Pull to refresh

Вульгаризмы в механике: о вредности термина «замедление»

Reading time 4 min
Views 8.9K

Введение


Довольно часто, особенно в обиходе инженерных дисциплин, употребляется понятие «замедление» то есть ускорение, действие которого приводит к уменьшению модуля скорости. При этом такому ускорению приписывается некий отрицательный знак, подчеркивающий этот самый замедляющий эффект.

По моему скромному мнению данное понятие является не только избыточным, но и вредным с методической точки зрения. Оно бросает своего рода мутную вуаль на суть величин, описывающих механическое движение.

На самом деле, чтобы описать то же торможение автомобиля или парашютиста совершенно необязательно приписывать ускорению знак, достаточно понимания, что ускорение есть величина векторная и умения грамотно переходить от операций с векторами к операциям с их проекциями на оси выбранной системы координат.

Статья имеет своей целью развенчать необходимость использования термина «замедление» при решении практических задач механики, и, если читателя не смущает очередная лекция по теормеху, добро пожаловать под кат.

1. Понятие производной от вектора по времени


Рассмотрим вектор \vec b, такой, что

\vec b = \vec b(t)

то есть модуль и направление этого вектора зависят от времени. Вычислим изменение изменение этого вектора, произошедшее за промежуток времени \Delta t

\Delta \vec b(t) = \vec b(t + \Delta t) - \vec b(t)

Теперь, используя тот факт, что для векторов определена операция умножения на число, умножим (1) на величину, обратную приращению времени \frac{1}{\Delta t}. В силу того, что \Delta t > 0 мы получим вектор \frac{1}{\Delta t} \, \Delta \vec b(t), направленный в ту же сторону что и вектор (1) (см. рисунок 1)

Рис. 1. Геометрический смысл производной вектора по времени


Теперь перейдем к пределу при \Delta t \to 0

\lim_{\Delta t \to 0}  \frac{1}{\Delta t} \, \Delta \vec b(t) = \frac{d\vec b}{dt}

Соотношение (2) есть предел отношения приращения вектор-функции к приращению её аргумента и называется производной вектора по времени. Как видно из наших выкладок производная от вектора по времени также является вектором. Как направлен этот вектор?

Будем рассуждать, глядя на геометрическую интерпретацию на рисунке 1. Вектор \frac{1}{\Delta t} \, \Delta \vec b(t) занимает положение секущей по отношению к траектории, которую описывает конец вектора \vec b(t) за промежуток времени \Delta t. Эта траектория называется годографом вектор-функции \vec b(t). Секущая пересекает годограф в точках A и B. При стремлении \Delta t к нулю точка A остается неподвижной, а точка B смещается в сторону точки A. В пределе секущая займет положение касательной к годографу в точке A.

То есть, можно ввести следующее определение
Производная от вектора \vec b(t) по времени есть вектор \frac{d\vec b}{dt}, направленный по касательной к годографу вектора \vec b(t)

Таким образом, производная от вектора показывает, каким образом меняется как модуль, так и направление вектора. Ни о каком «знаке» производной тут речи не идет в принципе. И не может идти — производная от вектора по времени это так же вектор, а для вектора нет понятия знака.

2. Производная от вектора, постоянного по модулю


Допусти теперь что наш вектор обладает неизменной длиной, то есть

|\vec b(t)| = b = \text{const}

а меняется лишь его направление в пространстве. Будет ли у этого вектора отличная от нуля производная? Конечно будет! Умножим вектор скалярно сам на себя

\vec b \cdot \vec b = |\vec b| \, |\vec b| \, \cos 0 = b^2

Продифференцируем (3) по времени

\frac{d}{dt} (\vec b \cdot \vec b) = 2 \, b \, \frac{db}{dt}

Производная от модуля вектора \frac{db}{dt} равна нулю, ведь модуль не меняется во времени. Тогда, используя правило дифференцирования произведения раскрываем левую часть (4)

\frac{d\vec b}{dt} \cdot \vec b + \vec b \cdot \frac{d\vec b}{dt} = 0

используя свойство коммутативности скалярного произведения, получаем

2 \, \vec b \cdot \frac{d\vec b}{dt} = 0

или

\vec b \cdot \frac{d\vec b}{dt} = 0

То есть, скалярное произведение вектора на собственную производную равно нулю а значит

\vec b \perp \frac{d\vec b}{dt}

Таким образом, производная вектора с постоянной длиной не только не равна нулю, а она есть вектор, перпендикулярный исходному. Годографом такого вектора будет окружность с радиусом, равным длине вектора (рисунок 2).

Мы сталкиваемся с такой ситуацией, когда вычисляем ускорение точки, движущейся равномерно по окружности. У неё есть центростремительное ускорение, перпендикулярное вектору скорости.

Производная от вектора будет равна нулю лишь в том случае, если вектор не меняет ни модуль, ни направление.

Рис 2. Вектор с постоянной длиной, его годограф и производная


3. Скорость и ускорение


Теперь, исходя из вышеизложенного, дадим определение скорости материальной точки. Пусть положение точки в пространстве характеризуется вектором \vec r = \vec r(t), называемым радиус-вектором точки (см. рисунок 3). Тогда
Вектором скорости точки \vec v называется первая производная от радиус-вектора точки по времени

\vec v = \frac{d\vec r}{dt}

Вектор скорости точки направлен по касательной к её траектории.

Все верно — траектория и есть годограф радиус-вектора, причем выбор начала отсчета O из которого мы выпускаем радиус-вектор роли не играет.

Рис. 3. Векторы скорости и ускорения материальной точки


Аналогичным образом вводится и понятие ускорения
Вектор ускорения точки \vec a есть первая производная от вектора скорости точки по времени

\vec a = \frac{d\vec v}{dt}

Вектор ускорения направлен по касательной к годографу вектора скорости.

Геометрическая иллюстрация этих определений показана на рисунке 3. При движении точки по окружности с постоянной по модулю скоростью ускорение направлено точно к центру этой окружности (рисунок 4)



в полном соответствии с определением производной от вектора постоянного по модулю. В этом случае вектор ускорения как раз показывает каким образом меняется направление вектора скорости.

Заключение или откуда всё-таки берется знак


Решая задачу по механике мы неизбежно переходим от векторных уравнений к уравнениям в проекциях на оси выбранной системы координат. И, если вектор ускорения направлен против вектора скорости, то знак его проекции отличается от знака проекции вектора скорости. Причем последняя может быть отрицательной, а проекция ускорения — положительной, все зависит от выбранной системы координат!. Именно в этой ситуации в инженерной практике употребляют термин «замедление».

Однако знак проекции и её именование к механике отношения не имеют, они относятся уже к формальной процедуре вычислений при решении задачи и механического смысла не несут. Так что понятие «замедление» есть результат вольной интерпретации промежуточных результатов вычислений.

Благодарю за проявленное внимание!
Tags:
Hubs:
+7
Comments 67
Comments Comments 67

Articles