Голуби брутфорсят парадокс Монти Холла лучше людей

    Голуби дают людям фору в решении дилеммы Монти Холла, что могло бы позволить им успешно выступать на одноименном ток-шоу. Это закономерность может, в свою очередь, излить свет на то, почему людям так трудно она дается.



    Чем примечательна эта дилемма? При кажущейся простоте, она запутывает логические цепочки наших умозаключений, заставляя людей (но не голубей), в буквальном смысле, блуждать в трех соснах, вернее — в дверях. Это свойственно представителям самых разных культурных традиций: американцы, китайцы, шведы и бразильцы совершают одинаково неверный выбор.


    Когнитивный психолог Massimo Piattelli-Palmarini заметил по этому поводу: Ни одна статистическая задача даже рядом не стоит по способности дурачить всех людей и во все времена.


    В этой статье мы узнаем, в чем состоит дилемма, найдем теоретическое верное решение, проверим его в R, расскажем про интеллектуальную битву людей с голубями и узнаем ее результаты.


    Дилемма Монти-Холла


    Так называемая дилемма Монти Холла является хорошо известной загадкой, названной так в честь первого телеведущего на американском ТВ-шоу «Предлагаю Сделку», в которой тот давал участникам на выбор три двери, за одной из которой была машина, а за двумя остальными — козлы. Приз и козлы заранее расставлялись случайным образом и далее не меняли свои местоположения. После того как участник делал свой выбор, ведущий всегда открывал одну из оставшихся двух дверей, за которой, как он знал наперед, не было приза. Затем игроку предлагалась возможность поменять свой выбор или оставить все как есть.



    На самом деле существует несколько возможных стратегий Монти.


    • Адский Монти: ведущий предлагает сменить, если дверь правильная.
    • Ангельский Монти: ведущий предлагает сменить, если дверь неправильная.
    • Ведущий выбирает одну из коз и открывает её, если игрок выбрал другую дверь.

    Классикой стала стратегия непредвзятости ведущего, когда он при любом изначальном выборе игрока открывает козло-дверь и предлагает поменять свой выбор или все оставить как есть. От нее мы и будем далее отталкиваться.


    Подавляющее большинство игроков, опрашиваемых и испытуемых отказывались менять свой выбор, несмотря на то, что это удваивало их шансы на выигрыш. При этом люди мыслят, что в оставшихся двух дверях шансы на выигрыш равны и менять свой выбор нет никакого смысла. Если вы думаете так же, не смущайтесь, ибо не один вы заблуждаетесь.


    Когда колумнист Mаrilin vos Savant[1] опубликовала решение в журнале Parade Magazine, на нее посыпался просто шквал писем читателей, выражающих свое несогласие. Вот например такие.


    Я уверен, что скоро Вы получите много писем от студентов высших школ и колледжей. Возможно, Вам следует сохранить эти адреса, они помогут Вам в последующих выпусках.
    W. Robert Smith, Ph.D. / Georgia State University

    Я в шоке оттого, что даже после того, как Вас исправили по меньшей мере три математика, Вы все еще не видите свою ошибку.
    Kent Ford / Dickinson State University

    Ты сама коза.
    Glenn Calkins / Western State College

    Всего — около 10 тыс. писем. Как видим троллинг процветал еще в те времена, когда для этого нужно было потратить гораздо больше времени и усилий чем сейчас, а еще оплатить почтовый конверт и почтовую марку.


    Талантливейший венгерский математик Paul Erdős также попался на уловку и отказывался даже принять решение, пока не увидел своими глазами компьютерную симуляцию результатов эксперимента. Честно говоря, с трудом в это верится, но молва пошла, тем не менее.


    Разоблачение


    Самое лаконичное объяснение решения ДМХ (Дилеммы Монти Холла) дано в круговой диаграмме.



    Внутренний круг показывает дверь за которой приз, средний круг указывает на первоначальный выбор участника а внешний — дверь, что откроет Монти. Последний также указывает на выигрышные расклады — они показаны красным цветом и их вдвое больше чем проигрышных синих. Простая арифметика показывает нам, что шансы выиграть при постоянном выборе равны 1/3, а смена выбора дает 2/3.


    Рассмотрим теперь формальное решение задачи, на основе Теоремы Байеса об условной вероятности.


    • Пусть А — событие, при котором машина за 1-й дверью.
    • Пусть Б — событие, при котором Монти Холл открывает 2-ю дверь с козлом.


    Pr(A) считается просто — 3 двери с одинаковой вероятностью выбора, значит машина за первой дверью с вероятностью 1/3. Вероятность нахождения приза в оставшихся двух одинакова, отсюда Pr(B|A)=1/2.
    Рассчитать Pr(B), что в знаменателе, немного сложнее. Учитывая, что:


    1. Вы выбираете дверь под номером 1, а Монти показывает козла за дверью под номером 2.
    2. Если машина за 1-й дверью, то Монти с вероятностью 1/2 покажет дверь под номером 2.
    3. Если машина за 2-й дверью, то Монти всегда будет открывать дверь под номером 3, так как он никогда не показывает машину.
    4. Если машина за 3-й дверью, то Монти всегда будет открывать дверь под номером 2, так как он никогда не показывает машину.

    Так и получается, что вероятность выигрыша равна 1/3, когда игрок не меняет дверь. Соответственно, смена двери, после демонстрации козла ведущим, равна 2/3.


    А голуби что?


    Немало изумленные косностью некоторых паттернов человеческого разума, исследователи Julia Schroder и Walter Hebranson задались целью проверить результаты на голубях, которые неплохо себя зарекомендовали в ряде практических теоретико-вероятностных задачах.


    Пернатые и в этот раз не обманули ожиданий. После некоторой тренировки, голуби эмпирическим путем научились выбирать верную стратегию, а вот люди в том же эксперименте — нет.


    Дело было так. Ученые отобрали шестерых заурядных сизых голубей и дали им на выбор три светящиеся кормушки. Следовал первоначальный выбор клювом, все три кормушки затухали и после недолгой паузы вновь начинали светится две, из которых голубь одну выбрал в начале. Компьютерная симуляция подменяла Монти Холла, убрав одну пустую кормушку, после чего испытуемое могло выбрать по-новой из оставшихся двух. Призом являлась еда — когда голубь верно угадывал кормушку, та открывалась и птица получала награду. Награда усиливала стимул и давала импульс к обучению. Затем появлялась новая тройка светящихся кормушек.


    Птицы быстро научились считать свою выгоду и за 30 дней процент переключений кормушки вырос с 36.33% до 96.33%.



    График роста голубиных показателей: на вертикальные линии над столбиками — доверительный интервал. Левый столбик показывает смену выбора а правый — тот же выбор. Некоторые птицы достигли абсолютных показателей — переключались всегда.


    С людьми вышло иначе. За 30 дней эксперимента некоторый прогресс вначале наблюдался, но выявить тенденцию не удалось.



    Рост надоев показателей с 56.67% до 65.67%. Границы доверительного интервала указывают на то, что выбор мог определяться случайностью.


    Была проведена еще одна серия испытаний, в которых условия дилеммы Монти Холла ставились так, что выгоднее стало придерживаться изначального выбора. Целью было проверить способность мозга найти оптимальную стратегии даже когда условия неожиданно меняются. Во втором эксперименте, местонахождение приза фиксировалось только после первоначального выбора.


    Результат подтвердил тенденцию. ЦОД голубиного мозга опять все верно рассчитал. С первый день ошибочной стратегии придерживались в 30.17% случаев, в последний же 15-й день — лишь в 4.33%. Результат юных home sapiens был едва отличим от его отсутствия: в первый день меняли выбор в 30%, в последний день — 27.67%.


    Что все это значит?


    В самом общем виде эти результаты можно интерпретировать следующим образом. Дело в том, как мы обучаемся и учимся оценивать вероятность событий. Чаще всего наша мысль бродит по отстроенным в годы обучения коридорам в поисках оценочной модели. Затем мы загоняем в нее данные и на выходе получаем готовый ответ. Часто берутся на вооружения всевозможные эвристические методы. В целом, это неплохо работает, но иногда случаются знатные фейлы, как в случае с ДМХ.


    Альтернативой является эмпирический брутфорс: наблюдения, агрегация, вывод. Этот более трудозатратный и медленный способ принятия решений, но в данном случае именно он обеспечивает голубям выработку правильной стратегии.


    Возможно ответ следует искать в серии статей про Логику Мышления. Человеческий и даже птичий мозг несет в себе еще много загадок, поэтому вместо спекуляций, в завершение темы, лучше попробуем эмуляцию ДМХ на R. Вывод скрипта русифицирован.


    5:543)$ R -f monty.r
    
     Monty Hall Problem Simulation
    "Оставить прежний выбор"
    
                               Выигрыш = 3380 
                   Количество повторов = 10000 
        Наблюдаемое соотношение выигрышей = 0.338 
      Соотношение выигрышей в теории = 0.3333333 
    
    "Изменить выбор"
    
                               Выигрыш = 6620 
                   Количество повторов = 10000 
        Наблюдаемое соотношение выигрышей = 0.662 
     Соотношение выигрышей в теории = 0.6666667> 
    > ## Plot 'convergence' to true winning proportions
    > ## Blue is switching doors, red is staying
    > plot.new()
    > plot(cumsum(changewin) / c(1:N), main = "'Convergence' to True Winning Proportions",
    +      xlab = "Trial", ylab = "Win Percent", ylim = c(0, 1), col = "blue")
    > abline(h = 2/3)
    > points(cumsum(staywin) / c(1:N), type = "p", col = "red")
    > abline(h = 1/3)

    График асимптотической сходимости к вероятностям 1/3 и 2/3.



    Использованные материалы


    1. Are Birds Smarter Than Mathematicians? Pigeons (Columba livia) Perform Optimally on a Version of the Monty Hall Dilemma
    2. Pigeons Beat Humans at Solving 'Monty Hall' Problem
    3. Pigeons outperform humans at the Monty Hall Dilemma
    4. Monty Hall Problem: Intuitive and Mathematical Solutions



    1. Автор колонки Ask Merilin, обладатель рекорда Гиннеса за самый высокий IQ.
    Поделиться публикацией
    AdBlock похитил этот баннер, но баннеры не зубы — отрастут

    Подробнее
    Реклама
    Комментарии 311
    • +1
      > на основе Теоремы Байеса об условной вероятности.
      Эммм… Я что-то не уловил, где здесь событие-условие?
      • +2
        • Пусть А — событие, при котором машина за 1-й дверью.
        • Пусть Б — событие, при котором Монти Холл открывает 2-ю дверь с козлом.

        Pr(A|B) — вероятность нахождения машины за 1-й дверью, если ведущий показывает 2-ю дверь.
        • –1
          Пусть C что мне очень захотелось вздремнуть и я забыл загадать какую дверь открывать. Что тогда?

          У вас алгебра событий поменялись, потому что точно известно, что за открытой дверью коза, так что ТБ тут не причём.
          • 0
            В таком случае вероятность 1/2
            • 0
              То есть химическая реакция в моём мозгу превращает козу в машину.
              • +2
                нет. Химическая реакция в вашем мозгу стирает дополнительную информацию и вы выбираете уже из двух дверей случайно (а не из трёх).
                • 0
                  Никакой информации от того что я выбрал не появилось. Она добавилась, когда открыли одну дверь. А у вас получается, что смена одной идентичной двери на другую вдруг уменьшает энтропию системы.
                  • 0
                    Тут можно про вероятность последовательности вспомнить (хотя это не совсем в тему). Монета может выпасть орлом или решкой с вероятностью 50%. И вам говорят вот выпала монета решкой, как она выпадет в следующий раз? Судя по вашей логике она опять выпадет решкой с вероятностью 50%. Получается, что она и третий раз может выпасть с вероятностью 50%. То есть монета может с 50% вероятностью и на сотый раз. То есть у нас помимо вероятности выполнения есть еще информация о прошлых выпадениях. И тут тоже самое. Ведущий может с вероятностью 50% открыть одну из дверей с козами, но 100% не откроет дверь с машиной. И это влияет на вероятность.
                    • +10
                      Хоть после 10^12 падений вероятность выпадения решки 1/2. А вот чтобы 100 раз подряд выпала решка, то это 2^-100 = 7.8*10^-31.
                      • –7
                        Вот например с вами играют в игру. Я кидаю монету и каждый раз вы называете одно и тоже — например решка. Если вы считаете, что вы угадываете каждый раз с 50% вероятностью, то это не так.
                        • +11
                          Если вы не жулик и монета ровная, то это так.
                          • –1
                            Вот нашел таки, я помоему не так пример сформулировал http://books.rusf.ru/unzip/add-on/xussr_mr/melnis11.htm?1/1
                            • +3
                              Что это? Давать текст длиннее чем одна страница без абстракта как-то не принято.
                              • –6
                                Ну сорри, не я автор, претензии не ко мне)
                                • +4
                                  Вы привели фантастический рассказ, как аргумент в научной дискуссии? Вы серьёзно?
                                  • 0

                                    Вы все не правы, так как монета может упасть на ребро, и ваши 50% уже не такие и 50%

                                  • +5
                                    Если Вы не против, я немного вмешаюсь в дискуссию с целью внести некоторую ясность.
                                    В опусе по ссылке раскрывается следующий факт: если взять последовательность из выпаданий монетки, то подпоследовательность, например, 100 в ней выпадет раньше, чем подпоследовательность 000.
                                    Скажем, в последовательности 00110100100011, первая подпоследовательность встретилась с 6 позиции (и потом еще с 9), а вторая — с 10й. Этому есть, безусловно, объяснение (схема простая: 000 «выигрывает» только если это и есть старт последовательности, в то время как 100 «выигрывает» и в других ситуациях).
                                    Каким образом это сочетается с постом и комментариями выше, я, однако, объяснять не возьмусь.
                                    • 0
                                      https://www.youtube.com/watch?v=SDw2Pu0-H4g
                                      Отличное видео на эту тему.
                            • 0
                              Хмм, но если 10^12 выпала решка, то в следующий раз вероятность выпадения решки стремится к 100%. Потому что скорее всего монета кривая.
                              • +2
                                речь не про монету, а про идеально рандомный генератор выдающий 0 или 1, если угодно. Не надо подмешивать в условия то, чего в них не было.
                            • +16
                              Результат выпадения монеты никак не влияет на результаты будущих выпадений.
                              Ох уж эти «волшебные» объяснения чудесности мартингейла.
                              • –1
                                После того, как монета упала на одно из ребер ведущий знает на какое говорит всегда не верное и предлагает изменить решение. В случае с монеткой вероятность повышается при изменении решения до 100%. Последовательность событий:

                                Кидаем монетку выпадает решка (к примеру)
                                Мы не знаем результат и ведущий его знает.
                                Ведущий говорит что орел не верный результат и предлагает нам изменить свое решение
                                После чего мы со 100% вероятностью знаем что результат — решка.

                                Если без изменения нашего решения наши шансы 50% то уже комментарием ведущего наши шансы угадать правильную сторону — 100%
                              • 0
                                То есть монета может с 50% вероятностью и на сотый раз

                                Так и есть.

                              • 0
                                понимаете, тут просто смысл в том, что после того, как открыли дверь, повышается вероятность той двери, которая осталась, и если каждый раз её и выбирать, по вероятности, там чаще окажется машина.
                                • +10
                                  Отличный пример есть на вики.

                                  Пусть у нас будет не 3 двери, а 1000. Вы выбрали одну. Ведущий открыл 998 дверей с козлами. Теперь у вас две двери. Теперь очевидно, что за другой дверью шанс намного выше, чем за первоначальной. Т.к. при первоначальном выборе ваши шансы были 1\1000.

                                  В то же время, если вы уснёте и забудете, какую дверь выбрали изначально, то ваши шансы 50\50.
                                  • –2
                                    А если не усну? Как процесс прошлых попыток УГАДАТЬ случайное событие влияет на случайность очередного эпизода?
                                    • +2
                                      Не процесс прошлых попыток угадать, а прямая подсказка ведущего. Он явно показывает за какой дверью машины нет. Это делает выбор не из равновероятных уже дверей.

                                      Если вы уснёте, то значит забудете какую дверь выбирали изначально вы, а какую выбрал (== не открыл) ведущий (а выбирал он не из ТРЁХ, а из ДВУХ), то есть вы потеряете эту подсказку.
                                      • –1
                                        Он может открыть одну дверь с козой
                                        1. когда я угадала
                                        2. когда я не угадал

                                        Если у него нет задачи помочь мне, то он и не помогает. Просто дает шанс с выбора 1/3 перейти к выбору 1/2.
                                        • +4
                                          Если у него нет задачи помочь мне, то он и не помогает. Просто дает шанс с выбора 1/3 перейти к выбору 1/2.
                                          Есть у него задача помочь или нет это неважно, он вынужден 1) открыть дверь 2) открыть именно ту за которой нет приза. Так что: нет, он даёт вам шанс перейти к выбору между 1/3 и 2/3. Вероятность приза за двумя дверями стала неравной после прямого вмешательства ведущего в случайный выбор. Выше же есть прекрасный пример с ста/тысячью дверями (иногда на выбор игральных карт заменяют).

                                          з.ы. Вы поймите, что здесь два состояния у этой дискуссии «вы поняли» и «вы пока не поняли». Вы не можете переспорить и оказаться правым в принципе. Если вы хотите понять — можно ещё пообъяснять, но если вы хотите поспорить с математикой (с ОСНОВАМИ тервера), то увы.
                                          • –4
                                            Прямое вмешательство ведущего, внезапно, превращает ваш выбор 1/3 в выбор 1/2, но не 2/3.
                                            Просто это два разных события выбора.

                                            Кроме того, это телевизор, и там выбора нет вовсе.
                                            • +1
                                              Прямое вмешательство ведущего, внезапно, превращает ваш выбор 1/3 в выбор 1/2, но не 2/3.
                                              Ой всё.
                                          • +6
                                            По моему совсем просто и приближенно к задаче:
                                            Ты выбираешь X дверь из 123.

                                            А затем решаешь, твое будет то, что за выбранной или то что за обеими оставшимися.

                                            какой твой выбор?

                                            дальше объяснять?
                                            • 0
                                              Я первый раз выбираю 1 из 3.
                                              Из выбора выкидывают 1 дверь.
                                              Я выбираю 1 из 2.
                                              В ходе всех опытов во время второго выбора постоянно присутствует 1 неверная дверь открытая ведущим. В то время как во время второго выбора мы её просто уже не учитываем.

                                              На том же кругу как раз в данные второго выбор добавляется заведомо неверный ответ (дверь на момент второго выбора открыта)
                                              • +1
                                                Все же я не это спросил.

                                                При задаче из 3х дверей выбрать одну, а потом решить открыть её или две оставшиеся.

                                                Ты что выбрал бы?
                                                • 0
                                                  А в этом примере ведущий откроет одну дверь перед вторым выбором?
                                                  Или просто предложит выбрать снова?
                                                  • +1
                                                    Никакого 2го выбора. Сразу все ваше.
                                                    Какой ваш выбор? Выбранная или две оставшиеся?
                                                    • 0
                                                      Как нет выбора второго, если я выбрал сначала одну, а уже предлагается выбрать из нее или двух ОСТАВШИХСЯ. Оставшихся после чего?
                                                      • +2
                                                        Хорошо :) ты отметил одну, маркером.
                                                        А теперь можешь открыть или ее или две не отмеченные.
                                                        И забрать то, что за открытыми дверями себе. :)
                                                        • 0
                                                          Т.е. я опять делаю выбор 1 из 3 и у меня нет подсказки что мой выбор не верен?
                                                          Ну кроме сомнения в зависимости от того как у меня в голове «стакан пуст или полон» и я считаю что ведущий пытается мне помешать или помочь
                                                          • +5
                                                            Это другая задача:
                                                            Есть 3 двери, за кой-то из них приз.
                                                            Одну ты пометил маркером.
                                                            Теперь выбери, открыть обе не помеченные или только одну помеченную.
                                                            • 0
                                                              т.е. я выбираю между открытием одной двери или двумя?
                                                              • +4
                                                                Да.
                                                                И как ты думаешь какой шанс, для одной двери и для двух?
                                                                • 0
                                                                  1/3 и 2/3 по числу открываемых дверей мною.
                                                                  • +1
                                                                    Допустим ты всегда выбираешь 2двери т.е. шанс 2/3.

                                                                    Вот скажи, если ты (уже после выбора) попросишь ведущего показать дверь за которой пусто, шанс изменится?
                                                                    • 0
                                                                      Если я не могу поменять свой выбор, то не меняется, просто он «мучает» меня. И в случае если я выбрал 2 двери обе не верные, то получу просто разочарование полное, а в случай с верным выбором я получаю просто нервы, но радость от выигрыша.
                                                                      • +2
                                                                        Эмоции оставим в стороне — не тот форрум, тут все сплошь хладнокровные интеллектуалы.

                                                                        Т.е. видел ты пустую дверь или не видел, шансы не меняются, согласен?
                                                                        • 0
                                                                          Да, в случае если я не делаю новый выбор, то открытая дверь — это просто констатация факта того что 2 из 3 дверей выбранных мною имеет минимум 1 отрицательный выбор
                                                                          • +1
                                                                            Конечно — открытие заведомо пустой двери ничего не меняет, шанс остается темже две двери = 2/3, одна = 1/3.

                                                                            Тогда вопрос, почему ты предположил, что если теперь будет еще один выбор, шансы поменяются?
                                                                            • 0
                                                                              А с чего в данном случае неверный ответ «прилепляют» к 2/3, говоря про то что я якобы выбрал 2 двери, а не одну?
                                                                              • +3
                                                                                Это ты про основной сценарий с ведущим?

                                                                                В первый заход по сути нет выбора, тебе дают пометить любую дверь.
                                                                                Получаем в помеченной (выбранной) шанс = 1/3.
                                                                                А в 2х не помеченных шанс = 2/3

                                                                                пока все верно?
                                                                                • 0
                                                                                  Предвставь, торт разрезают на 3 части и равкладывают на три тарелки. В одну из частей прячут золотое кольцо. И предлягают тебе угадать где оно. Ты берешь одну тарелку в руки. Тут ведущий перекладывает кусок с одной из очтавшихся двух тарелок на другую. И предлагает тебе остаться при своей тарелке или выбрать другую.
                                                                                  Как-то так…
                                                                                  • 0
                                                                                    И в этот момент у меня выбор между той что в руке с потенциальным призом и той что осталась с тоже потенциальным призом. Могу выбрать одну из двух.
                                                                                    • 0
                                                                                      Да, но вероятность, что кольцо окажется в большем куске, выше.
                                                                                      • 0
                                                                                        Если постоянно говорить о том что был первый выбор и нам упростили задачу, то да. Если мы во второй раз делаем выбор между двумя тарелками, то… 1/2. Выбор между той тарелкой что в руке и той что осталась.
                                                                                        Говорить о росте шанса можно только в разрезе сравнения выбора 1 из 3 в первом варианте и удалении из выбора одного объекта.
                                                                                        На том же круге что в статье некорректно показывать дерево выбор именно так. так как во время второго выбора заведомо ложный вариант не участвует в выборе.
                                                                                        • 0
                                                                                          Выше чем когда? Сравниваем шансы с первым разом?
                                          • –3
                                            В то же время, если вы уснёте и забудете, какую дверь выбрали изначально, то ваши шансы 50\50.
                                            При такой логике — 50/50 даже если Вы выберете ту же самую дверь, которую выбрали первый раз:)
                                            • +2
                                              Спасибо, я осознал и понял.
                                              Хотя перед этим читал вики.

                                              По сути у нас 2 двери.
                                              За одной с вероятностью 1/3 будет машина.
                                              За другой — с вероятностью 1/2.

                                              Не нужно на втором этапе думать, что выбор между 2мя дверьми имеет одинаковую вероятность, как у монетки.

                                              Это примерно как следующее.
                                              Кидаем монетку. Монетка может упасть на ребро или одну из двух сторон.
                                              Допустим мы выбрали ребро.
                                              Далее ведущий, который видит будущее, говорит, что монетка в следующий раз точно не упадет на лицевую сторону.

                                              Ну а далее наша ситуация:
                                              или думать, что шанс ребра и оборотной стороны равны, так как осталось всего 2 варианта,
                                              или же думать, что есть оборотная сторона, имеющая шансы 50/50 и есть ребро, которое мы зачем то указали, и шансы которого ничтожно малы.
                                              • 0

                                                Только после вашего разъяснения я наконец-то понял, в чём дело. Хотя пример с 1000 дверей я тоже понял, но не смог из него сделать правильный вывод.
                                                Спасибо большое.

                                                • 0
                                                  Не переживайте, предыдущий комментатор тоже не понял. У него получается, что с вероятностью 1/6 ведущий открыл дверь с машиной, а это не по правилам.
                                                • +2
                                                  У вас утечка памяти шанса.
                                                  Если есть две двери и у одной шанс быть выигранной 1/3, а у другой 1/2, то с вероятностью 1/6 обе двери проигрышны (т.е. приза нет вообще).

                                                  Как только вы выбрали одну дверь, вы разделили шансы на 1/3 и 2/3.
                                                  Когда ведущий открывает одну дверь из двух оставшихся ее шанс становиться 0 и все 2/3 достаются оставшейся. Т.е. теперь у вас выбор между выбранной вами 1/3 и оставшимися 2/3.
                                                  • 0
                                                    Почему 1/3 шансов двери, открытой ведущим, досталась не выбранной игроком двери? По-моему она распределилась между оставшимися дверями поровну.
                                            • +2
                                              Никакой информации от того что я выбрал не появилось.

                                              Это неверно. Ведущий не может открыть ту дверь, которую вы выбрали изначально.

                                        • 0
                                          В таком случае вероятность 1/2
                                          Разумеется это не так. Неважно забыли ли вы какую загадывали или нет — вероятность уже изменилась после открытия двери ведущим (читай: его подсказкой). Извиняюсь, не так прочитал. Конечно же если мы видим просто открытую дверь, то не можем знать из каких двух её выбирал для открытия ведущий.
                                          • 0
                                            В таком случае вероятность 1/2
                                            Объяснял ниже и всё же дополню, т.к. тут неочевидно. Вероятность приза сама по себе (для стороннего наблюдателя, например, или если мы захотим сами провести статистический эксперимент) осталась такая же ведь, как если мы теряли или не теряли память — за той которую мы выбирали изначально 1/3, а за той которую не-выбрал-ведущий 2/3. Просто мы эти вероятности не знаем. И для нас как бы вероятность при выборе 1/2, потому что осталась одна коза и один приз, а дверей две. Но мы просто серию зависимых событий прерываем и рассматриваем опыт заново, где-то ниже аналогия с монетами была.
                                          • 0
                                            Пусть C что мне очень захотелось вздремнуть и я забыл загадать какую дверь открывать. Что тогда?


                                            Ведущий не просто должен открыть одну из дверей с козлом. Ведущий должин открыть дверь, которую НЕ выбрал конкурсант, и за которой козел. Если Вы уснули и не сделали выбор, ведущий не сможет открыть удовлетворяющую правилам дверь.
                                        • 0
                                          После такого своему мозгу нет доверия вообще. Сколько всего мы можем не понимать, железно верим в «очевидность». Список когнитивных искажений в Википедии может оказаться далеко не полным.
                                        • +13
                                          Для интуитивно-психологического понимания задачи можно представить, что дверей не 3, а 100. И 98 открыты после выбора. Т.е. машина точно за одной из двух дверей, но вероятность того, что вы с первого раза выбрали нужную, как вы помните — 1%
                                          • –6
                                            И вообще ничего не изменится. В итоге будет новый выбор с 2 равновероятными вариантами.
                                            • +30
                                              Где-то в этот момент средний голубь бы уже понял свою ошибку. Интересно, как скоро ее поймете вы :)
                                              ( Hint: нет никакого нового выбора, машина была спрятана за одной из дверей еще до того как вы выбирали и никуда не переезжала).
                                              • –2
                                                Если вы знаете за какой дверью машина, то зачем выбирать вообще?
                                                • +9
                                                  Вы не знаете. Но ведущий — знает.
                                                  • +19
                                                    Вы не знаете. Знает ведущий. И открывая двери, за которыми заведомо нет машин, он этой информацией делится (частично) с вами.

                                                    Вот еще одно «интуитивное» объяснение: пусть вы выбрали дверь 1. Вероятность того, что машина за ней — 1/3. Вероятность того, что машина за дверью 2 или 3 — 2/3. После того, как ведущий открыл одну из дверей эти вероятности не изменились: для первой двери это по прежнему 1/3, а для 2 или 3 двери — 2/3. Но, благодаря информации от ведущего, вероятность для пары дверей 2-3 делится между ними не пополам (по 1/3, как это было до открытия двери ведущим), а полностью «переходит» к одной из дверей, так как за второй машины точно нет.
                                                    • –4
                                                      Почему для первой двери вероятность не изменилась? Почему переходит полностью на оставшуюся? По-моему переходящая вероятность как раз таки делится на выбранную вначале дверь и оставшуюся?
                                                      • +1
                                                        Почему для первой двери вероятность не изменилась? Почему переходит полностью на оставшуюся?

                                                        Потому что ведущий не может открыть ту дверь, которую мы выбрали изначально. Соответственно, перераспределять вероятности, открывая двери, он может только между невыбранными дверями.

                                                        Если бы он мог открыть любую дверь без машины (в том числе и выбранную) — то да, между оставшимися двумя дверями вероятность распределялась бы поровну. Но это не так.
                                                      • 0
                                                        А как быть если с первого раза угадал где машина?
                                                        То есть с вероятностью 1/3 угадал, где машина и с вероятностью 2/3 предлагают неверный выбор?
                                                        • +1
                                                          Вы, видимо, не совсем понимаете, что значит вероятность и как она работает.
                                                          Если достоверно известно, что машина за той дверью, которую вы выбрали изначально, то вероятность того, что вы угадали — 1, а не 1/3. А если достоверно известно, что машина не там, то вероятность — 0. Но ни один из этих случаев не имеет отношения к исходной задаче, потому что в ней игроку неизвестно, где машина.
                                                          • +1
                                                            Не то что «не совсем понимаю», вообще не знаю, только на уровне собственного опыта и чувств/ощущений.
                                                            Тут, на мой взгляд, проблема в другом. Если я воспринимаю эту ситуацию как математическую задачу, то, да, я понимаю, что у не выбранной двери ведущим шанс 2/3, а у той, которую выбрал я, 1/3. И если будет многократный повтор выбора, то вторую попытку нужно изменять на дверь с шансом 2/3. Это действительно более выигрышная стратегия.
                                                            Но вот если рассматривать ситуацию как единственный выбор, как участие в игре, то шанс выигрыша становится 50 на 50, один к двум и все в том же духе, после открытия одной двери для участника (не для математики или теории вероятности). Это ближе к психологии.
                                                            Интересно было бы посмотреть статистику этой игры (именно игры, а не тестов), хотя предполагаю, что у сменивших дверь во «втором туре» процент победы выше.
                                                            • 0
                                                              Но вот если рассматривать ситуацию как единственный выбор, как участие в игре, то шанс выигрыша становится 50 на 50, один к двум и все в том же духе, после открытия одной двери для участника (не для математики или теории вероятности).


                                                              Ну по такой логике для одного человека вероятность заболеть простудой и бубонной чумой тоже одинаковая — 50 на 50, один к двум и все в том же духе. Либо заболеешь, либо нет.
                                                              Звучит абсурдно, по моему.

                                                              Для одного человека (при условии, что он не знает, где машина), выгоднее менять свой первоначальный выбор. И вероятности будут не 50/50, а 33/66.

                                                              Интересно было бы посмотреть статистику этой игры (именно игры, а не тестов)


                                                              Можете пояснить, что вы имеете в виду под «тестами» и под «игрой», и чем они отличаются?
                                                              • 0
                                                                Тесты — это где группа одних и тех же людей участвует в этой ситуации многократно (они вроде как не обучаются и процент их побед ниже, чем у голубей).
                                                                Игра — это каждый раз новый человек участвует и у него нет возможности обучаться.

                                                                Соглашусь с Сергеем (@sebres) основная проблема не понимания (у тех кто не понимает почему шанс выиграть при смене двери 2 к 3) в том, что рассматривается одна конкретная ситуация, а не последовательность ситуаций.

                                                                Сам еще не до конца принял, и как бы повел себя в ситуации игры (единственное, один раз) не знаю.
                                                                В ситуации тестов (многократного повторения, участия) точно бы менял дверь во втором «туре».

                                                                Ниже (почти в конце) Caullerd привел статистику смены выбора двери и без смены, она очень наглядно показывает где шансы больше.
                                                                • 0
                                                                  Тесты — это где группа одних и тех же людей участвует в этой ситуации многократно (они вроде как не обучаются и процент их побед ниже, чем у голубей).
                                                                  Игра — это каждый раз новый человек участвует и у него нет возможности обучаться.

                                                                  А как, простите, обучение человека на выбор одной из нескольких стратегий (в данном случае — одной из двух — менять либо не менять) влияет на эффективность этих стратегий?

                                                                  основная проблема не понимания (у тех кто не понимает почему шанс выиграть при смене двери 2 к 3) в том, что рассматривается одна конкретная ситуация, а не последовательность ситуаций.

                                                                  Опять таки, какая разница, сколько ситуаций рассматривается? По вашему, для одного эксперимента вероятность одна, а для нескольких (независимых друг от друга) — другая?

                                                                  Ниже (почти в конце) Caullerd привел статистику смены выбора двери и без смены, она очень наглядно показывает где шансы больше.

                                                                  Да, и там наглядно видно, что при смене двери вероятность победы в 2 раза выше. И там никакого обучения не происходит. Первая программа всегда меняет дверь, вторая — никогда не меняет. И ни одна из них ничему не учится в процессе. То есть, если я правильно вас понял, программы Caullerd'а подходят под ваше определение «игры, а не тестов». Как, кстати, и почти все прочие симуляции этой задачи.
                                                                  • 0
                                                                    А как, простите, обучение человека на выбор одной из нескольких стратегий (в данном случае — одной из двух — менять либо не менять) влияет на эффективность этих стратегий?

                                                                    Ни как, я ради собственного интереса хотел бы посмотреть статистику.
                                                                    В тестах человек должен был бы научиться, а этого, вроде как, не происходило. Статистика у людей в тестах хуже, чем у голубей.

                                                                    Опять таки, какая разница, сколько ситуаций рассматривается? По вашему, для одного эксперимента вероятность одна, а для нескольких (независимых друг от друга) — другая?


                                                                    На мой взгляд, именно в этом вся проблема. Конкретная ситуация (игра) против эксперимента. И получается одна часть людей рассматривает, как эксперимент, и получает шанс 2 к 3, а другая часть людей рассматривает, как игру и не может поверить в этот шанс. Этот момент надо рассматривать с психологической точки зрения, я сам не мог поверить в шанс 2 к 3 выиграть при смене двери, пока не вывел сознание из ситуации игры. Пока я мысленно стоял перед дверьми и «надеялся» выиграть, я не мог поверить в шанс 2 к 3, если во втором «туре» сменю дверь. И даже сейчас, когда я пониманию, что выбрав другую дверь у меня больше возможности выиграть, сделать реальный выбор в пользу другой двери тяжело, потому что остается какая-то надежда, что машина за дверью, выбранной сначала.
                                                                    Проведите единственный эксперимент: Попросите кого-нибудь дома спрятать за одной из дверей Ваш ужин, потом «ведущий» откроет одну дверь, за которой нет ужина. И у Вас будет шанс сменить дверь или оставить ту, которую выбрали изначально. Будете менять? Ужин лучше заменить, чем-то более ценным и на больший срок.
                                                                    Вот тогда Вы почувствуете проблему выбора, может быть, если «приз» будет действительно ценным.

                                                                    Да, и там наглядно видно, что при смене двери вероятность победы в 2 раза выше. И там никакого обучения не происходит. Первая программа всегда меняет дверь, вторая — никогда не меняет. И ни одна из них ничему не учится в процессе. То есть, если я правильно вас понял, программы Caullerd'а подходят под ваше определение «игры, а не тестов». Как, кстати, и почти все прочие симуляции этой задачи.


                                                                    Да, подходят.

                                                                    Это, конечно, не большая выборка (по тысяче на каждый вариант). Но по ней не выходит 2 к 3. Если взять в процентах 1 к 3 это примерно 33.3, 2 к 3 примерно 66.6.
                                                                    А по результатам Caullerd`а получается 1 к 3 — 37, а 2 к 3 — 60,4.
                                                                    Спишем на погрешность и малую выборку
                                                                    Интересно было бы посмотреть на большей выборке.
                                                                    • 0
                                                                      В тестах человек должен был бы научиться, а этого, вроде как, не происходило. Статистика у людей в тестах хуже, чем у голубей.
                                                                      Потому что тестирование не одинаковое:
                                                                      Голуби 30 дней с призами
                                                                      Люди 200 раз без призов
                                                                      • 0
                                                                        К сожалению, тут сыграла не малая выборка, а ошибка при написании кода.
                                                                        Я увеличил количество игр на пару порядков, и результаты остались теми же, примерно 37% и 62%.
                                                                        Оказалось, что из-за неверных параметров функции вычисления случайного значения, которая возвращала случайное число от 1 до 3 для задания «призовой» двери и начального выбора игрока — примерно в 50% случаев возвращалось значение 2, а 1 и 3 делили между собой по 25%.

                                                                        После корректной настройки, когда все числа получили ~33% вероятности выпадения — итоговые результаты стали следующими:

                                                                        Всегда меняем свой первоначальный выбор.
                                                                        В среднем выиграно в 10000 партий по 100 игр: 66.557

                                                                        Всегда настаиваем на первоначальном выборе.
                                                                        В среднем выиграно 10000 партий по 100 игр: 33.313

                                                                        Как видно, все пришло в соответствие с теорией.

                                                                        Насчет проблемы смены выбора, я вас прекрасно понимаю. Хотелось бы сказать, что ваш вариант с ужином еще не самый интересный :)
                                                                        Скажем, вы в реальности стали жертвой ведущего-маньяка, который хочет «сыграть с вами в игру»: предлагает вам выбрать дверь, за которой ключ к свободе, а за другими — мучительная смерть (предположим, что он честный маньяк, и ему не интересно во все смерть засовывать, давая вам ложную надежду.)
                                                                        Тут уже страх сменить дверь на смертельную будет ох каким немаленьким. Но если успокоиться и подумать, даже если это может стать вашим последним выбором в жизни, стоит ли верить в 33 процента больше, чем в 66?
                                                                • –1

                                                                  Вооот! Искал этот комментарий (и дождался от человека, по его словам ничего не понимающего в "вероятностях" ;).


                                                                  На самом деле спорящие стороны обе частично правы, ибо дилема происходит из-за неполного (вернее куцего что-ли) определения условий задачи… И голуби тут не совсем как-бы причём...


                                                                  Если рассматривать вероятности угадывания при смене двери и без, при как минимум 3-х повторах (т.е. строго говоря соблюдая необходимое правило для оценки вероятности — массовый характер, желательно бесконечно долго), тогда — да все как написано — дверь нужно менять.


                                                                  Если рассматривать вероятность угадывания один единственный конкретный раз (исключая условие "массовый характер" и предыдущие "опыты" других людей), то вероятности (нет уже нельзя говорить про вероятности, мат-ожидания и иже с ними), скорее необходимости что-ли менять дверь — как таковой — нет. Ибо равновероятно, что во втором туре именно в этот (важный для вас) раз — вы получите машину. Т.е. в этом конкретном туре она равна 1/2 (независимо от смены двери). И это кстати также видно на той же картинке из википедии — из 6-и человек 3-м досталась машина и 3-м — коза. Просто люди обращают внимание только на нижний левый угол (когда дверь меняли). Но… в том то и дело, что в одном единственном конкретном случае абсолютно не важно менялась дверь или нет, ибо изначально равновероятно она могла быть уже выбрана верно.


                                                                  Комбинаторика наряду с теорией вероятностей, очень строгая наука, где для точного анализа, условия задачи должны быть строго оговорены. Многие кстати путают вернее иногда неверно связывают частотные и вероятностные характеристики (например количество равновероятных комбинаций и вероятности их выпадения в зависимости от различных условий).


                                                                  1. В качестве примера чуть поменяем условия (исключая необходимое условие бесконечности проведения опытов): Это шоу происходит один единственный раз (от слова совсем). Поможет ли играющему смена двери выиграть машину, по сравнению с тем как если бы вы ее не меняли? Ответ — нет.
                                                                  2. Другой пример: Ежедневное шоу. Насколько быстрее у компании, осуществляющей "бесплатную" раздачу машин, закончатся деньги, если каждый участник всегда будет менять дверь (по сравнению с тем как если бы ее всегда не меняли)? Ответ — в два раза быстрее (2/3 в сравнении к 1/3).

                                                                  Ну и возвращаясь к голубям, учитывая что делая это раз за разом "смена двери" действительно повышает шансы добраться до корма, делается вывод — нужно менять дверь. Что не отменяет тот факт, что в единственном конкретном случае (а человек участвует в шоу ровно один раз), это абсолютно не важно (если не ставить целью разорить фирму, проводящую шоу).


                                                                  Поэтому многие именитые математики и сделали такие заявления, т. к. подходя к задаче комбинаторно, они рассматривали единственное действие, т.е. выигрыш конкретного участника, а не общий игровой фонд всех участников за год, с целью разорения фирмы (т. е. при многократно повторяемых шоу).

                                                                  • 0
                                                                    Конечно, у сменивших дверь процент победы выше. 66.(6)%, как и вытекает из теории вероятности. От того, что Вы сыграете в игру один раз, а не сто, ситуация не изменяется: смена выбора увеличивает вероятность выигрыша, потому что ведущий делится информацией, и отказаться от смены двери — отказаться от подсказки.
                                                                    • +1
                                                                      отказаться от подсказки...

                                                                      а теперь представим, что первый раз вы не выбирали дверь… ведущий же все равно откроет дверь с козлом. Т.е. что изменилось — вы тыкаете в какую-то дверь (вероятность выбора правильной в этом случае один к двум), как на это влияет выбрана она была до этого или нет?


                                                                      нет про частотный анализ и мат ожидание не нужно, это понятно как раз, вы ответьте на прямо поставленный вопрос...


                                                                      ПС Если, что вопрос не мой, задаёт профессор хановерского университета… я его втянул в дискуссию

                                                                      • +1
                                                                        что изменилось

                                                                        Изменилась постановка задачи. Теперь ведущий может открыть любую из дверей с козлами и вероятность выбрать после этого дверь с призом действительно становится 50%.

                                                                        В исходной же задаче ведущий не может открыть ту дверь, которую выбрал игрок. Таким образом, если игрок изначально выбрал дверь с козлом (а вероятность этого — 2/3, кстати, с этим вы согласны или тут, по вашему, тоже 50 на 50?), то у ведущего нет выбора — он может открыть только одну единственную дверь с козлом. А за второй дверью будет приз, который и получит игрок, если поменяет свой выбор. Если же изначально была выбрана дверь с призом (а вероятность этого события — 1/3), то ведущий может выбрать, какую из оставшихся дверей открыть. И в обоих случаях игрок проиграет при смене своего выбора.

                                                                        Путем совсем несложных подсчетов, можем теперь получить и общую вероятность выигрыша при смене двери:
                                                                        2/3 (вероятность выбора козла изначально) * 1 (вероятность того, что после открытия двери ведущим за второй дверью будет приз) + 1/3 (вероятность выбора приза) * 0 (все та-же вероятность того, что после открытия двери ведущим за второй дверью будет приз) = 2/3 * 1 + 1/3 * 0 = 2/3

                                                                        Для вашей же задачи, где мы дверь изначально не выбираем, а только после открытия ведущим одного из козлов, мы имеем вероятность 1/2, потому как просто выбираем уже из двух дверей и выбор игрока никак не ограничивает свободу действий ведущего.
                                                                        • 0
                                                                          не может открыть ту дверь, которую выбрал игрок.

                                                                          вы таки не поняли или я не понятно объяснил: что меняет выбранная дверь, или вернее какого козла ведущий откроет — первого или второго? т.е. первоначальный выбор не изменяет ничего, дверь с козлом будет открыта все равно, второй выбор (ткнуить снова в ту же дверь или в другую) ничего не меняет… убрав одного из козлов, это ведущий изменил условия задачи, сравняв вероятности машины для обеих оставшихся дверей, вне зависимости от "клейма" предыдущего выбора.


                                                                          "ваша" математика понятна и в случае команды игроков и многократных повторов, без обмана — все так, что не отменяет всего выше описанного для каждого конкретного игрока...

                                                                          • +1
                                                                            какого козла ведущий откроет — первого или второго?

                                                                            Конкретный козел действительно не важен. Значение имеет количество дверей, доступных ведущему для открытия. «Запрещая» ему открывать одну из них (выбрав ее) игрок получает преимущество по сравнению с ситуацией, где такого запрета нет.

                                                                            т.е. первоначальный выбор не изменяет ничего, дверь с козлом будет открыта все равно, второй выбор (ткнуить снова в ту же дверь или в другую) ничего не меняет…

                                                                            Меняет. И я описал в предыдущем комментарии, как именно меняет.

                                                                            убрав одного из козлов, это ведущий изменил условия задачи, сравняв вероятности машины для обеих оставшихся дверей

                                                                            В вашей задаче, где ведущий может открыть любую дверь — да, сравнял. В исходной задаче, где он не может открыть выбранную дверь — нет, там вероятности 33/66.

                                                                            в случае команды игроков и многократных повторов, без обмана — все так, что не отменяет всего выше описанного для каждого конкретного игрока...

                                                                            То есть вы хотите сказать, что для одного отдельного игрока вероятность 50/50, но если таких отдельных игроков взять много, то для них она будет 33/66?

                                                                            П.С. еще из соседней ветки
                                                                            И это кстати также видно на той же картинке из википедии — из 6-и человек 3-м досталась машина и 3-м — коза.

                                                                            Если вы внимательно посмотрите на картинку, то заметите, что из этих 6 человек 3 меняли свой выбор, а 3 — не меняли. Так что совсем не удивительно, что в результате у троих есть машина, а у троих нет: 1/3 (вероятность выиграть, не меняя дверь) * 3 (не меняли свой выбор 3 человека) + 2/3 (вероятность выиграть, меняя дверь) * 3 (меняли свой выбор тоже 3 человека) = 1/3 * 3 + 2/3 * 3 = 3.

                                                                            Если бы все 6 человек не меняли дверь, то победителей было бы 4, а не 3.
                                                                            • 0
                                                                              В любом случае, это стопроцентная угадайка, так как подсказок, за какой дверью автомобиль, так и нет. Так что во всех случаях выбор будет случайным, а конкретные цифры (1/3 или 2/3) всё равно ничего особо не решат для данного конкретного игрока.
                                                                              • +1
                                                                                а конкретные цифры (1/3 или 2/3) всё равно ничего особо не решат для данного конкретного игрока.


                                                                                Представьте ситуацию: есть 2 стула стола, на которых стоят непрозрачные коробки. На одном столе 2, на втором — 100. При этом, в одной коробке на каждом столе лежит по 1000 долларов, а остальные — пустые. У вас есть возможность показать пальцем одну любую коробку и забрать ее со всем содержимым. С какого стола будете брать?

                                                                                Следуя вашей логике, конкретные цифры (1/2 или 1/100) тут тоже ничего особо не решат для данного конкретного игрока. Так как
                                                                                это стопроцентная угадайка, и подсказок, в какой коробке деньги, так и нет. Так что во всех случаях выбор будет случайным.
                                                                              • 0
                                                                                Если бы все 6 человек не меняли дверь, то победителей было бы 4, а не 3

                                                                                сюда кралось лишнее НЕ
                                                                                • 0
                                                                                  Да, «не» там лишнее. Спасибо.
                                                                                  Тот комментарий писался в такое время, когда комментарии писать уже не стоило)
                                                                            • –1

                                                                              кстати, все бы изменилось, если бы первый выбор что-то менял, например вылет или выигрыш игрока, неравнозначность козлов А и Б, и т.д.

                                                                    • 0
                                                                      Речь ведь не об угадывании, а о выборе стратегии принятия решения. Да, возможно вы действительно угадали. Шанс на это 1/3. А вот шанс на то, что не угадали — 2/3. Следовательно, если ваша стратегия выиграть — вы выберите вариант с наибольшей вероятностью выигрыша (спасибо кэпу, что подсказал эту формулировку )).
                                                                    • 0
                                                                      Очень странно, но эту задача меня достала. :) Друг мой рассказал эту задачку, и я сказал что не буду строго выбирать, а брошу монетку и шансы у меня будут 50 на 50. Он утверждал что если поменяю свой первоначальный выбор, то шансы на выигрыш у меня будут 2/3, то есть условно открытая дверь ведущим плюсуется к шансом другой двери. В этом и была загвоздка, я никак не мог понять почему плюсуем. Затем начали экспериментировать на стаканчиках. И тут я увидел как это происходит. И так
                                                                      • 0
                                                                        Вот теперь понятно. Спасибо.
                                                                  • +5
                                                                    встретить, или не встретить динозавра на улице тоже, простите равновероятные события (потому что два)?
                                                                    • +1
                                                                      Равновероятность — это математическое понятие, а не интуитивное. Если мы будем проводить эксперимент и кидать монету и посчитаем после этого, то будет 50 на 50. Если будем звать людей выбирать из двух дверей, то будет тоже 50 на 50. А если позовем математика выбирать, то будет 99%.

                                                                      Правильный ответ, у вас вероятность выиграть 50%. А у математика 99%. Здесь нет противоречия, математик выигрывает в среднем 99 из 100, а вы 1 из 2.
                                                                      • 0
                                                                        Математик выбирает другую дверь в среднем 99 из 100. Голуби в 96,33% случаев выбирали другую дверь. Но вот в скольких процентах этот вариант оказался выигрышным? Это уже совсем другой вопрос.
                                                                        • 0
                                                                          2/3 же
                                                                          • 0
                                                                            Именно. Но никак не:
                                                                            Правильный ответ, у вас вероятность выиграть 50%. А у математика 99%. Здесь нет противоречия, математик выигрывает в среднем 99 из 100, а вы 1 из 2.
                                                                            • 0
                                                                              Если проследить конкретную ветку, можно увидеть, что там выбирают из двух дверей, когда изначально их было 100.
                                                                              Поэтому в той задаче будет 99%. Потому что математик будет выбирать «другую» дверь всегда.
                                                                      • 0
                                                                        То есть, если эти варианты равновероятны, а изначально вероятность выбрать дверь с машиной была 1/100 — то теперь эти 2 равноявероятных варианта каждый равны 1/100… но ведь их сумма должна быть равна единице.
                                                                        • +3
                                                                          Не равновероятными.

                                                                          Поясню на основе «парадокса» детей:

                                                                          1) Вероятность рождения мальчика 1/2. У человека двое детей, один из них мальчик, какова вероятность того, что второй — девочка?
                                                                          Ответ
                                                                          2/3. Эквивалентный вопрос: из бесконечного множества людей с равновероятным выбором того или иного пола нам выбрали двух человек, один из них мужчина, какова вероятность, что второй — женщина?

                                                                          2) Вероятность рождения мальчика 50%. У человека двое детей, старший — мальчик, какова вероятность того, что младший — девочка?
                                                                          Ответ
                                                                          1/2. Эквивалентный вопрос: из бесконечного множества людей с равновероятным выбором того или иного пола мы последовательно отбираем двух человек, первый — мужчина, какова вероятность, что второй — женщина?

                                                                          Эквивалентные формулировки в спойлерах приведены для того, чтобы было понятно, где исчезает равновероятность за счет предвыбора.
                                                                          • +1
                                                                            Вторая задача сформулирована как-то не так. От добавления прилагательных «младший-старший» смысл от первой не меняется.
                                                                            «Вероятность рождения мальчика 50%. У человека двое детей, какова вероятность того, что они разнополые » Даст ответ 1/2.
                                                                            • +2
                                                                              Меняется. Мы меняем пространство элементарных исходов. К слову, в этом же заключается «неоднозначность» трактовки первого случая, описанная в статье в Википедии ниже. Когда мы упорядочиваем набор детей и начинаем их проверять одного за другим с соответствии с установленным отношением порядка, это становится эквивалентно последовательности независимых испытаний в виде выборки из бесконечного множества (перебор детей одного за другим равносилен наблюдению их рождения друг за другом в случайно взятой семье). В этом случае мы перестаем выбирать из конечного пространства элементарных исходов, в котором вероятность нахождения элемента в наборе определена предварительной выборкой, мы начинаем выбирать из потока независимых событий, формируя этот набор заново.

                                                                              И возвращаясь к вашей модификации формулировки. «Разнополые» != «один из них мальчик», поскольку в первом случае мы включаем в пространство исходов вариант «две сестры», перебирая все 4 возможные комбинации (ММ, МД, ДМ, ДД), а во втором вариант «две сестры» отсутствует, исключенный условием «один из них мальчик»… но все это справедливо, если мы смотрим на семью целиком, рассматривая наборы из двух предварительно выбранных элементов, если же мы берем и проверяем детей по очереди, то вероятность автоматически становится 1/2, потому что от факта установления пола одного ребенка пол другого не зависит никак — его вероятность быть совпадающим или отличным от первого всегда была и будет 1/2 (гомозиготных близнецов не считаем, само собой :) Хотя их тут и быть не может, вероятность мы определяем для рождения одного человека же).
                                                                              • +1
                                                                                Да, я был не прав, Старшинство мальчика ограничивает выбор только до двух возможных вариантов. (я сначала забыл исключить вариант мальчик и старшая девочка, поскольку он практически сливается с вариантом старший мальчик и девочка)
                                                                                image
                                                                            • 0
                                                                              Разве в первом вопросе ответ 2/3? https://ru.wikipedia.org/wiki/Парадокс_мальчика_и_девочки
                                                                              • 0
                                                                                Именно так. В вики другая формулировка, т.е. по сути другая задача.
                                                                            • 0
                                                                              2 равновероятных вариант будет только в том случае, если рассматривать это как новую задачу. Но у нас задача изначально другая.
                                                                              Изначально 3 двери, за 2-умя их них козлы. Значит шанс ткнуть неправильную дверь = 2/3. Монти-Холл в любом случае откроет дверь с козлом. А значит в 2 из 3 случаев если мы изменим выбор, то попадем на выигрышную дверь (т.к. вторая проигрышная уже открыта Монти-Холлом, а первую мы выбрали сами).
                                                                              • 0
                                                                                нет, это не равновероятные варианты. По крайне мере для человека, который знает, какую дверь выбрали в первый раз.
                                                                                Это выбор между вероятностью 1/2 и 1/3. Приведите к общему соотношению и получите соотношение 3 к 2.
                                                                              • 0
                                                                                Еще проще если увеличить а сокртить количество вариантов до двух.
                                                                                Представьте что двери всегда две. После вашего укадывания ведущий открывает одну дверь (всегда неверную)
                                                                                После этого остается всегда верный вариант и ваши шансы после того как ведущий открыл дверь всегда 100%
                                                                                • 0
                                                                                  Абсолютно верно!
                                                                                  • НЛО прилетело и опубликовало эту надпись здесь
                                                                                  • +2

                                                                                    Люблю поверять ерунду брутфорсом.


                                                                                    Код на Питоне
                                                                                    from random import sample, randint
                                                                                    tests = [(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)]
                                                                                    
                                                                                    #Просто рандом
                                                                                    def get_r():
                                                                                        return randint(0,2)
                                                                                    
                                                                                    #Выбор наугад
                                                                                    def rand_guesser(t_num):
                                                                                        guess = get_r()
                                                                                        return tests[t_num][guess]
                                                                                    
                                                                                    #Смена выбора после открытия двери
                                                                                    def educated_guesser(t_num):
                                                                                        test = tests[t_num]
                                                                                        pre_guess = get_r() #Первичный угад
                                                                                        excluded_door = None
                                                                                        for i in range(3): #Открываем одну дверь
                                                                                            if test[i] == 0 and i != pre_guess:
                                                                                                excluded_door = i
                                                                                                break
                                                                                        else:
                                                                                            print (test, pre_guess)
                                                                                            assert False, "That error, you know"
                                                                                        variants=set([0,1,2])
                                                                                        variants.remove(excluded_door)
                                                                                        variants.remove(pre_guess) #возвращаем оставшуюся дверь
                                                                                        assert len(variants) == 1
                                                                                        return test[variants.pop()]
                                                                                    
                                                                                    r_sc=0
                                                                                    e_sc=0
                                                                                    for i in range(100000):
                                                                                        s = randint(0,2)
                                                                                        r_sc += rand_guesser(s)
                                                                                        e_sc += educated_guesser(s)
                                                                                    print(r_sc, e_sc)

                                                                                    Написал действия в точности так, как в условии задачи, ничего не упрощая. Так что не надо сообщать, что где-то можно оптимизировать — я знаю. Получается действительно 66% процентов угадываний.

                                                                                    • +11

                                                                                      Вообще, на бытовом уровне это можно объяснить так. Вы выбираете случайно между призом и двумя козлами. Вероятность, что ваш выбор — это приз — 1/3. Затем ведущий убирает одного козла. (это предложение не является призывом к свержению государственной власти). Отвлёкся. Убирает одного козла. Вы ничего не делаете, вероятность того, что вы выбрали приз по прежнему 1/3. Значит, на втором оставшемся варианте — оставшиеся 2/3.

                                                                                      • +2
                                                                                        Это часть ответа, потому что после этого остается вопрос, почему изменилась вероятность неоткрытой и невыбранной двери, а вероятность выбранной двери не изменилась? И тут в ход идет то, что ведущий не может открыть дверь, которую выбрал игрок, что влияет на вероятность.
                                                                                        • +3
                                                                                          Спасибо. Вот после вашего комментария я наконец понял как это работает. Все предыдущие комменты меня не убеждали что вероятность не 50%.
                                                                                          • –4

                                                                                            Если вы всё ещё сомневаетесь, то такое объяснение:


                                                                                            Представьте перед внутренним взором три двери, одну из которых вы выбрали. После того как ведущий откроет одну из дверей, за которой ожидаемо оказывается козел, остаются две двери. Одну из них вы выбрали… Теперь отложите в сторону логику и разум, прислушайтесь к себе. Какая из этих дверей более интересная? Та дверь, которую вы выбрали, или другая, которую почему-то не выбрал ведущий?

                                                                                            • +1
                                                                                              Спасибо тебе добрый человек
                                                                                          • +2
                                                                                            Кроме того, он не может открыть и дверь с призом, что, вроде бы, тоже важно. Где-то попадалась статья с рассуждениями, что если ведущий сам не знает, где приз, и наугад открывает одну из дверей, и там случайно оказывается козёл, то менять свой изначальный выбор нет смысла. Если я ничего не путаю, потому что когда я начинаю думать над этой задачей, меня начинает глючить. Надо ещё одну симуляцию написать…
                                                                                            • 0
                                                                                              Да, в этом случае менять нет смысла, зато если ведущий сам не знает где приз, то появляется вариант, что может случайно открыть дверь с призом.
                                                                                              Если в этом случае приз, обнаруженный ведущим, дают вам, это аналогично смене двери в исходной задаче, вероятность выигрыша становиться 2/3.
                                                                                          • 0
                                                                                            Думаю автору статьи стоит добавить это объяснение в текст.
                                                                                            P.S. Сам пришел к такому же интуитивно-логическому объяснению.
                                                                                            • +1

                                                                                              Вы намекаете, что если в голосовании два тура, то во втором нужно голосовать не за того же кандидата, что и в первом?

                                                                                              • 0
                                                                                                > вероятность того, что вы выбрали приз по прежнему 1/3

                                                                                                Почему, если дверей уже две?..
                                                                                              • +1
                                                                                                Я когда-то для иллюстрации знакомым гуманитариям написал симулятор на джаваскрипте: https://jsfiddle.net/rmbzhona/
                                                                                                Вводим число испытаний (допустим, 100), жмём «Go!», жёлтая полоска показывает, сколько раз из этих ста мы бы выиграли, не поменяв выбор, а красная — поменяв.

                                                                                                Надо заметить, что задача, по-сути, тавтология — это окончательно понимаешь, записывая вероятности в программе: одна дверь из трёх равна одной третьей, а из двух — двум третьим…
                                                                                                • 0
                                                                                                  я вот тоже решил написать на JS и проверить.
                                                                                                  написал — получил 33% и 50% соответственно и долго пытался понять что я сделал ну так…
                                                                                                  а потом присмотрелся к вашему решению.
                                                                                                  	if(which_door()) {initial++;}
                                                                                                          else {changed++;}
                                                                                                  

                                                                                                  где
                                                                                                  which_door()
                                                                                                  


                                                                                                  у вас возвращает ```true``` or ```false```
                                                                                                  и теперь внимание initial вы получаете 33% равный теоретическому шансу на выигрыш, а в changed у вас 66% тех которые вы не угадали, а не тех когда вы сменили выбор и угадали.

                                                                                                  my JS solution
                                                                                                  // rand int from min (inluded) to max (excluded) [MDN example]
                                                                                                  function randRange(min, max){
                                                                                                    return Math.floor(Math.random() * (max - min)) + min;
                                                                                                  }
                                                                                                  
                                                                                                  function game (n, repick) {
                                                                                                    var list = new Array(n);
                                                                                                    list.fill(0);  // 0 - no prize
                                                                                                    var doorWithPrize = randRange(0, n);
                                                                                                    
                                                                                                    list[doorWithPrize] = 1; //put prize behind door
                                                                                                    
                                                                                                    var PickedDoorNumber = randRange(0, n); // initial door pick
                                                                                                  
                                                                                                    while(list.length > 2 && repick === true) {
                                                                                                      for(var i = 0, len = list.length; i < len; i++) {
                                                                                                        if(list[i] === 0 && i !== PickedDoorNumber) { // choose door without prise and not picked by player
                                                                                                          list.splice(i, 1);   // open one door - reduce doors that we can pick now
                                                                                                          break;
                                                                                                        }
                                                                                                      }
                                                                                                  
                                                                                                      PickedDoorNumber = randRange(0, list.length); // pick new door from doors that left
                                                                                                    }
                                                                                                    return list[PickedDoorNumber] === 1; //win prize ?
                                                                                                  }
                                                                                                  
                                                                                                  
                                                                                                  function test (N, n) {
                                                                                                    console.log('start without repick')
                                                                                                    var result = [];
                                                                                                    for(var i = 0, len = N; i < len; i++ ) {
                                                                                                      result.push(game(n, false));
                                                                                                    }
                                                                                                  
                                                                                                    var winnings = result.filter(function(itm){ return itm === true});
                                                                                                    console.log('Win percent: ', (winnings.length / N).toFixed(4));
                                                                                                  
                                                                                                  
                                                                                                    console.log('start with repick')
                                                                                                    var result = [];
                                                                                                    for(var i = 1, len = N; i <= len; i++ ) {
                                                                                                      result.push(game(n, true));
                                                                                                    }
                                                                                                  
                                                                                                    var winnings = result.filter(function(itm){ return itm === true});
                                                                                                    console.log('Win percent: ', (winnings.length / N).toFixed(4));
                                                                                                    return 'done';
                                                                                                  }
                                                                                                  
                                                                                                  test(10000, 3);
                                                                                                  



                                                                                                  если заметите какие-то проблемы в коде пишите в личные сообщения, обсудим. Возможно, я тоже где-то ошибаюсь.

                                                                                                  По статье в целом, таки да смена двери дает в итоге больший шанс на победу хоть это и контр-интуитивно.
                                                                                                  • +1
                                                                                                    del
                                                                                                    • +1
                                                                                                      PickedDoorNumber = randRange(0, list.length); // pick new door from doors that left
                                                                                                      

                                                                                                      Вы тоже моделировали стратегию забывчивого игрока, т.е. в половине случаев даже после подсказки ведущего он у вас фактически сохраняет свой первоначальный выбор, а не меняет его.

                                                                                                      а в changed у вас 66% тех которые вы не угадали, а не тех когда вы сменили выбор и угадали.

                                                                                                      Вся суть задачи в том, что нет никакого «второго угадывания», а есть один случайный выбор и неслучайная возможность его инвертировать. Т.е., если игрок не угадал машину с первой попытки, то при инверсии выбора он получит ее гарантированно. Поэтому вероятность промахнуться первый раз и вероятность выиграть при смене выбора — это одна и та же вероятность.
                                                                                                      • 0
                                                                                                        SelenIT3, да спасибо мне уже объяснили мою ошибку в личныъ сообщениях
                                                                                                  • 0
                                                                                                    Получилось всё наоборот
                                                                                                    c++
                                                                                                    #include <iostream>
                                                                                                    #include <cmath>
                                                                                                    using namespace std;
                                                                                                    
                                                                                                    int r13() {
                                                                                                    	return (double)rand() / (double)RAND_MAX * (double)3;
                                                                                                    }
                                                                                                    
                                                                                                    #define REP 0 //Повторять выбор или нет
                                                                                                    int main() {
                                                                                                    	cout << "STATUS\tPRIZE\tCHOOSE1\tDOOR1\tCHOOSE2\tDOOR2\tPERCENT\n";
                                                                                                    	int n = 0;
                                                                                                    	int win = 0;
                                                                                                    	while (true) {
                                                                                                    		//SET PRIZE
                                                                                                    		const int prize = r13();
                                                                                                    
                                                                                                    		//First choose
                                                                                                    		int choose1 = r13();
                                                                                                    
                                                                                                    		int openDoor1 = r13();
                                                                                                    		while (openDoor1 == choose1 || openDoor1 == prize)
                                                                                                    			openDoor1 = r13();
                                                                                                    
                                                                                                    		//Second choose
                                                                                                    		int choose2;
                                                                                                    		if (REP)
                                                                                                    			choose2 = choose1;
                                                                                                    		else {
                                                                                                    			choose2 = r13();
                                                                                                    			while (choose2 == choose1 || choose2 == openDoor1)
                                                                                                    				choose2 = r13();
                                                                                                    		}
                                                                                                    
                                                                                                    		int openDoor2 = r13();
                                                                                                    		while (openDoor2 == choose2 || openDoor2 == openDoor1)
                                                                                                    			openDoor2 = r13();
                                                                                                    
                                                                                                    		//Result
                                                                                                    		win += (openDoor2 == prize) ? 1 : 0;
                                                                                                    
                                                                                                    		cout << ((openDoor2 == prize) ? "WIN" : "LOOSE")
                                                                                                    			<< "\t" << prize
                                                                                                    			<< "\t" << choose1 << "\t" << openDoor1
                                                                                                    			<< "\t" << choose2 << "\t" << openDoor2
                                                                                                    			<< "\t" << (int)(100 * (double)win / (double)++n);
                                                                                                    		cin.get();
                                                                                                    	}
                                                                                                    	return 0;
                                                                                                    }
                                                                                                    


                                                                                                    Не пойму в чём ошибка
                                                                                                    • 0

                                                                                                      Как вы объясните свой алгоритм? Вот попробуйте как здесь сделать.

                                                                                                      • 0
                                                                                                        1) Задаём случайным образом номер двери, за которой находится приз. -> prize
                                                                                                        2) Выбираем случайно дверь. -> choose1
                                                                                                        3) Открываем из двух оставшихся любую, за которой нет приза. -> openDoor1

                                                                                                        Вариант 1:
                                                                                                        4) Выбираем дверь, выбранную во 2 шаге. -> choose2 = choose1
                                                                                                        Вариант 2:
                                                                                                        4) Выбираем дверь, не выбранную во 2 шаге и не открытую в 3 шаге. -> choose2

                                                                                                        5) Открываем ту дверь, которую не выбрал игрок и которую ещё не открывали. -> openDoor2
                                                                                                        6) Анализ результата
                                                                                                        • 0
                                                                                                          5) Открываем ту дверь, которую не выбрал игрок и которую ещё не открывали. -> openDoor2


                                                                                                          Зачем нам вообще эта дверь?
                                                                                                          И почему выигрышем считается ситуация, когда приз оказался именно за этой никем не открытой и никем не выбранной дверью?

                                                                                                          win += (openDoor2 == prize) ? 1 : 0;
                                                                                                          


                                                                                                          Собственно, если заменить условие на
                                                                                                          (choose2== prize)

                                                                                                          чтобы выигрышем считалась ситуация, когда приз за той дверью, которую выбрали, то все встает на свои места и вероятности выводятся правильные.
                                                                                                          • 0
                                                                                                            Зачем нам вообще эта дверь?

                                                                                                            После того как участник делал свой выбор, ведущий всегда открывал одну из оставшихся двух дверей, за которой, как он знал наперед, не было приза.


                                                                                                            Или же во второй раз ведущий открывает именно ту дверь, на которую указал игрок?