29 декабря 2016 в 14:55

Разработка → Магия числа 9

Еще в детстве научили меня умножать число от 1 до 9 на 9 по пальцам, многие наверное так умеют. Выставляете перед собой две руки, получается 10 пальцев, начиная с мизинца на левой руке и заканчивая мизинцем на правой руке.
image


После этого загибаем тот палец, номер которого надо умножить на 9. Например 4*9 т.е. нам нужно загнуть 4 палец (указательный на левой руке). После этого до загнутого пальца остается 3 пальца — это десятки (30), а после загнутого — 6 пальцев — это единицы (6). Итого получается 36. Ну и так далее.

Так вот, тогда в детстве, мне стало интересно почему так получается. И я заметил что если сложить числа в результате умножения числа на 9 между собой то всегда получится 9.

Например:

  • 2*9 = 18     1+8 = 9
  • 3*9 = 27     2+7 = 9
  • 4*9 = 36     3+6 = 9
  • 8*9 = 72     7+2 = 9
  • 9*9 = 81     8+1 = 9

Мне стало интересно, а не работает ли это и для больших чисел.

  • 11*9 = 99     9+9 = 18     1+8 = 9
  • 120*9 = 1 080     1+0+8+0 = 9
  • 1 765*9 = 15 885     1+5+8+8+5 = 27     2+7 = 9 (Порядок сложения может быть любой, например 1+5=6     6+8 = 14     1+4=5     5+8 = 13     1+3=4     4+5 = 9)

Ну и так далее, это работает для любого целого числа умноженного на 9.

И вот эта магия числа 9 не дает покоя мне до сих пор. Недавно я понял, что из выше сказанного можно сделать 1 вывод.

Если сложить все цифры любого целого числа, отличного от нуля, между собой до момента когда останется цифра состоящая из одного знака и в результате получится число 9, то значит исходное число делится на число 9 без остатка. А если получится любое другое число, то исходное число на 9 без остатка не делится.

Примеры:

  • 22 932     2+2+9+3+2 = 18     1+8=9 Число 22 932 делится на 9 без остатка (2 548 * 9 = 22 932)
  • 2 336 888 115     2+3+3+6+8+8+8+1+1+5 = 45     4+5 = 9 (259 654 235 * 9 = 2 336 888 115)
  • 45     4+5 = 9 Число 45 делится на 9 без остатка (5 * 9 = 45)

Ну и пример обратный:

  • 652 583     6+5+2+5+8+3 = 29     2+9 = 11     1+1 = 2 Число 652 583 не делится на 9 без остатка, так как мы получили не 9 а 2 в результате сложений. ( 652 583 / 9 = 72 509.2(2) )

Вот интересно, а догадывался ли до этого кто нибудь еще? Или может кто-то сможет доказать, что это не правда? Ну или может кто-то объяснит, что тут нет никакой магии и все объясняется вполне логично?