну если этот процент бракованых конфет свести к 0, то уж тем более условие выполнится. Для того чтобы дать верный ответ, его нужно обосновать а не угадывать)
                            • +1
                              Не распыляйтесь перед автором поста. Тот же самый совет Akela_wolf.
                              Поскольку в самом начале не было ясно сформулировано, что требуется. С умыслом или без, но автор не написал что же хотели «кондитеры».

                              Видимо, требовалось найти в какой 1-alpha — дов. интервал попадает масса одна конфеты (подчиняется норм. распределению) и границы этого интервала, если границы 90% — дов. интервал коробки из 12 конфет — [303; 317].
                              1-alpha находится через error function и inverse error function от 0.9. Далее, через F находятся границы этого интервала.
                              • 0
                                За что купил, за то и продал. Из уст в уста, как говорится. Чего хотели кондитеры я сам не знаю, так как закон распределения в реальности может быть совсем не нормальным даже в ограниченом интервале. А предложенный вами метод решения верен, если вы правильно учли вероятности.
                                • +1
                                  Вы что-то додумали, а в условии это не сказали :-). Вы чувствуете разницу в вашей формулировке и в моей?

                                  Хорошо, вы хотели показать, что ответ будет «красивым» — 7*qnorm(0.9)/qnorm(0.95), где qnorm — квантиль функция стандартного норм. распределения.
                                  Но такое в голове держать не будешь. Быстрее и логичнее произвести «естественные» расчеты, которые будут понятны любому, нежели такой ответ.
                                  • 0
                                    Додумал то же что и остальные. Мол если это нормальное распределение, то не может быть какого-то ограниченого интервала. И ответ вполне нормальный: масса не должна выходить за пределы m±dm в p процентах случаев.
                                  • 0
                                    Поэтому это больше похоже на «задачку из учебника», чем на случай из реальной жизни ;). Более не мешаю.
                            • 0
                              Решал задачу при помощи Монте-Карло, примерно в тех же условиях (автомат выбрасывает с конвейера конфеты, отличающиеся по весу на d от 25.8). Результат, очевидно, зависит от дисперсии конфеты. При весе 25.8±3 г получается d~2.0, а при весе конфеты 25.8±1.5 г получается d~2.2.

                              Т.е., чем ровнее отдельные конфеты, тем меньше их нужно выкидывать.
                      • 0
                        Численные методы дают неизбежную погрешность. Поэтому численное решение должно быть в виде X±Z, где X — найденное решение, Z — погрешность.
                    • +1
                      Абсолютно согласен.
                      Мой пример решения такого решения gist.github.com/anonymous/29eaa6844c6242bedc47
                      • –3
                        А какой же ответ?
                        • 0
                          ~1.22
                          • 0
                            это сигма или отклонение?
                            • 0
                              отклонение
                              • 0
                                тогда не верно)
                                • 0
                                  Стоп, я запутался. Сигма же и есть стандартное отклонение: In other words, the standard deviation σ (sigma) is the square root of the variance of X.
                                  • 0
                                    хорошо, сигма верна, а максимальное допустимое отклонение в массе конфеты? Это только половина решения.
                                    • 0
                                      Конкретизируйте вопрос, пожалуйста.
                                      Если одна из миллиона конфет будет 20 или 30 грамм, это будет допустимо.
                                      • 0
                                        да хоть тонну, у нас же нормальное распределение.
                                        • 0
                                          Вот именно. Какой ответ ожидается-то? Что-то вроде «99% конфет должны быть 25.8 ± 3.15 г.»?
                                          • 0
                                            именно так, я писал уже об этом трижды.
                      • 0
                        Кстати, точность метода Монте-Карло в типичных случаях — примерно sqrt(1/N). Так что миллиард экспериментов даст в лучшем случае 5 знаков.
                      • 0
                        Максимально допустимое отклонение массы конфеты – от какого значения? От 25,8(3) г?
                        • 0
                          Да, вы правы, математическое ожидание для массы конфеты будет 310 / 12 = 25.8(3) грамма. Но как вы увидете, этот параметр не будет фигурировать в решении.
                          • 0
                            В итоге всё равно будет важна лишь дисперсия (функция от этого ±7).
                          • +2
                            Слушайте, я, вероятно, что-то туплю, но как согласуются понятия «максимальное отклонение» и «нормальное распределение»? На сколько я помню, при нормальном распределении массы конфеты отклонение от мат. ожидания теоретически не ограничено, просто большое отклонение маловероятно. Если же ограничено, то это уже не нормальное распределение, а какая-то его модификация. Может, надо найти допустимую дисперсию?
                            • 0
                              Меня тоже вначале смутили подобные мысли, но при решении все стало на свои места. И вы правы в том что необходимо искать допустимую дисперсию, все остальное из нее выплывает.
                              • 0
                                Тут вопрос не в смущении, а в корректной формулировке вопроса — какое должно быть максимальное допустимое среднеквадратичное отклонение веса конфеты, чтобы <далее по тексту>. А не просто отклонение.
                                • 0
                                  после публикации решения, в выводах, я коснусь этого вопроса.
                              • НЛО прилетело и опубликовало эту надпись здесь
                                • 0
                                  да, я понимаю, смущает, но при правильном решении таки не выходит, на бесконечной выборке конечно.
                                  • НЛО прилетело и опубликовало эту надпись здесь
                                    • 0
                                      Да, именно так, существует не 0 вероятность что коробка конфет будет весить тонну, но из 1 млн. таких коробок примерно 900 000 будет в пределах 310±7 грамм.
                                      • +2
                                        Я вижу это ограничение во фразе: Найти максимально допустимое отклонение массы конфеты. Если мы допускаем, что у конфеты есть какое-то максимальное отклонение, не статистическое, а для каждой конфеты, то я не понимаю, как можно говорить о нормальном распределении. Это чисто терминологический момент.
                                        • 0
                                          а вы найдите такое отклонение массы конфеты, чтобы верятность пребывания в этих пределах удовлетворяла условию задачи.
                                          • +1
                                            Ох. Мое замечание не про поиск решения, оно про двусмысленность в формулировке. Что такое «максимальное отклонение массы конфеты»? Я, в силу своего знания естественного русского языка, понимаю это так: Если максимальное отклонение массы конфеты составляет 5 грамм от среднего 100 грамм, то ни одна конфета не может весить больше 105 или меньше 95 грамм. Дело в том, что такая формулировка несовместима, на мой взгляд, с фразой «Закон распределения считать нормальным».
                                            А как Вы понимаете разу про «максимальное отклонение массы конфеты»?
                                            • 0
                                              Ну примерно так. Если конфета при производстве не выходит за пределы m±dm в p процентах случаев, то n таких конфет не выйдет за пределы M±dM в P процентах случаев. А если p будет 1 то уж тем более.
                                            • +1
                                              Вероятность чего? В задаче фигурирует вероятность выхода массы коробки за диапазон. Если для конфеты нужно найти диапазон, в который попадают те же 90% конфет, то, насколько я понимаю, получится отклонение 7/sqrt(12)=2.02 грамма — даже в таблицы можно не смотреть. Но вообще, «максимальное» отклонение и нормальное распределение несовместимы.
                                              • 0
                                                не верный расчет) согласен, не совместимы, но если нормальное распределение ограничить на найденом отклонении, то со 100% вероятностью условие выполнится.
                                                • 0
                                                  Если нормальное распределение ограничить, то оно перестанет быть нормальным, а станет каким-то другим. У него будет два параметра — сигма и ограничение. И для выполнения условия задачи они будут как-то связаны, но решений явно будет бесконечно много.
                                                  • 0
                                                    Решение будет одно, для любого распределения и любого интервала. Главное чтобы были известны взаимосвязи.
                                                    • 0
                                                      Если масса конфет имеет нормальное распределение с сигмой 1.228, то условие про 90% коробок будет выполнено, при этом масса конкретной конфеты может иметь любое значение от минус до плюс бесконечности, и ограничивать ничего не нужно.
                                                      Если масса распределена равномерно (сигма исходного, не обрезанного, распределения равна бесконечности), то её нужно ограничить интервалом длиной 1.228*sqrt(12)=4.254 — и максимальное отклонение для конфеты будет 2.127 (здесь 12 не имеет отношения к числу конфет в коробке — это просто свойство равномерного распределения).
                                                      • 0
                                                        первый ваш абзац заставил меня пересмотреть мое решение и должен согласиться, что таки-да, Вы правы. Для конфеты будет существовать лишь один параметр — сигма, который полностью описывает ее свойства.
                                    • 0
                                      Вот-вот мысли о том же. Если считать просто допустимое стандартное отклонение оно выходит примерно 14,7 гр. Тогда 12 таких конфет укладываются в 310 плюс-минус 7 гр. с вероятностью 90%. Но как-то много вышло, если честно.

                                      Действительно, такое ощущение что в условии задачи чего-то не хватает.
                                      • 0
                                        у вас действительно слишком большое стандартное отклонение)
                                    • 0
                                      Вы так сформулировали условие, что не ясно, почему не устраивает решение в лоб?
                                      Масса одной произвольной конфеты ~ N(310/12, sd^2). В предположении о независимости этих случ. величин, масса коробки ~ N(310, 12*sd^2).
                                      Находим sd^2 из уравнения F(X < 317) = 0.95 и, если требуется, умножаем результат на 12/11 (finite pop.correction). Оценка sd получена.
                                      • 0
                                        У вас неправильная формула. При сумме N случайных величин дисперсия будет sd^2/sqrt(N)
                                        • 0
                                          дисперсия будет 12*sd^2, а вот стандартное отклонение как раз sd*sqrt(12).
                                          • 0
                                            Ну конечно, почему я подумал что нужно делить? Забыл теорвер :)
                                        • 0
                                          не могли бы вы привести конкретную цифру? И почему <0.95? F — это функция распределения? Оценки sd мало, необходимо отклонение.
                                          • 0
                                            F — вероятность выполнения условия. Если величина X распределена нормально, то условие F(M-a <= X <= M+a)=0.9 сводится к F(x <= M+a)=0.95

                                            Последнее является определением квантиля. Отсюда получаем, что a = 1.65*sd=7 гр., то есть sd=4.24. Это у коробки.
                                            Для конфеты sd=4.24/sqrt(12)=1.22 гр.
                                            • 0
                                              Далее, если следовать правилу трех сигм, то вес конфеты должен быть в пределах 25.8 плюс-минус 3.67 гр. Тогда, с вероятностью 90% вес коробки укладывается в указанный диапазон
                                              • 0
                                                Опять я все перепутал, так нельзя делать, нужно обязательно через дисперсию. Для коробки sd=4.24, тогда D=17.98, тогда для конфеты D=17.98/sqrt(12)=3.46 и sd для отдельной конфеты составляет sqrt(3.46)=1.86

                                                Конечный результат получается такой: математическое ожидание 25.8, среднеквадратическое отклонение 1.86
                                                • 0
                                                  не верно)
                                                  • 0
                                                    Да ну? Вечером голова не соображает, завтра утром еще подумаю. Но мне кажется, что вы все-таки перепутали верно и неверно :)
                                              • 0
                                                верно)
                                              • 0
                                                sd = 1.228518 (fpc игнорируем). Это и есть ответ.
                                                F — кумулятивная функция нормального распределения
                                                0.95 в силу симметричности плотности нормального распределения.

                                                Код на R
                                                 sd <- uniroot(function(x) pnorm(317, 310, sqrt(12)*x) - 0.95, lower = 0, upper = 2)$root 

                                                Проверка
                                                
                                                set.seed(123)
                                                n <- 10000
                                                boxes <- sapply(1:n, function(i) sum(rnorm(12, 310/12, sd)))
                                                quantile(boxes, c(0.05, 0.95))
                                                

                                                Результат
                                                5% 95%
                                                303.0068 317.0503
                                                • 0
                                                  стандартное отклонение верно, но ответом должно быть максимальное отклонение в массе конфеты.
                                                  • 0
                                                    Найденное значение — максимально допустимое стандартное отклонение. В том смысле, что при меньшем sd по-прежнему масса не менее 90% коробок будет лежать в требуемом интервале, а при большем sd таких коробок будет менее 90%.
                                                    Ясно, что носитель нормального распределения не ограничен сверху и снизу. Если вы подразумевали truncated normal distribution или какие-то другие дополнительные условия, то об этом надо было заявить внятно в самом начале, а не играть в угадайку.
                                                    • 0
                                                      Ну примерно так. Если конфета при производстве не выходит за пределы m±dm в p процентах случаев, то n таких конфет не выйдет за пределы M±dM в P процентах случаев

                                                      Я уже писал. От sd к внятному ответу один маленький шажочек, но почему-то никто не может до него догадаться…
                                                      • 0
                                                        На практике применяют простое правило «3 сигмы», которое дает вероятность попадания в заданный интервал 99%. Остальное — вопрос требуемой точности
                                                        • 0
                                                          не верный ответ) в физике, например 5 сигм. А математика и вовсе точная наука.
                                                        • 0
                                                          *стёр*
                                                • 0
                                                  Видимо, Вы имеете ввиду F(303<X<317)=0.90?
                                                  • 0
                                                    Если величина X распределена нормально, то условие F(M-a <= X <= M+a)=0.9 сводится к F(x <= M+a)=0.95

                                                    А да, действительно.
                                                • 0
                                                  Ну примерно так. Если конфета при производстве не выходит за пределы m±dm в p процентах случаев, то n таких конфет не выйдет за пределы M±dM в P процентах случаев


                                                  Итак, конечный ответ. Если вес отдельно взятой конфеты 25,8±5,58 в 99% случаев (3 сигмы), то вес коробки из 12 конфет 310±7 в 90% случаев
                                                  • 0
                                                    Итак, конечный (самый конечный) ответ. Если вес отдельно взятой конфеты 25,8±3,66 в 99% случаев (3 сигмы), то вес коробки из 12 конфет 310±7 в 90% случаев
                                                    • 0
                                                      Близко, но все-таки нет)
                                                      • 0
                                                        С какой точностью требуется ответ?
                                                        • 0
                                                          2-3 цифры после запятой будет достаточно. У вас он в первой цифре после запятой уже не тот.
                                                          • 0
                                                            Хорошо, еще одна попытка, считаю с максимальной точностью.
                                                            Вес конфеты должен быть распределен нормально, матожидание 25.833 гр, стандартное отклонение 1.228 гр

                                                            Квантили:
                                                            99% — 2.326. Таким образом, если вес 99 конфет из 100 попадает в диапазон 25.833±2.857, то вес коробки из 12 конфет укладывается в диапазон 310±7 с вероятностью 90%
                                                            99,9% — 3.090 Таким образом, если вес 999 конфет из 1000 попадает в диапазон 25.833±3.796, то вес коробки из 12 конфет укладывается в диапазон 310±7 с вероятностью 90%
                                                            99.99% — 3.715 Таким образом, если вес 9999 конфет из 10000 попадает в диапазон 25.833±4.564, то вес коробки из 12 конфет укладывается в диапазон 310±7 с вероятностью 90%
                                                            • 0
                                                              Наглючил с квантилями, нужно считать не 99%, а 99,5% и т.д. уровни.

                                                              Таким образом:
                                                              Вес конфеты должен быть распределен нормально, матожидание 25.833 гр, стандартное отклонение 1.229 гр

                                                              Квантили:
                                                              95% — 1.645. Таким образом, если вес 9 конфет из 10 попадает в диапазон 25.833±2.021, то вес коробки из 12 конфет укладывается в диапазон 310±7 с вероятностью 90%
                                                              99.5% — 2.576. Таким образом, если вес 99 конфет из 100 попадает в диапазон 25.833±3.164, то вес коробки из 12 конфет укладывается в диапазон 310±7 с вероятностью 90%
                                                              99.95% — 3.291 Таким образом, если вес 999 конфет из 1000 попадает в диапазон 25.833±4.042, то вес коробки из 12 конфет укладывается в диапазон 310±7 с вероятностью 90%
                                                              99.995% — 3.891 Таким образом, если вес 9999 конфет из 10000 попадает в диапазон 25.833±4.78, то вес коробки из 12 конфет укладывается в диапазон 310±7 с вероятностью 90%
                                                              99.9995% — 3.891 Таким образом, если вес 99999 конфет из 100000 попадает в диапазон 25.833±5.427, то вес коробки из 12 конфет укладывается в диапазон 310±7 с вероятностью 90%
                                                              • 0
                                                                вы разберитесь, какой же процент все-таки должен быть)
                                                                • 0
                                                                  Я думаю ответ сформулирован достаточно четко: «Если вес X конфет из Y попадает в диапазон ...».

                                                                  Вообще, задачу стоило сформулировать иначе: в какой диапазон должен укладываться вес 99% (99,9%, 99,99% — точность по желанию) конфет, чтобы вес 90% коробок из 12 конфет укладывался в диапазон 310±7 гр.
                                                                  • 0
                                                                    Ничего формулировать не нужно, этот диапазон содержится в условии задачи)
                                                                    • 0
                                                                      Чтож, видимо буду ждать вашего решения
                                                  • +1
                                                    У меня так получилось.
                                                    Если вес коробки распределен нормально, то вероятность симметричного отклонения (попадания в интервал +-7) равна удвоенному интегралу вероятности (функции Лапласа).
                                                    P(303 < S < 317) = 2 * Ф(7 / sigmaS),
                                                    что равно 0.9 из условия.
                                                    Отсюда 7/sigmaS = обратная Ф от 0.45 ~ 1.65
                                                    и sigmaS = 4.(24) в периоде.
                                                    Дисперсия веса коробки sigmaS равна сумме (одинаковых) дисперсий весов конфет sigmaK.
                                                    То есть sigmaS^2 = 12 * sigmaK^2
                                                    отсюда sigmaK = ((7 / 1.65)^2 / 12)^.5 ~ 1.22468
                                                    Теперь в обратную сторону
                                                    90%-ная вероятность попадания веса конфеты K в интервал (K-x, K+x) равна
                                                    P(|310 / 12 — K| < x) = 2 * Ф(x / sigmaK)
                                                    Вероятность у нас должна быть та же, 0.9, следовательно,
                                                    1.65 = x / sigmaK
                                                    x = 1.65 * 1.22468 ~ 2.0207
                                                    Получается, что отклонение не должно превышать 2.0207 грамма с вероятностью 90%.
                                                    • 0
                                                      Верно все кроме одного. Впрочем то же что и у остальных)
                                                      • 0
                                                        Так намекните что это одно :) может проблема в недопонимании условия?
                                                        • 0
                                                          с чего вы взяли что для конфеты вероятность должна быть такой же как для коробки?
                                                          • 0
                                                            А какой она должна быть? По идее, это данные должны быть в условии задачи
                                                    • 0
                                                      У нас с вами решение для случая 90% полностью сошлось. И, судя по изложенному решению, мы шли к нему одним и тем же путем.
                                                      • 0
                                                        2.02=7/sqrt(12). Все остальные формулы для случая той же вероятности не нужны :)
                                                        • 0
                                                          Да я решил полностью расписать, раз уж такая рубка пошла, чтобы проверить, что нигде не вру :)
                                                      • 0
                                                        Ну можно так.
                                                        Если принять, что вес конфеты распределён по нормальному и может улетать куда угодно, то надо потребовать, чтобы 119 из 120 конфет были в интервале.
                                                        Тогда гарантированно только одна коробка из десяти будет бракованной (в которую попадёт эта безумная конфета).
                                                        Значит вероятность попадания в нужный интервал нужно зафиксировать на 119/120 ~ 0,992
                                                        Отсюда максимальное отклонение 2.64 * 1.22468 ~ 3.2332
                                                        Это вы имели в виду?
                                                        • 0
                                                          Ой как рядом, но ответ выдан на угад. Представьте что в одной коробке 2 улетевших конфеты, но одна в плюс, а другая в минус и коробка удовлетворяет условию)
                                                          • 0
                                                            Мне кажется, что вероятность такого попадания двух улетевших мала, и ей можно пренебречь.
                                                            1/120 * 1/120 / 2 = 0.35e-5
                                                            • 0
                                                              На бесконечной выборке будет бесконечное количество коробок, состоящих только из улетевших конфет. Давайте не будем пренебрегать малыми вероятностями)
                                                              • +1
                                                                Я это говорю к тому, что если вы говорили о конкретной практичной задаче, то и ответ должен быть практичным.
                                                                Получать третий знак после запятой для отклонения веса конфеты в граммах мне кажется несколько чрезмерным.
                                                                Как говорил один мой преподаватель: «Если вы считаете точность попадания боевого блока метрового диаметра в микронах, то надо что-то исправлять в консерватории».
                                                                • 0
                                                                  Мы измеряем с точностью десятков микрон расстояние до трёхмиллиметрового лазерного пятна. Люди довольны, но хотят, чтобы с такой же точностью определялось его поперечное положение. Что они имеют в виду? Пятно совсем не круглое…
                                                                • 0
                                                                  Да, но эти коробки попадут в разрешенные 10% брака. Так что пренебрегать ими разрешено условиями задачи.
                                                                  • 0
                                                                    Нее… Автор имеет в виду, что они наоборот вернутся в группу «хороших» коробок, поэтому требование можно смягчить (увеличить допустимый интервал).
                                                          • 0
                                                            Думаю условие задачи поставлено некорректно, точнее не хватает данных о распределении самих конфет. Нам известно, что распределение нормальное, но не известно ни среднее ни дисперсия. К примеру, в условиях задачи никак не ограничено среднее. Если представить среднее 10 грамм (аппарат не исправен), то задача вообще не имеет решения. Да и само слово отклонение подразумевает симметрию, насколько я понимаю, нужно добавить в условие, что нормальное распределение имеет мат. ожидание = 310/12. Возможно информация о дисперсии не нужна, надо проверить.
                                                            • 0
                                                              то что мат. ожидание 310/12 явно понятно. Дисперсия конфет находится из дисперсии коробок. Диспресия коробок находится из доверительного интервала и известных данных.
                                                              • 0
                                                                Честно говоря, это не очевидно, что мат. ожидание 310/12, оно вполне может быть 305/12 с маленькой дисперсией.
                                                                Я не совсем понимаю слово «отклонение»? Это производственный термин, при котором мы не пропускаем конфету в коробку, то есть если конфета отклонилась на 5 грамм от 310/12, то она не проходит в коробку и нас спрашивается определить максимальное значение этого отклонения?

                                                                Если я правильно понял условие, то как раз знание дисперсии здесь обязательно. Понятно, что сумма НРСВ — это НРСВ, с sigma = sigma_bonbon / sqrt(12), тогда если Ф (7*sqrt(12)/sigma_bonbon) >= 0.45, нам вообще не нужно отсеивать конфеты! То есть при условии (7*sqrt(12)/sigma_bonbon >=1.65), что дисперсия конфет < 14.696, максимальное отклонение = infinity, потому что нам вообще не надо ничего отфильтровывать.
                                                                • 0
                                                                  Вы правы) я ошибался) на самом деле действительно при найденной сигма, достаточно конфеткам возникать в интервале от минус бесконечности до плюс, чтобы удовлетворять условиям задачи.
                                                                  • 0
                                                                    Это стандартная задача статистического контроля.
                                                                    Здесь есть генеральная совокупность с определённым математическим ожиданием и дисперсией.
                                                                    Если распределение генсовокупности нормально (это можно принять в большинстве случаев с достаточно сильными ограничениями), то задача контроля по выборке определить оценки параметров, то есть, оценку МО и дисперсии.
                                                                    Если задано, что коробка должна быть весом 310 с допустимым отклонением 7, то значит 310 — наиболее «правильное» значение и стремиться надо к нему, а ошибку определять полуразмахом допустимого интервала.
                                                                    Тогда вес конфеты должен быть тоже 310/12, а не 305/12. Это оценка с максимальным правдоподобием при заданном нормальном распределении независимых несмещённых величин, и по вероятности сходится к ней.
                                                                    Иначе получаются слишком экзотичные допущения.
                                                                  • 0
                                                                    На самом деле я понял в чём идея задачи, но пока не могу сообразить как решить.
                                                                    Дело в том, что если мы выбираем максимальное значение допустимого отклонения, то тем самым обрубаем хвосты нормального распределения, и сумма переменных с таким обрубленным распределением ограничена сверху и меньше, чем сумма необрубленных.
                                                                    Доверительный интервал отклонения суммы в данном случае будет функцией от значения допустимого отклонения веса конфеты.
                                                                    Надо найти максимальное значение отклонения, которое установит требуемый доверительный интервал (+-7 при 0.9).
                                                                    • 0
                                                                      Обрубаем, но если дисперсия конфет изначальна мала, то ничего обрубать не надо и так получится 90% с допустимой погрешностью. В данном случае допустимое отклонение — бесконечность.
                                                                      • 0
                                                                        Дисперсия конфет задана дисперсией коробки
                                                                        • 0
                                                                          Уже автор согласился) Если дисперсия коробки задана, то где? Функция распределения коробки неизвестна, потому что она как раз зависит от допустимого отклонения.
                                                                          • 0
                                                                            ну из разброса в ±7 и вероятности в 0.9 вы можете найти сигму для коробки. Это же элементарно.
                                                                            • 0
                                                                              А кто сказал, что там нормальное распределение? И как-то вы легко спутали процесс с условием. Представьте производственный процесс, вы хотите сказать, что из условий регулятора (а это выпускать +- 7 в 90%), отбрасывая не нужные конфетки вы можете найти сигму для конфеты (а это аппарат). Понятно, что если вы докажите, что коробка нормальное распределение, вы найдете сигму, но вопрос в другом. Процесс и максимально допустимое отклонение зависит от сигмы одной конфеты, а не коробки.
                                                                              • 0
                                                                                Если конфета производится по нормальному распределению и не отбрасывается, то и вес коробок также будет распределен нормально, но со своим сигма и мю. Наша задача подстроить сигму конфеты так, чтобы площадь под кривой распределения для коробок на интервале M-dM… M+dM была равна 0.9
                                                                                • 0
                                                                                  Если конфеты не отбрасываются, то вес коробки распределен нормально, а если отбрасываются, то распределиние зависит от 3х параметров.
                                                                                  • 0
                                                                                    Вот сейчас пытаюсь решить ту же задачу для случая, когда сигма аппарата изготовителя — константа и больше чем 1.2285. Интересно на сколько нужно ограничить разброс, чтобы удовлетворять условию задачи.
                                                                                    • 0
                                                                                      Наихудший случай — 25.833±1.167. Это когда автомат выпускает конфеты только двух масс — 24.667 и 27.000 гр с равной вероятностью.
                                                                                      • 0
                                                                                        Естественно это параметр, правда, у меня получилось другое число от 1.2285. Надо найти распределение, когда конфеты отсеиваются, то есть F(mean, sigma, threshold) — если оно нормальное, то дальше просто. Можно путем непрерывности функций найти точку, но надо теоретически посчитать это распределение, я пока не нашел.
                                                                  • 0
                                                                    Я, наверное, сдамся, вот что у меня получилось. Вероятность, что погрешность конфеты составляет меньше ε, P( -ε <= x <= ε) = 2 * Ф (ε / σ) — 1. Обозначим порог отсеивания λ, тогда получаем след. функцию распределения
                                                                    F(x | x <= -λ) = 0
                                                                    F(x | x >= λ) = 1
                                                                    F (x | x >= 0) = 1/2 + ( Ф (x / σ)  - 1/2) * ( 1 + 2 * Ф (-λ / σ) + (2 * Ф (-λ / σ)) ^ 2 + ... = 1/2 + ( Ф (x / σ) - 1/2 ) / (1 - 2 * Ф (-λ / σ) ).
                                                                    

                                                                    Отсюда можно найти плотность распределения:
                                                                    f(x | x <= -λ || x >= λ ) = 0
                                                                    f(x | ... ) = e ^ (- x*x / (2 *σ*σ) ) / ( σ * sqrt( 2 * π) *  (1 - 2 * Ф (-λ / σ)) ) 
                                                                    


                                                                    Несмотря на, то что распределение «похоже» на нормальное, оно отнюдь не является нормальным. Говорить о том, что сумма будет нормальной тоже неправильно, несмотря на допущение ЦПТ тут явно влияют параметры λ и σ. К сожалению посчитать сумму этих двух случайных величин не получается. Если получится посчитать численно распределение, то дальнейшее останется делом техники. Найти 90% квантиль = 7, который при заданном σ, максимизирует λ.
                                                                    • 0
                                                                      Да, тут самое сложное найти рещультирующее распределение для коробки, имея обрезанное нормальное для конфеты. Дальше — дело техники.
                                                                      • 0
                                                                        Результирующее распределение для независимых величин в строгой теории делается по формуле свёртки.
                                                                        Но мне вот кажется, что эту задачу можно решить проще.
                                                                        А в конце концов, как в первых постах сразу предложили можно решить семплированием.
                                                                      • 0
                                                                        А почему в формуле вероятности, что погрешность меньше эпсилон, отнимается единица?
                                                                      • +1
                                                                        Итак, вроде бы все обсудили. Хотелось бы увидеть ваше решение

                                                                        Только полноправные пользователи могут оставлять комментарии. Войдите, пожалуйста.