Математика на пальцах: мендосинский двигатель и теорема Ирншоу

    Постановка задачи


    На днях я увидел на просторах интернета крайне любопытную вещь: мендосинский двигатель. Ротор на подшипниках крайне низкого трения: оригинальный имел стеклянный цилиндр, подвешенный на двух иголках, современные имеют магнитный подвес оси. Двигатель бесколлекторный, на роторе подвешены солнечные батареи, которые выдают напряжение на катушки, намотанные на роторе. Ротор проворачивается в фиксированном магнитном поле статора, солнечная батарея уходит от направленного света, на её место приходит другая. Крайне элегантное решение, которое вполне под силу сделать дома каждому.

    Вот на этом видео крайне подробно описан (на русском языке) принцип работы:



    Но ещё больше самого двигателя мне показалась любопытной следующая вещь. В описании этого видео Дмитрий Коржевский написал следующую вещь: «Боковую опору заменить магнитом НЕВОЗМОЖНО!!! Не задавайте больше этот вопрос!»



    Отмазка: я ни разу не физик, могу сильно ошибаться, поправки приветствуются.



    О, это интересно. Давайте ещё раз посмотрим, как работает магнитный подвес ротора. Если мы поставим два магнита, то изолиния потенциала выглядит следующим образом в зависимости от расстояния между двумя магнитами:



    То есть, мы ставим два фиксированных магнита на статоре. Магнит на оси ротора не захочет сдвинуться вбок, т.к. изолиния потенциала имеет некий локальный минимум. Он захочет выскочить вдоль оси ротора. Делаем две таких системы, получаем ось ротора, которая зафиксирована магнитным полем в радиальном направлении, но при этом нестабильна в продольном. Упираем ось в стеклянную стеночку и вуаля, получили подшипник слабого трения.

    Но стеклянная стеночка — это как-то… неэлегантно, что ли? Вполне логично желание получить полностью парящий в воздухе ротор, безо всяких костылей. И явно Дмитрия затюкали этим вопросом, да так, что он был вынужден написать невозможность подобного прямо в описании видео. И ведь Дмитрий Коржевский не один такой.

    Давайте посмотрим сюда, цитирую:

    What would happen if the base magnets were spaced and oriented like in this drawing? Would it give it stability in the axial plane, and do away with the mirror requirement?




    Или сюда, цитирую:

    On a Mendocino Motor why does one side float free while the other has a tip to a wall? I know the question might sound trivial but I have worked up the idea why not use the same magnets used to levitate as a counter force on both sides of the shaft? I attached a very rough jpg of what I mean. the green magnets at the end of the shafts is what im referring to. is there some theory or law preventing this?




    То есть, люди по всему миру хотят избавиться от механической поддержки оси. Я в школе учился плохо и мне невозможность создания полностью магнитного подвеса без костылей тоже ни разу не очевидна. При случае я за чашкой чая задал своему начальнику, учёному с мировым именем (не физику, прикладному математику), этот вопрос: «А почему, собственно невозможно?» И знаете, ему это тоже не было очевидно!

    На вышеозначенных форумах никто толком не объяснил, почему это невозможно. В лучшем случае цитировали какую-то теорему Ирншоу, которая не слишком-то удобоварима. Итак, она гласит следующее: «Всякая равновесная конфигурация точечных зарядов неустойчива, если на них кроме кулоновских сил притяжения и отталкивания ничто не действует.» Вам ясно? Мне нет. Положим, я могу смириться с тем, что мы говорим про заряженные частицы, а не про магниты. Но дальше?

    Первая иллюстрация



    Когда мне что-то неясно, я рисую картинку. Для простоты она будет в двумерном пространстве. Давайте представим четыре закреплённых единичных заряда по углам квадрата и свободный заряд в центре квадрата. Примерно так:



    Неужели свободный заряд не находится в состоянии устойчивого равновесиия? Ведь куда бы он ни двинулся, он приближается к одному из фиксированных зарядов, увеличивая силу отталкивания! Давайте попробуем нарисовать карту потенциальной энергии свободного заряда. Я в школе учился плохо, физику прогуливал, поэтому будем черпать знания из википедии. Итак, если мы имеем в пространстве только один закреплённый заряд, то он создаёт во всём пространстве электростатический потенциал.
    Формула электростатического потенциала (кулоновского потенциала) точечного заряда в вакууме:




    Во всех умозрительных опытах все коэффициенты у меня равны либо нулю, либо единице. Поэтому заряд q единичный, неясный k тоже единица. То есть, один закреплённый заряд создаёт потенциал, измеряемый по формуле 1/r, где r — это расстояние до заряда.

    Потенциальная энергия свободного единичного заряда в поле нашего закреплённого заряда также равна 1/r. (Вообще говоря, энергия равна k*q1*q2/r, но коэффициенты выбираем так, чтобы было удобно считать). Для нескольких зарядов все потенциалы просто складываются.
    Давайте рисовать карту потенциальной энергии нашего свободного заряда, я это делаю при помощи sage:

    var('x,y')
    
    def unit_potential(a,b,x,y): return 1/(sqrt((x-a)^2 + (y-b)^2))
    def system_potential(x,y): return unit_potential(1,1,x,y)+unit_potential(-1,1,x,y)+unit_potential(1,-1,x,y)+unit_potential(-1,-1,x,y)
    
    contour_plot(system_potential(x,y), (x, -2, 2), (y, -2, 2), cmap='hsv', contours=30, region=5-system_potential(x,y), figsize=12, colorbar=True)
    


    Вот карта, я выколол точки, где потенциальная энергия уходит в бесконечность:



    По центру квадрата чётко виден локальный минимум энергии. Куда бы ни двинулась частица из центра, энергия будет увеличиваться, поэтому от небольших возмущений она явно захочет вернуться назад в центр, это точка устойчивого равновесия. Неужели Ирншоу соврал? Нет, он не соврал. Проблема в том, что я плохо нарисовал картинку. И многие ошибаются ровно так же, как и я. Остановитесь сейчас, подумайте, где я ошибся?

    В данном случае ошибка в том, что в двумерном пространстве закреплённый заряд создаёт потенциал, измеряемый по формуле -ln r, где r — это расстояние до заряда, а вовсе не 1/r. Давайте на некоторое время вы мне поверите на слово и разрешите неясным образом изменить кулоновскую формулу, тогда корректный код будет выглядеть вот так:

    var('x,y')
    
    def unit_potential(a,b,x,y): return -ln(sqrt((x-a)^2 + (y-b)^2))
    def system_potential(x,y): return unit_potential(1,1,x,y)+unit_potential(-1,1,x,y)+unit_potential(1,-1,x,y)+unit_potential(-1,-1,x,y)
    
    contour_plot(system_potential(x,y), (x, -2, 2), (y, -2, 2), cmap='hsv', contours=30, region=5-system_potential(x,y), figsize=12, colorbar=True)
    


    Вот картинка с картой потенциальной энергии:


    Обратите внимание, что локальных минимумов на карте нет. Центр квадрата — седловая точка, то есть, точка неустойчивого равновесия. Как только свободный заряд сдвинется хоть на микрон от центра квадрата, он обязательно скатится и вылетит из квадрата, ускоряясь и ускоряясь.

    Секунду, что всё же произошло с формулой потенциала?



    Когда я получил явное противоречие с теоремой Ирншоу, я понял, что где-то прокололся и стал искать ошибку. Ошибку искать лучше всего последовательно с самого начала. Я тяжко вздохнул и пошёл читать, что такое уравнения Максвелла. В школе я учился не то, что бы очень плохо, оценки у меня были отличными. Только знаний вынес явно не по всем предметам. Например, уравнения Максвелла мне разве что в кошмарах снились после школы, а в университете и далее с ними сталкиваться просто не приходилось.

    А оказалось, что там всё крайне просто, особенно если мы интересуемся только электростатикой! Уравнений Максвелла четыре по количеству следующих законов:

    1. Закон Гаусса, он нам пригодится. Пока оставим всякие дивергенции, «на пальцах» это просто закон сохранения: энергия из ниоткуда не берётся и в никуда не уходит.
    2. Закон Гаусса для магнитного поля — те же яйца, вид сбоку. Да и магнитным полем я пока не интересуюсь, т.к. разговор идёт от заряженных частицах, пропускаем.
    3. Закон Фарадея: если мы двигаем магнитами, то они порождают электрическое поле, это интересно, подробнее поглядим потом.
    4. Закон Ампера: если мы двигаем электрическим полем, то порождаем магнитное. На фиг, неинтересно.

    Итак, эти четыре закона связывают между собой два векторных поля E и B, электрическое поле и магнитное. Эти векторные поля — это функции, которые имеют четыре аргумента (x,y,z,t), и каждой четвёрке аргументов сопоставляют один трёхмерный вектор. Магнитное нам не очень интересно в данном случае, рассмотрим поле E(x,y,z,t). Причём не забываем, что мы интересуемся электростатикой, поэтому E постоянно во времени. Очень удобно рассматривать это векторное поле как некоторую реку, где каждой в каждой точке реки мы говорим, куда и с какой скоростью течёт вода.

    Закон Фарадея говорит о том, что в случае постоянное во времени поле E (мы же говорим про электростатику) не имеет вихрей.

    Как связан электростатический потенциал с электрическим полем? Очень просто: если поле E безвихревое (наш случай), то возможно создать такой ландшафт u, что покрыв его метровым слоем воды (на всех высотах!) и «отпустив» эту воду, скорость и направление течения воды породит поле E. Если умными словами, то можно найти такую скалярную функцию u, что её градиент равен полю E.

    Закон Гаусса говорит следующее: возьмём маленькую область пространства. Если мы в неё не поместили заряда специально, то количество
    «воды», которое затекает в эту область, равно количеству, которое вытекает. Если хочется выпендриться, то можно сказать, что дивергенция поля E равна нулю.

    Напоминаю, что поле E — это производная скалярной функции u. Если её дивергенция равна нулю, то это означает, что лапласиан функции u равен нулю. Лапласиан — это умное слово для обозначения «кривизны» функции. В случае функции одной переменной лапласиан — это просто вторая производная. Вторая производная равна нулю только у постоянной или линейной функции (логично, кривизна равна нулю). В случае функции двух переменных лапласиан — это сумма двух частных производных. Если он равен нулю, то кривизна в одном направлении обязана быть аннулирована кривизной в другом направлении. То есть, чипсы разрешены:



    А вот локальных минимумов (максимумов тоже) функция с нулевым лапласианом не имеет. То есть, чипсы разрешены, а холмы нет:



    Представьте, что мы обмакнём проволочное колечко (хорошо изогнутое) в мыльную воду. Тогда мыльная плёнка образует поверхность с нулевым лапласианом:



    Это будет так называемая минимальная поверхность. Мыльная плёнка старается уменьшить свою площадь. Логично, что если бы на ней был некий локальный максимум, то сгладив его, мы получили бы плёнку меньшей площади. Поэтому их и нет. Итак, электростатический потенциал — это своего рода минимальная поверхность, локальных максимумов (в местах, куда мы специально заряд не помещали) не имеет.

    Функция 1/r имеет нулевой лапласиан в трёхмерном пространстве, а вот в двумерном нет! Если мы хотим рисовать двумерные примеры, то нам нужно решить задачу Дирихле, я о ней уже говорил в одной из своих предыдущих статей. Для 2D это будет функция -ln r.

    Update: хороший комментарий chersanya, проясняющий суть магии.

    Теорема Ирншоу и её следствия



    Итак, возвращаясь к нашему примеру с одной свободной заряженной частицей. Потенциал электростатического поля не имеет локальных минимумов, и, как следствие, потенциальная энергия одной частицы локальных минимумов не имеет. Поэтому одна частица не может находиться в состоянии устойчивого равновесия в постоянном поле. Поздравляю вас, мы только что доказали теорему Ирншоу. Но вот как быть с более сложными системами? Как применить эту теорему к ним?

    Вот очередной пример, предложенный моим начальником, который должен был опровергнуть теорему Ирншоу. Давайте зафиксируем два заряда и создадим подвижное тело, состоящее из невесомой нерастяжимой палки с зарядами на обоих концах:



    Интуитивно, если мы слегка сдвинем палку влево (вправо), то один из концов приблизится к фиксированным зарядам, и они его оттолкнут, вернув палку в изначальное положение. Где же подвох? Давайте нарисуем электрстатический потенциал двух фиксированных зарядов:

    var('x,y')
    
    def unit_potential(a,b,x,y): return -ln(sqrt((x-a)^2 + (y-b)^2))
    def system_potential(x,y): return unit_potential(0,1,x,y)+unit_potential(0,-1,x,y)
    
    contour_plot(system_potential(x,y), (x, -2, 2), (y, -2, 2), cmap='hsv', contours=30, figsize=12, colorbar=True)
    




    Как нарисовать потенциальную энергию нашей заряженной по концам палки? Палка имеет три степени свободы (две на перемещение и одна на вращение), поэтому график будет четырёхмерным. Давайте попробуем проигнорировать вращение и разрешим палке только параллельно перемещаться. Зафиксируем точку на палке, например, её центр, будем рисовать карту потенциальной энергии палки для положения её центра. Тогда общая потенциальная энергия палки — это сумма потенциальных энергий зарядов на конце:

    var('x,y')
    
    def unit_potential(a,b,x,y): return -ln(sqrt((x-a)^2 + (y-b)^2))
    def system_potential(x,y): return unit_potential(0,1,x,y)+unit_potential(0,-1,x,y)
    def energy(x,y): return system_potential(x+2,y)+system_potential(x-2,y)
    
    contour_plot(energy(x,y), (x, -3, 3), (y, -2, 2), cmap='hsv', contours=30, figsize=12, colorbar=True)
    




    Итак, энергия палки имеет четыре пика (каждый из двух концов палки попадает на каждый из двух зарядов). Как и предполагалось, палка не захочет двигаться по горизонтали. Она убежит по вертикали!

    Это логично, ведь из чего мы получили энергию? Мы сложили потенциальные энергии каждого заряда. Мы знаем, что потенциальная энергия каждого заряда — это функция с нулевым лапласианом. Их сумма тоже будет иметь нулевой лапласиан. То есть, потенциальная энергия любого (не только нашей палки!) заряженного тела не может иметь минимумов в постоянном электрическом поле!

    Выводы



    Ментальное изображение магнитных и электрических полей у людей, плотно не работавших с физикой, обманчиво. Мозг нас обманывает, рисуя картины минимумов энергии. К сожалению, это не так, и действительно создать мендосинский двигатель без опоры представляется затруднительным.

    Какие могут быть лазейки? Теорема Ирншоу (если мы сделаем усилие и вообще применим её к магнитам) применима только системам неподвижных постоянных магнитов.

    1. Мы можем попытаться создать динамическое магнитное поле
    2. Диамагнетизм и всякие сверхпроводники также не входят в рамки теоремы Ирншоу
    3. Подвижные вообще и вращающиеся в частности тела также не рассмотрены, наиболее известный пример левитрон

    Так что, не всё ещё потеряно. Да, использование любой из этих вещей убьёт начисто лаконичность мендосинского двигателя, но магия свободно парящих в воздухе вещей перекроет всё!

    Update:



    Именно теорема Ирншоу показала невозможность существования твёрдой материи, таким образом отвергнув существовавшую модель строения атома. В итоге была построена планетарная модель атома.
    Метки:
    Поделиться публикацией
    Комментарии 220
    • +2
      Насчёт века это трудно сразу сказать, фотоэлементы могут раньше деградировать. :) Магниты постоянные могут потерять свойства.
      • +4
        Вообще в статье речь шла не совсем о том.
      • –3
        А если добавид по магниту чуть в перед и назад. Таки образом чтобы сила 'пререднего' и 'заднего' магнита действовали на магинты оси, отталкивая их на встречу друг друга. Надеюсь вы меня поняли.
        • +3
          всё равно висеть не будет :)
          • 0
            я так понимаю мы забываем о гравитации действующей на коллектор :)
      • +11
        Очень хорошее изложение! Как человек с математическим образованием, не нашедший достаточно времени в школе на физику, я получил искреннее удовольствие от прочтения.
        • +2
          У меня только один вопрос, возникающий собственно из утверждения, что локального минимума у поля с несколькими постоянными магнитами нет и причина в том что магнитные поля складываются, взаимодействуя друг с другом (я надеюсь точно понял текст в статье?).

          А если его создать 'правильное сложение' искусственно, сделать так чтобы магниты не воздействовали друг с другом, т.е. разместить их подальше, а воздействие передавать креплением из диамагнетика.

          Наидубовейший пример:
          1. два магнита повернутые одним полюсом друг к другу, будучи не закрепленными будут стремиться:
            a) оттолкнуться
            b) развернуться, причем у нас две степени свободы
            c) сдвинуться (так же две степени свободы)
          2. чтобы уравновесить a) мы закрепляем два магнита на концах стержня (достаточно длинном, чтобы нивелировать воздействие магнитов на его концах, плюс еще столько же), полюсами вдоль, и закрепляем вторую пару магнитов напротив них,
            • таким образом любое движение вдоль стержня будет остановлено
          3. чтобы уравновесить сдвиг в сторону, мы создаем еще два точно таких же стержня, размещая их под углом 90 градусов к первому и друг другу, жестко соединив их за центры.
            • таким образом мы ограничиваем сдвиг, так как любое движение будет уменьшать расстояние между какой-либо парой магнитов
          4. чтобы уравновесить поворот, мы размещаем на каждом стержне по два магнита, полюсами перпендикулярно стержню но на расстоянии 1/4 от концов, и фиксируем для каждого парный магнит, повернутый к нему тем же полюсом. Магниты на каждом стержне размещаем в одной плоскости, но направленные в противоположные стороны,
            • таким образом поворот вокруг каждой оси (стержня) будет блокироваться магнитами на соседних стержнях.


          Я ничего не упустил?
          Заголовок спойлера
          в интернете кто то не прав

          p.s. никогда не интересовался этим вопросом, и не имел достаточно магнитов чтобы самому себе доказать свою неправоту, заказал кучу магнитиков, жду, хочется наконец поставить точку в этой глупости.
          • –1
            Подписался
            • 0
              Ничего не понял.
              Да, запрет Ирншоу в магнитостатике обходится введением диамагнетиков, но вы тут используете их просто как жёсткие связи. Если отвлечься от диамагнетизма, на картинке я вижу возможный поворот вокруг оси x от z к y (принимая классическую раскраску осей). Две пары перпендикулярных магнитов на z ничем не скомпенсированы. Аналогично обстоит дело и с другими осями.
              Или вы хотите уравновесить систему за счёт участков стержней вблизи перпендикулярных магнитов? Тогда полюса надо было направить в противоположную сторону, диамагнетики из поля выталкиваются.
              • +1
                А если его создать 'правильное сложение' искусственно, сделать так чтобы магниты не воздействовали друг с другом, т.е. разместить их подальше, а воздействие передавать креплением из диамагнетика.

                Не получится. Во-первых, я сильно подозреваю, что вы использовали слово диамагнетик как "немагнитный материал", по крайней мере, ваша картинка на это намекает. Если нет, то я не понял. К тому же, Ирншоу ничего не говорил о диамагнетиках, левитация лягушки:
                Of flying frogs and levitrons

                Во-вторых, просто размещать магниты подальше, чтобы они не взаимодействовали не получится. Именно об этом статья, о том, что наш мозг нас обманывает и они взаимодействуют. А создать не непрерывное поле не получится.
                • 0
                  Да, я про немагнитный материал.

                  Не понял про 'мозг нас обманывает' и 'взаимодействие' — какое именно взаимодействие тут добавляется, ведь я использую только одно единственное свойство магнитов — отталкиваться
                  все остальные свойства в моей схема — паразитные (каждому я противопоставляю отдельную пару магнитов, работающих на отталкивание), вся идея состоит в том что ошибка слабее чем основное взаимодействие.
              • +1
                Да, к слову, напишите себе маленький симулятор систем магнитов, будет проще, чем магниты клеить и тратить время на подозрения того, что у вас что-то несоосно. Там кода-то на пару сотен строчек максимум.
              • +2
                Большое спасибо за статью! Интересно и захватывающе написано.
                Что до стеклянного упора — мне в первую очередь пришла мысль о том, что ротор, создающий переменное поле, мог бы создавать лишние вибрации, которые могли бы как-то повлиять на магнитные подшипники. И чтобы эти вибрации погасить, применяют жестко закрепленную опору.
                А оказалось, что всё куда сложнее...
                • +2
                  в двумерном пространстве закреплённый заряд создаёт потенциал, измеряемый по формуле -ln r, где r — это расстояние до заряда, а вовсе не 1/r

                  Досадно. Всегда нравился алгоритм поиска пути, основанный на электростатике: у препятствий и NPC отрицательный заряд, у цели — большой положительный. Восхищало, как красиво применили физику для целей игрового ИИ. А выходит, что физика тут по сути не при чём.

                  А за статью спасибо. Часто слышал, что магнитную левитацию нельзя создать на статических магнитах, и именно поэтому во всех левитирующих глобусах имеется электрическая схема на батарейках. Тоже воображение рисовало всякие группы из 4 магнитов в основании. Теперь понятно, почему это невозможно.
                  • 0
                    Так а что мешает использовать логарифм и считать, что мы применяем физику? :)
                    • +1
                      Мне кажется, с логарифмом будет совсем другое поведение. Собственно, вы описали это в статье — отсутствуют локальные минимумы.

                      С формулой q/r можно расставить отрицательные заряды вдоль границ улицы, поместить в конце положительный заряд и NPC побегут к нему (причём придерживаясь центра дороги, чего не будет, например, при использовании более популярного A*).

                      С логарифмом же, как я понял, тропинки из локального минимума вдоль улицы не получится, NPC просто вытолкнет за её пределы (то есть внутрь препятствий).
                      • 0
                        Ненене, минимум будет у цели. Тропинка получится отлично, это будет просто долина в горах.

                        Минимума не может быть в свободной от заряда зоне. У вас же цель получить минимум именно в месте заряда другой полярности, так что, всё ок.
                    • +3
                      Ну почему же? На самом деле и то и то правильно, просто -ln r — для двухмерных пространств(миров), а 1/r — для трёхмерных.
                      Очень интересная штука получается: двумерный случай позволяет тебе искать наилучшие пути вокруг предметов (в одной плоскости), а трёхмерный — может застрять, если ты будешь искать обход в плоскости (можешь попасть в локальный минимум, как на рис. 6), но в трёхмерном пространстве он будет ещё предлагать обходить сверху/снизу.
                    • 0
                      Функция с нулевым лапласианом может иметь локальный минимум, например, x^4 в нуле. (Или сумма четвёртых степеней координат для большей размерности.) Но, по-видимому, минимумы порядка больше 2 нельзя получить по каким-то другим соображениям (например, нельзя настолько точно установить магниты).
                      • +1
                        Простите, но нет. x^4 — это не гармоническая функция. Обращение второй производной в ноль в одной точке, это, конечно, хорошо, но надо бы на всей области определения.
                        • 0
                          Ноль это вроде как местоположение гипотетических зарядов, собственно это и есть исключение.
                        • 0
                          .Надо изменить направление силы гравитации. Т.е. расположить ротор вертикально. И подвесить его на вертикальных магнитных подшипниках. Тогда он будет свободно висеть в воздухе.
                          • +1
                            Неа, не получится и с вертикальным ротором! Ну вот не верите вы математике :)
                            • 0
                              Я думаю, имелось ввиду объединить левитрон и этот двигатель. Хотя, не исключено, что магнит для вращения будет выталкивать.
                          • 0
                            А полимагниты для этого двигателя не подойдут? (https://geektimes.ru/post/273106/).
                            • 0
                              Нет, (насколько я понимаю) это обычные магниты, просто намагниченные не просто север-юг. Левитацию только на этом не построить.
                            • 0
                              Разве форма мыльной пленки удовлетворяет уравнению Лапласа? Она должна просто минимизировать свою площадь, что соответствует минимизации функционала image.
                              Уравнение поверхности получается таким: image
                              • +3
                                Не согласен. Минимальная поверхность минимизирует энергию Дирихле, что соответствует решению уравнения Лапаласа.
                                • +1
                                  А в каких координатах уравнение поверхности?
                                  • +1
                                    Ээ… Не понимаю вопроса, в каких хотите, в тех и задавайте?
                                    • +1
                                      Если задавать уравнение поверхности в виде z = u(x, y), то я не вижу ошибки в своих рассуждениях. Может вы поверхность параметризуете иначе, что у вас уравнение Лапласа получается. А еще бы хотелось увидеть обоснование
                                      Минимальная поверхность минимизирует энергию Дирихле

                                      Опять-таки, оператор набла там двумерный или трехмерный?
                                      • +1
                                        Вот тут достаточно подробно расписано. Лично я здесь пользовался только картезианскими координатами. Размерность наблы зависит от размерности пространства...
                                        • +1
                                          За ссылку спасибо, но там приведено ровно то уравнение, которое я написал вначале
                                          • +1
                                            А, ну тогда я проворонил. Тогда минимизация вашей функции равнозначна минимизации энергии Дирихле.
                                            • +1
                                              Простите за занудство, но все же нет. Функционал Дирихле — квадратичная форма, его минимизация приводит к линейному уравнению поверхности. Уравнение минимальной поверхности нелинейно. Иными словами, растяжение проволочного кольца по оси z не приводит к простому растяжению поверхности пленки. Но решения обоих уравнений, безусловно, удовлетворяют принципу максимума, и более того, при малых изгибах пленки она вполне неплохо описывается уравнением Лапласа.
                                              • +2
                                                Ооо нет! Энергия Дирихле очень даже нелинейна.
                              • +4
                                Мне все-таки кажется, что Вы не вполне правы с системой из4 по краям и 1 в середине, и в середине будет точка устойчивого равновесия.
                                Центральный заряд никуда не выскочит, дело в другом — он расталкивает все остальные, поэтому система зарядов в равновесии быть не может, что и утверждается теоремой.
                                • +2
                                  Нет, извините, вы не поняли текст. Вы ошибаетесь так же, как ошибался я в самом начале.
                                  Я зафиксировал четыре заряда по углам. И свободный заряд в центре квадрата находится в неустойчивом равновесии.
                                  • +4
                                    По теореме Вы не можете зафиксировать четыре заряда по углам, поскольку для этого нужна внешняя сила.
                                    • 0
                                      Если вам так проще, то уберите имя Ирншоу из статьи и считайте, что я доказал свою теорему, где я могу фиксировать заряды. Хотя это и нечестно, поэтому я всё же цитирую первоисточники.
                                      • 0
                                        Так вот, к сожалению, Ваше доказательство неверно.
                                        Проведем простейший вычислительный эксперимент.
                                        Разместим по углам 4 одинаковых заряда и рассмотрим силы, действующие на пятый заряд на некотором отклонении от центра.
                                        Для простоты картины отклоним пятый заряд вдоль одной из осей симметрии системы.
                                        При этом на заряд в центре действуют Кулоновы силы, которые обратно пропорциональны квадрату расстояния между зарядами.
                                        Возьмем сумму проекций этих сил на ось симметрии системы, причем все члены, не зависящие от отклонения, вынесем за скобку.
                                        Данный расчет легко сделать в виде таблицы в Excel, получаем следующие результаты
                                        для отклонения 0 сумма сил равна 0,
                                        для отклонения 10% сумма сил равна -0.7 * К, где К — обобщенный коэффициент
                                        20% -> -1,3; 30% -> -1,8; 40% -> -2; 50% -> -2; 60% -> -1,6; 70% -> -0.8; 80% -> 0,3; 90% -> 1,8; 100% -> 3,5.
                                        Отсюда четко видно, что пока отклонение не составит 80% длины плеча системы или более, результирующая сила будет направлена в направлении, обратном смещению и система будет возвращаться в устойчивое состояние, если угловые заряды зафиксированы.
                                        Вот если бы сила взаимодействия была обратно пропорциональна расстоянию, а не квадрату расстояния, устойчивого состояния не было бы.
                                        Может, Вам следовало строить напряженность поля, а не потенциал?
                                        • 0
                                          Вы ошиблись, использовав формулу 1/r в вычислении потенциала. Она не работает в 2d. См. самый первый пример из статьи.
                                          • 0
                                            Да, если мы рассматриваем куб из зарядов (наверное, все-таки, 3d), то получающаяся сила стремится увеличить смещение, просто Ваш начальный пример как бы неявно подразумевал, что мы в плоскости зафиксированны.
                                            • 0
                                              Ничего себе неявно подразумевал:
                                              Для простоты она будет в двумерном пространстве.

                                              Если вы сделаете те же выкладки в 3д с настоящим кулоновским потенциалом 1/r, то ваш заряд в центре куба держаться не будет.
                                              • 0
                                                На секундочку, как раз в двумерном пространстве, которые Вы приняли для простоты, он и держится, и я именно об этом и написал.
                                                • 0
                                                  Тогда ещё раз, вы ошибаетесь, используя формулу 1/r в 2d, она не работает (не является решением уравнений Максвелла).
                                                  • –1
                                                    В любом (одномерном, двумерном, трехмерном) пространстве формула Кулоновских сил (в данном случае отталкивания) одна и обратно пропорциональна квадрату расстояния, взятого по данному пространству. Так вот, в случе одномерного пространства заряд устойчив во всех внутренних точках интервала, в случае двумерного — в некоторых из внутренних точек квадрата, в случае трехмерного — ни в одной точке куба.
                                                    Я не знаю насчет решения уравнений Максвела, но простая физика дает именно такой результат, по-моему, у вас все таки неверная терминология относительно 2d, Вы явно имеет в виду плоский срез пространства.
                                                    • +4
                                                      Если использовать формулу обратных квадратов в 1- или 2- мерном пространстве, то это соответствует ограничению передвижения зарядов по оставшимся осям каким-то другим способом. В таком случае очевидно, что можно сделать устойчивую конфигурацию — просто возьмите картонную трубку, поставьте вертикально и положите вниз её магнит. Тогда можно поместить туда ещё один магнит, который будет в равновесии — по горизонтали ему не даёт двигаться трубка (т.е. зафиксировали в одномерном пространстве), а по вертикали сила тяжести и отталкивания магнита уравновешены.
                                                      Теорему Ирншоу либо нужно применять с законом обратных квадратов — но в 3д, либо в пространстве любой размерности, но с соответствующим потенциалом. "Соответствующим" — т.е. таким, который получается из уравнений Максвелла.
                                                      • 0
                                                        Если использовать формулу обратных квадратов в 1- или 2- мерном пространстве, то это соответствует ограничению передвижения зарядов по оставшимся осям каким-то другим способом.

                                                        Спасибо, вы хорошо сформулировали, у меня не получалось никак. Именно поэтому нужно менять формулу потенциала для двумерных примеров.
                                                        • +1
                                                          Поправьте, я правильно Вас понял, что если я возьму пример с четырьмя зарядами по углам квадратов в трехмерном пространстве, и зажму эти заряды между двумя листами стекла, ограничив их перемещение по оси z, то положение в центре квадрата будет аттрактивно?
                                      • 0
                                        Жёсткие связи — это одно из обобщений теоремы Ирншоу.
                                      • –4
                                        Какие ещё заряды? Вам удалось получить магнитный монополь? Зачем тогда писать статьи на Хабре, бегом за Нобелевской премией! :))
                                        • +5
                                          Если вы внимательно читали статью, то она вся целиком говорит об электростатике. И да, у меня монополи. Рассмотрение магнитного поля, а не электрического лишь загромождает выкладки, не внося ничего нового.
                                          Ваш сарказм неуместен.
                                          • +1
                                            ОК, прочитал про приближение магнитостатики и про магнитный заряд. Беру свой сарказм обратно :))
                                            • +2
                                              Про сарказм: в этой статье пара дней моей работы. Меня удивляют комментаторы, с места в карьер выливающие едкие комментарии на мою работу, выказывая неуважение к ней. Если я написал глупость, потрудитесь просто объяснить, где я ошибся. Польза будет и мне, и тем кто потом прочитает. Просто поток ругани только озлобит всех вокруг.
                                              • 0
                                                ОК, я отвечу как человек, потративший на изучение темы не пару дней, а несколько семестров в различных курсах не самого слабого физического вуза (МФТИ). На мой взгляд, Вы решаете одну задачу, а ответ пытаетесь выдать за решение другой. Электростатика в общем случае не аналогична магнитостатике. В реальности у нас нет магнитных зарядов, а есть только магнитные диполи. Соответственно, кулоновский закон (где 1/r) для них не выполняется, там следующий порядок малости. Вам следует решать электростатическую задачу для диполей.
                                                • +1
                                                  Правильно, и получим тот же самый итог, только с длинными выкладками. О чём я и написал.
                                    • 0
                                      Боковая опора — это просто опора, или там все-же есть какая-то фиксация для оси вращения?
                                      Я бы провел эксперимент следующего рода — ось, упирающуюся в опору, удлинил бы длинным пластиковым стержнем, и на конце прикрепил бы магнит, опору отнес бы дальше и к ней прикрепил бы другой магнит, отталкивающий магнит на стержне. Теория теорией, а интересно было бы посмотреть на видео, как система себя поведет на практике...
                                      • +1
                                        Просто опора. Да напишите же симулятор, это просто. Я не стал, т.к. фейл уже заранее гарантирован.
                                      • 0
                                        Возможно глупость скажу… но- а если представить что ось ротора может чуть изгибаться? А магниты по краям наклонены внутрь. Т.е. можно представить вместо оси гибкую стальную проволоку.
                                        Правильно ли я понимаю что в этом случае боковые опоры не нужны?
                                        • 0
                                          Нет, неправильно. Фиксированные связи можно заменять упругими, от этого мало что изменится.
                                          А вообще вы пытаетесь сделать динамическое поле без использования батарейки, только механически. В принципе, можно попробовать, только из рамок теоремы Ирншоу вы выходите.
                                      • 0
                                        понял что автор хочет избавиться от «костылей». есть такое на кольцевых магнитах. когда-то смотрел эту магию, но ссылку потерял :(
                                        есть только краткий обзор energodar.net/ha-tha.php?str=energy/magnets/podshipnik или еще можно ролики посмотреть на ютубе
                                        • 0
                                          Так по вашей же ссылке в видео видна боковая поддержка. В целом я верю, что можно создать что-то парящее, но только покуда вращается (см. левитрон). В покое ничего парить в статике не может.
                                          • 0
                                            Может, просто неустойчиво. Гипотетически если заряд не начент двигаться по каким-либо причинам, он останется на месте.
                                            • 0
                                              Спасибо, конечно, но неустойчивые положения интересны только в математике. Ну или с активным контролем происходящего.
                                            • 0
                                              не могу картинки вставлять. смотрите последнюю в статье: нужно создать потенциальную яму где все будет парить. в общем случае надо рассматривать систему не одномерно, а двумерно, в 2-х плоскостях.
                                              а видео там немного не то, вот нашел https://www.youtube.com/watch?v=81qZlTLxpxk (хотя качество ужасное, но других источников нет). Николаев сделал много магнитных подшипников разных типов. его полное видео вообще чистая магия)))
                                                • 0
                                                  если в курсе, то проведите пожалуйста расчет для подобного случая. просто интересно сравнить результаты.
                                                • +3
                                                  В учёной среде принято публиковать свои работы в научных журналах. Если единственный источник какого-либо опыта или открытия — сомнительное видео — 99% что это лженаучная хрень.
                                                  • –1
                                                    т.е. пока умный дядя с кучей дипломов, желательно зарубежом, не скажет вам что можно, вы не поверите?
                                                    в ученой среде (по крайней мере раньше было так) принято проверять все опытным путем. я собрал все модели что на видео и все работало. Николаев говорит в своем видео, кто он и где работал. думаю дураков туда не брали.
                                                    бросил я это дело только когда увидел японские турбины со скоростями 20-30 тыс оборотов на магнитных подвесах. вот тогда и пришло понимание, что мы уже безнадежно отстали в науке. и с подобным отношением, вряд ли уже когда нибудь догоним.
                                                    • +2
                                                      т.е. пока умный дядя с кучей дипломов, желательно зарубежом, не скажет вам что можно, вы не поверите?

                                                      Именно так, с двумя поправками: а) зарубежные дипломы не обязательны и б) умный дядя должен быть очень не один
                                                      Николаев говорит в своем видео, кто он и где работал. думаю дураков туда не брали.

                                                      Он вполне мог до того трудиться на нормальном научном поприще, это совершенно не запрещает впоследствии стать научным жуликом. Публикуешься в рецензируемых научных журналах, имеешь цитаты и воспроизведения твоих результатов другими людьми — молодец. Присваиваешь себе громкие (для обывателя) титулы и пытаешься продавать нанофильтры (или что там Петрик делал) через госаппарат — жулик.
                                                      • 0
                                                        Просто факт наличия эксперимента/открытия в рецензируемых научных изданиях обычно означает, что компетентные люди смогли воссоздать опыт и проверили на правильность теоретические выкладки за меня. Конечно, можно включить параноика, не верить никому, кроме себя и считать все эксперименты/теории по-умолчанию неверными до тех пор, пока лично не воссоздашь эксперимент или не проверишь теорию. Все эксперименты по квантмеху или ТО, которые проводятся на уникальном или очень сложном оборудовании тоже считать враньём, пока лично не запустишь какой-нибудь коллайдер и не обсчитаешь результаты?
                                                        А вот отсутствие работы в научных изданиях вызывает вопросы, почему же их там нет? Может сам опыт особой ценности не представляет? Или он не несёт в себе ничего нового? Если опыт уникальный, но за ним нет теории, то его обязательно примут во внимание. Сонолюминесценцию, например, пока не могут объяснить теоретически, но он на слуху. Если в теории есть пробелы, то возможно научное сообщество поможет их решить, Эндрю Уайлс тоже не с первого раза достиг цели.
                                                        • 0
                                                          Хочу заметить про сонолюминесценцию. Вроде уже установили причину — свечение происходит из-за нагрева газов внутри схлопывающегося кавитационного пузырька (а они туда попадают из воды вокруг, т. к. были растворены в ней; в частности растворение в воде некоторого количества инертных газов усиливает свечение), а нагрев газов происходит из-за крайне быстрого сжатия (схлопывания) кавитационного пузырька.

                                                          Да, чтобы газы светились, нужна температура в тысячи кельвинов и именно такая температура достигается при схлопывании кавитационного пузырька. Тысячи при многопузырьковой сонолюминесценции и сотни тысяч (sic!) при однопузырьковой.

                                                          В случае однопузырьковой сонолюминесценции на последней стадии коллапса кавитационного пузырька стенки пузырька развивают скорость до 1-1,5 км/с, что в 3-4 раза превышает скорость звука в газовой смеси внутри пузырька.

                                                          Источник — Википедия. Да, там ещё указывается модель Швингера (основанная на изменении вакуумного состояния электромагнитного поля в кавитационном пузырьке), как возможное объяснение. Но вроде как теория с нагревом признана основной в настоящее время.

                                                          P. S.: Очень интересуюсь данным явлением. Поражает, как столь маленькие пузырьки могут развивать такие скорости сжатия и создавать такие температуры.

                                                          Особенно это восхищает в свете существования рака-щелкуна (synalpheus regalis), который охотится, щёлкая клещнёй и создавая этим струю кавитационных пузырьков, которые, схлопываясь, нагревают воду до 4500 C (https://www.youtube.com/watch?v=W9xK1AmCHIM). Температура поверхности Солнца, напомню, около 5000 C.

                                                          Температура Солнца по щелчку пальцев клещни… Красиво же!
                                                          • 0
                                                            Ну википедия (особенно русская её часть) — довольно сомнительный источник информации. Банально: в русской пишут
                                                            Итак, если природа света тепловая, то необходимо объяснить, за счёт чего достигаются столь высокие температуры.
                                                            В настоящее время считается, что нагрев воды происходит следующим образом.

                                                            В английской же версии сразу стоит предупреждение:
                                                            The mechanism of the phenomenon of sonoluminescence is unknown. Hypotheses include: ...

                                                            Т.е. читателя сразу предупреждают: механизм неизвестен, есть только гипотезы. Зачем писать на русской так, как написано, я не понимаю...
                                                        • +1
                                                          Вот тогда и пришло понимание, что мы уже безнадежно отстали в науке. и с подобным отношением, вряд ли уже когда нибудь догоним.

                                                          Не хороните российскую науку раньше времени. И уж тем более не из-за её отношения к шарлатанам.
                                                          • +2
                                                            Наши центрифуги для разделения изотопов урана (2000 оборотов в секунду, 30 лет непрерывной работы) — ни фига мы не отстали
                                                  • 0
                                                    Для простоты она будет в двумерном пространстве.

                                                    А такой переход из трехмерного пространства в двухмерное в этой задаче вообще корректен?
                                                    • +1
                                                      Прочтите, пожалуйста, статью, она и об этом в частности. Да, корректен.
                                                      • 0
                                                        А можно, пожалуйста, чуть более конкретно? я прочитал статью, но понять правильно что-либо достаточно сложно, особенно после перехода "а давайте перейдем от задачи удержания точки в точки в трехмерном пространстве к задаче удержания точки в двухмерном, ой, а она там не удерживается из за того, что это двухмерное а не трехмерное пространство". прочитав несколько раз текст выше и вокруг данного перехода его обоснование я не нашел или, к сожалению, не понял
                                                        • +6
                                                          Да, вы действительно не поняли и исказили логику того, что я говорил. Попробуем ещё раз.
                                                          1) Рисовать примеры в 2д привлекательнее, нежели в 3д. При этом велик соблазн напрямую взять формулу из 3д и её использовать (см. кулоновский потенциал 1/r). Наверху в комментариях приведён пример с AI в играх, где так и сделано, таким образом, я не один такой.
                                                          2) К сожалению, такой прямой переход ошибочен: eсли принять за отправную точку, что электромагнитные поля являются решением системы уравнений Максвелла, то легко увидеть, что 1/r удовлетворяет уравнениям Максвелла в 3д, но не в 2д.
                                                          3) Решаем уравнения в 2д, получаем функцию потенциала вида -ln r.
                                                          4) Минимальные картинки можно рисовать в 2д, а не в 1д, т.к. функции нулевого лапласиана в 1д несколько вырождены для нашей физики.
                                                          5) Заряд не удерживается в 2д не потому, что это 2д, а не 3д, а потому, что потенциальная энергия не имеет локальных минимумов (нулевой лапласиан), это следствие уравнений максвелла, а не размерности пространства.
                                                          6) Таким образом, что в 2д, что в 3д статическая левитация невозможна.
                                                          • +1
                                                            6) Таким образом, что в 2д, что в 3д статическая левитация невозможна.

                                                            тут возникает вопрос, является ли кристаллическая решетка примером искомой левитации (просто при очень малых расстояниях), а если нет — то почему механизмы, обуславливающие существование кристаллических решеток, не применимы в данной задаче?
                                                            • +1
                                                              Потому что с кристаллическими решётками мы уже уходим в квантовую физику.
                                                              • 0
                                                                Звучит неубедительно. Принимая расстояние между атомами в кристаллической решетке 1 нм, до квантовых эффектов еще далеко.
                                                                • 0
                                                                  Я не физик, могу ошибаться. Читал тут.
                                                                  • 0
                                                                    В кристаллической решётке атомы соединены химическими связями. Химическая связь сама по себе имеет минимум потенциальной энергии при некотором расстоянии между атомами.
                                                                • 0
                                                                  Кристаллическая решетка это динамическая система
                                                        • 0
                                                          Если мы поставим два магнита, то изолиния потенциала выглядит следующим образом в зависимости от расстояния между двумя магнитами

                                                          Извините, не понял, о каком потенциале идёт речь? Насколько я помню из курса общей физики, магнитное поле непотенциально.
                                                          • 0
                                                            О потенциальной энергии идёт речь.
                                                            • 0
                                                              Вы можете показать, что эта энергия потенциальна, т.е. при движении по любой замкнутой траектории сохраняется при возвращении в исходную точку?
                                                              • 0
                                                                В реальности магнитных зарядов не существует и линии напряженности замкнуты. Данная статья разбирает случай с электрическими зарядами, в статике уравнения магнитного и электрических полей похожи.
                                                                • 0
                                                                  Потенциальность энергии магнитного поля доказывается в стандартном школьном курсе физики, и да, ее можно вывести из уравнений Максвела.
                                                              • +2
                                                                Насколько я помню из курса общей физики, магнитное поле непотенциально.

                                                                В областях пространства, где отсутствуют электрические токи и переменное электрическое поле, ротор векторов H и B равен нулю, а такое поле является потенциальным (т.е. его можно представить в виде градиента некоторой скалярной функции — потенциала). См. также вики.
                                                                Магнитное поле, создаваемое постоянными магнитами, аналогично электрическому полю, создаваемому диполями. Единственная разница — это поле внутри магнитов. Оно формулами электростатики не описывается. Однако в задачах на взаимодействие постоянных твердых магнитов эта разница несущественна — нас в общем-то и не интересует поле внутри магнитов, а только снаружи их.
                                                              • 0
                                                                «Всякая равновесная конфигурация точечных зарядов неустойчива, если на них кроме кулоновских сил притяжения и отталкивания ничто не действует.»
                                                                Я на Вашем месте не оставлял бы поиск удачной конфигурации. Ведь на систему действует еще и гравитация.
                                                                • +2
                                                                  Нет, спасибо, вечного двигателя я искать не буду. Гравитация ничему не поможет, всё остаётся точно тем же.
                                                                  • 0
                                                                    Я имею ввиду не вечный двигатель, а конфигурацию без механических опор.
                                                                    • +1
                                                                      В моей фразе «вечный двигатель» был использован в переносном смысле, в смысле поисков философского камня. Любая система, сотоящая только из неподвижных постоянных магнитов, нестабильна. Доказано в девятнадцатом веке. Искать надо в другом месте.
                                                                      • 0
                                                                        Существует конфигурация без механических опор для вращающегося вала(используется в магнитных подшипниках кулеров). К сожалению, с невращающимся(статическим) предметом — невозможно. Тоесть можно сделать такой же двигатель, который будет "парковаться" на ночь, а днем висеть.
                                                                        • 0
                                                                          Ага, я о такой возможности и говорил. Поделитесь, пожалуйста, ссылкой подобный подвес? В принципе, старт "с толкача" для такого красивого двигателя — приемлемый компромисс.
                                                                          • +1
                                                                            Самый простой вариант — наклоняете ось(тут она тоже наклонена), ставите на стекло. На том конце, который на стекле вешаете маленький пропеллер с малым углом атаки. За счет экранного эффекта при правильном подборе ось будет висеть в несольких миллиметрах от опоры. При уходе от опоры уменьшается экранный эффект, соответсвено падает обратно. Размер и наклон оси надо подобрать так, чтоб не улетало в другую сторону. Полностью электромагнитный подшипник сделать без обратной связи — никак. Тоесть надо обратную связь какогото типа вводить(в этом примере — экранный эффект).
                                                                            • 0
                                                                              Идея красивая, но пропеллер — это увеличение сопротивления вращению. Как бы не получилось даже хуже, чем с механической опорой.
                                                                              А вот активная система стабилизации, регулятор — это с моей точки зрения более перспективно, хотя и сложно.
                                                                              • 0
                                                                                Пропеллер будет создавать очень малое сопротивление. Уж точно меньше, чем паралепипед из солнечных элементов. Нам ведь от пропеллера требуется не тяга, а экранный эффект. Потому угол атаки такого пропеллера можно делать в 5 градусов и менее. Простейший случай — диск из картона диаметром в 2см с прорезанными полосками отогнутыми на 1мм в сторону стекла.
                                                                  • +1
                                                                    Мне статья понравилась. Тоже давно волновал этот вопрос. Это тот случай, когда «нет ничего практичней хорошей теории». Т.е. можно сразу отбросить попытки собрать хитрую статическую систему магнитов и думать о том, как проще и лучше сделать динамическое поле.
                                                                    Будет ли практическая польза от этого? Вопрос. У меня есть игрушка — в стеклянной колбе вертушка с зачерненными с одной стороны лопастями — выставляешь на солнце — крутится. Работает э… почти вечно — от рассвета до заката. КПД должен определяется коэффициентом трения в оси, поглощающей способностью зачернения. Наверное можно вывести формулу — типа максимальная мощность такой системы объемом V в зависимости от этих коэффициентов и сравнить с КПД солнечной батареи.
                                                                    • НЛО прилетело и опубликовало эту надпись здесь
                                                                      • 0
                                                                        Ну вы хоть практично к вопросу подошли и магнитов не покупали. Картинки — наше всё :)
                                                                        • 0
                                                                          Можно получить то же магнитиками и опилками.
                                                                          • НЛО прилетело и опубликовало эту надпись здесь
                                                                            • НЛО прилетело и опубликовало эту надпись здесь
                                                                              • +1
                                                                                Необходимое условие потенциальности векторного поля — это чтобы его ротор был равен нулю. Такое поле может быть представлено как градиент поля скалярного — потенциала. По определению.
                                                                                В случае системы постоянных магнитов у нас во всем пространстве, кроме самих магнитов, отсутствуют электрические токи и переменное электрическое поле, таким образом, ротор векторов H и B равен нулю. Поэтому магнитное поле является потенциальным везде, кроме пространства внутри магнитов. Так что явления, происходящие с постоянными магнитами, можно с успехом рассматривать по законам электростатики, если рассмотреть вместо магнитов соответствующие электрические диполи.
                                                                                • +1
                                                                                  Стоит отметить, что необходимое условие не является достаточным — из равенства ротора нулю потенциальность может не следовать. Собственно, в следующем предложении по вашей ссылке приведён пример непотенциального поля с нулевым ротором, а именно, если поле задано на многосвязной области, то даже если оно безвихревое, оно не является потенциальным. В английской вики про это написано гораздо лучше, чем в русской.

                                                                                  Собственно, если мы будем рассматривать область 2D-пространства, внутри которой есть магнит, то магнитное поле в ней не будет потенциальным, потому что любой криволинейный интеграл по замкнутому пути, охватывающем этот магнит, будет отличен от нуля. В трёхмерном пространстве же "простые" сплошные магниты не являются препятствием для выполнения достаточных условий потенциальности поля (например, нет такого замкнутого пути, интеграл по которому будет будет отличен от нуля), так что действительно, магнитное поле "простых" магнитов будет потенциальным.
                                                                                  • НЛО прилетело и опубликовало эту надпись здесь
                                                                            • 0
                                                                              Красиво! Поделитесь, чем вы рисовали "опилки"? Сами писали код визуализации или библиотеку нашли?
                                                                              • НЛО прилетело и опубликовало эту надпись здесь
                                                                            • +1
                                                                              Динамическая конструкция возможна. Не совсем понятно, почему не сделать при наличии солнечных батарей магнитный подшипник на конце. https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9C%D0%B0%D0%B3%D0%BD%D0%B8%D1%82%D0%BD%D1%8B%D0%B9_%D0%BF%D0%BE%D0%B4%D1%88%D0%B8%D0%BF%D0%BD%D0%B8%D0%BA. Также можно внутрь моторчика засунуть управляющий микропроцесор и организовать отвод от стенки.
                                                                              • 0
                                                                                Но если активные магнитные подшипники уже получили определенное распространение, то пассивные подшипники (где магнитное поле создается высокоэнергетическими постоянными магнитами, например, NdFeB) только на стадии разработки.

                                                                                Чистые догадки с моей стороны: потому что солнечные батареи не выдадут достаточной мощности, а с постоянными магнитами дома не сделать? (подозреваю, что и активный дома тоже сделать затруднительно, хотя и не пробовал)
                                                                                • 0
                                                                                  Не надо много энергии, надо обратная связь. Например, воздушная(экранный эффект) либо УЗ дальномер, либо оптопара(горизонтальная, нет лазера — выключаем питание дополнительного магнитика). Постоянными магнитами не сделать. Ну тут и вращение очевидно не постоянными магнитиками организовано, правда?
                                                                                  • 0
                                                                                    Мощность нужна для возможности реагирования. Подозреваю, что предложенный вами вариант с экранным эффектом очень слабо отличается от просто положения неустойчивого равновесия :(
                                                                                    • +1
                                                                                      Нет, вы не правы. Давайте еще раз. четырьмя магнитами вы образуете потенциально-эквивалентную поверхность, тоесть это как сделать подкладку снизу из тефлона. Потом вы ее наклоняете например на 15 градусов относительно гравитационного поля с уклоном направо. В результате у вас болеее выгодное положении оси с магнитами на конце будет ВСЕГДА внизу справа. Собственно именно из-за этого на видео можно сделать справа поддержку(там скорее всего 1-3градуса наклона, несуть). Теперь если справа вы ось начинаете подталкивать(ну пусть пальцем), она будет подпрыгивать ровно на столько, сколько вы ей сообщили энергии(с учетом ее веса), потом возращаться на опору. Возражений нет? Вращается она всегда в одну сторону(если не всегда, можно наклонить катушки так, чтоб было всегда в одну, погрешность изготовления, ну или просто толкнуть в нужном направлении) Дальше, экранный эффект проявляется в том, что крыло(крыльчатка винта) имеет большую подьемную силу когда снизу на расстоянии порядка трети ширины крыла есть экран. Разница достигает нескольких раз. Соответсвенно можно подобрать крыльчатку так, что она не сможет на максимальных оборотах поднять всю конструкцию из гравитационной ямы, но сможет ее отодвинуть от поверхности в пределах действия экранного эффекта(на ширину самой крыльчатки). Собственно, все. Система квази-стабильна. Недостаточно оборотов — паркуется на стекло.
                                                                                      • 0
                                                                                        Не очень понимаю, какое из моих утверждений неправильно. Я не оспариваю возможность динамической стабилизации. Я лишь выразил печаль в том, что работать система будет лишь в крайне узком диапазоне оборотов. И сделать на коленке практически нереально, т.к. будет требовать экстремально хорошей балансировки и т.п. И если вы повернёте двигатель на столе (посмотрите, как в видео его поворачивают), то он наверняка от малейшей вибрации застопорится. И чтобы он работал в чуть более реальных условиях, нежели один тестовый запуск в лаборатории, нужен запас по мощности.
                                                                                        • +1
                                                                                          Вы говорите, что такая конструкция не будет отличаться по усточивости. Я говорю — будет, потому, что есть обратная связь(экран). Такую конструкцию можно и без двигателя сделать(вращать ручками). Балансировка нужна хорошая, только если вы будете делать малый наклон оси и малый диаметр крыльчатки. Если вы сделаете наклон 5-10 градусов и крыльчатку из двух лопастей хотя бы миллиметров 10 с шириной на концах лопастей 7-8мм, то точность изготовления нужна малая. Крыльчатка, естественно, не должна касаться экрана. Касание например грифилем от карандаша. В видео вы можете увидеть, что мощности на вращение 10см крыльчатки — хватает. Нужная тяга — 500миллиграм. Сколько нужно — регулируется наклоном оси.
                                                                                          • +1
                                                                                            Кстати, экранный эффект ослабевает при большой скорости, потому очень вероятно, что усиление оборотов будут не так уж сильно влиять на тягу. Пробывать надо, такой эффект применяется в подшипниках гидроэлектростанций(поднимается за счет экранного эффекта в жидкости).
                                                                                • 0
                                                                                  Мне кажется проще было бы объяснить так: в любой точке потенциальтного поля есть соседняя точка, в которой энергия не больше. То есть если система выйдет из неустойчивого равновесия (что очень просто), начнется движение. На данное устройство помимо магнитных сил действуют еще и гравитационные (тоже потенциальная энергия), поэтому вверх оно двигаться не может, иначе ротор бы просто улетел.
                                                                                  • 0
                                                                                    Мне кажется, что я примерно так и обяснил. Разве нет?
                                                                                    • 0
                                                                                      В комментариях видимо не все поняли, я решил чуть проще написать. Таки слово лапласиан до сих пор меня пугает, и я уверен не я один такой =)
                                                                                      • 0
                                                                                        Эх, видимо, картинки с чипсами и печаными дюнами не вошли :(
                                                                                        • 0
                                                                                          на самом деле чипсы — это отличная иллюстрация для таких как я, кто линейную алгебру и физику уже подзабыл и не то чтобы насмерть пугается, но мучительно вспоминает все эти лапласианы) зато любит визуализации и помнит слова гиперболический параболоид, так что спасибо :)
                                                                                          эквипотенциальность поверхности и аналогия с чипсами в данном случае без сложных выкладок хорошо объясняет почему, как ни режь пространство на оси и не рекомбинируй заряды — в трехмерном варианте находясь в локальном минимуме в одной плоскости (предельный случай "седловина вдоль") мы обязательно попадаем в локальный максимум в другой, ортогональной ей ("седловина поперек"), что, очевидно, является неустойчивым равновесием и система из него выйдет при минимальном внешнем воздействии.
                                                                                  • 0
                                                                                    Читаем теорему внимательно: "… в отсутствие третьих сил..."
                                                                                    «Просто так» левитирующий магнитик ничего не нарушает?
                                                                                    Тогда почему система из нескольких магнитиков должна обязательно всё разрушить?
                                                                                    • 0
                                                                                      Простите, но мне ваш вопрос неясен. Если вам нужен ответ, то переформулируйте, пожалуйста.
                                                                                      • 0
                                                                                        Собственно, вопрос, скорее риторический. Смысл моего коментария перекликается с замечанием https://habrahabr.ru/post/280216/?reply_to=8824294#comment_8823398 о наличии в данной системе гравитационного поля. Это означает, что нет смысла ломать копья по поводу теоремы Ирншоу — она здесь неприменима.
                                                                                        • +1
                                                                                          Попробуйте представить себе минимум гравитационной энергии в свободном пространстве. Не получилось? Значит, Ирншоу хорошо поработал.
                                                                                          • 0
                                                                                            При чём тут это? У нас система из гравитации, магнитных сил и жёстких опор.
                                                                                            Моё утверждение в том, что теорема Ирншоу тут неприменима.
                                                                                            • +1
                                                                                              Ваше утверждение ошибочно. Теорема Ирншоу применима к любым полям (и их комбинациям!) где сила взаимодействия обратно пропорциональна квадрату расстояния (я про 3д)
                                                                                              • 0
                                                                                                жесткие опоры в эту категорию не входят
                                                                                                • 0
                                                                                                  Они входят в слово "комбинация " в моем предложении.
                                                                                                  • 0
                                                                                                    но противоречат обратному квадрату
                                                                                                  • 0
                                                                                                    Опоры для заряда, который хотим левититровать — конечно не входят, иначе какая же это левитация с опорами :) А остальные заряды (которые поле создают) можно как угодно крепить друг с другом.
                                                                                                    • 0
                                                                                                      Правильно. Но забудьте про теорему.
                                                                                                      • 0
                                                                                                        Неправильно, свободные заряды, что мы пытаемся заставить левитировать, можно крепить как угодно жёсткими связями между собой.
                                                                                                        • 0
                                                                                                          Два заряда приклееные к концам палочки находятся в состоянии равновесия — теорема не работает!
                                                                                                          • 0
                                                                                                            Вы забыли создать внешнее поле, в котором ваша палочка должна левитировать. Можно тогда вообще сказать: система из нуля зарядов находится в равновесии.
                                                                                                            Вы методично и безапелляционно заявляете ложные вещи и не пытаетесь слушать, что вам говорят. Я устал, дальше не отвечаю.
                                                                                                            • 0
                                                                                                              Я ничего не забыл. Мы говорим про теорему и её применимость, а не про левитацию. Во всяком случае я начинал с этого.
                                                                                                              • 0
                                                                                                                Ох, вы всё упорствуете. Приведу формулировку теоремы ещё раз:
                                                                                                                Stable levitation or suspension is impossible for a body placed in a repulsive or attractive static force field in which force and dsitance are related by an inverse square law.

                                                                                                                Итак, теорема сформулирована. К какой именно системе она неприменима?
                                                                                                                • 0
                                                                                                                  Ведь ясно же написано "… inverse square law." Вы вводите жесткие связи, которые этому закону не удовлетворяют. Если я выражаюсь непонятно, попробуйте почитать доказательство этой теоремы (http://studopedia.ru/3_56120_teorema-irnshou.html).