В начале 90-х создание трёхмерного игрового движка означало, что вы заставите машину выполнять почти не свойственные ей задачи. Персональные компьютеры того времени предназначались для запуска текстовых процессоров и электронных таблиц, а не для 3D-вычислений с частотой 70 кадров в секунду. Серьёзным препятствием стало то, что, несмотря на свою мощь, ЦП не имел аппаратного устройства для вычислений с плавающей запятой. У программистов было только АЛУ, перемалывающее целые числа.
При написании книги Game Engine Black Book: Wolfenstein 3D я хотел наглядно показать, насколько велики были проблемы при работе без плавающей запятой. Мои попытки разобраться в числах с плавающей запятой при помощи каноничных статей мозг воспринимал в штыки. Я начал искать другой способ. Что-нибудь, далёкое от
и их загадочных экспонент с мантиссами. Может быть, в виде рисунка, потому что их мой мозг воспринимает проще.В результате я написал эту статью и решил добавить её в книгу. Не буду утверждать, что это моё изобретение, но пока мне не приходилось видеть такого объяснения чисел с плавающей запятой. Надеюсь, статья поможет тем, у кого, как и у меня, аллергия на математические обозначения.
Как обычно объясняют числа с плавающей запятой
Цитирую Дэвида Голдберта (David Goldbert):
Для многих людей арифметика с плавающей запятой кажется каким-то тайным знанием.
Полностью с ним согласен. Однако важно понимать принципы её работы, чтобы полностью осознать её полезность при программировании 3D-движка. В языке C значения с плавающей запятой — это 32-битные контейнеры, соответствующие стандарту IEEE 754. Они предназначены для хранения и выполнения операций над аппроксимациями вещественных чисел. Пока я видел только такое их объяснение. 32 бита разделены на три части:
- S (1 бит) для хранения знака
- E (8 бит) для экспоненты
- M (23 бита) для мантиссы
Внутренности числа с плавающей запятой.
Три части числа с плавающей запятой.
Пока всё нормально. Пойдём дальше. Способ интерпретации чисел обычно объясняется с помощью такой формулы:
Именно это объяснение чисел с плавающей запятой все ненавидят.
И здесь я обычно начинаю терять терпение. Возможно, у меня аллергия на математическую нотацию, но когда я это читаю, в моём мозгу ничего не «щёлкает». Такое объяснение похоже на способ рисования совы:
Другой способ объяснения
Хоть это изложение и верно, такой способ объяснения чисел с плавающей запятой обычно не даёт нам никакого понимания. Я виню эту ужасную запись в том, что она разочаровала тысячи программистов, испугала их до такой степени, что они больше никогда не пытались понять, как же на самом деле работают вычисления с плавающей запятой. К счастью, их можно объяснить иначе. Воспринимайте экспоненту как окно (Window) или интервал между двумя соседними целыми степенями двойки. Мантиссу воспринимайте как смещение (Offset) в этом окне.
Три части числа с плавающей запятой.
Окно сообщает нам, между какими двумя последовательными степенями двойки будет число: [0,1], [1,2], [2,4], [4,8] и так далее (вплоть до [
,
]. Смещение разделяет окно на 
сегментов. С помощью окна и смещения можно аппроксимировать число. Окно — это отличный механизм защиты от выхода за границы. Достигнув максимума в окне (например, в [2,4]), можно «переплыть» вправо и представить число в пределах следующего окна (например, [4,8]). Ценой этого будет только небольшое снижение точности, потому что окно становится в два раза больше.Викторина: сколько точности теряется, когда окно закрывает больший интервал? Давайте возьмём пример с окном [0,1], в котором 8388608 смещений накладываются на интервал размером 1, что даёт нам точность
. В окне [2048,4096] 8388608 смещений накладываются на интервал 
, что даёт нам точность 
.На рисунке ниже показано, как кодируется число 6,1. Окно должно начинаться с 4 и заканчиваться следующей степенью двойки, т.е. 8. Смещение находится примерно посередине окна.
Значение 6,1 аппроксимированное с помощью числа с плавающей запятой.
Давайте возьмём ещё один пример с подробным вычислением представлением в виде числа с плавающей точкой хорошо известного всем нам значения: 3,14.
- Число 3,14 положительно
. - Число 3,14 находится между степенями двойки 2 и 4, то есть окно числа с плавающей запятой должно начинаться с
(см. формулу, где окно — это 
). - Наконец, есть
смещений, которыми можно выразить расположение 3,14 внутри интервала [2-4]. Оно находится в 
внутри интервала, что даёт нам смещение 
В двоичном виде это преобразуется в следующее:
- S = 0 = 0b
- E = 128 = 10000000b
- M = 4781507 = 10010001111010111000011b
Двоичное представление с плавающей точкой числа 3,14.
То есть значение 3,14 аппроксимируется как 3,1400001049041748046875.
Соответствующее значение в непонятной формуле:
И, наконец, графическое представление с окном и смещением:
Окно и смещение числа 3,14.
Интересный факт: если модули операций с плавающей запятой были такими медленными, почему в языке C в результате использовали типы float и double? Ведь в машине, на которой изобретался язык (PDP-11), не было модуля операций с плавающей запятой! Дело в том, что производитель (DEC) пообещал Деннису Ритчи и Кену Томпсону, что в следующей модели он будет. Они были любителями астрономии и решили добавить в язык эти два типа.
Интересный факт: те, кому в 1991 году действительно нужен был аппаратный модуль операций с плавающей запятой, могли его купить. Единственными, кому он мог понадобиться в то время, были учёные (по крайней мере, так Intel понимала потребности рынка). На рынке они позиционировались как «математические сопроцессоры». Их производительность была средней, а цена огромной (200 долларов 1993 года — это 350 долларов в 2016 году.). В результате уровень продаж оказался посредственным.
Надеюсь, статья была вам полезна!
