Задача о делении круга на три равных по площади части двумя отрезками
Invite pending
Ещё в начале изучения геометрии в школе, то есть в 7 или 8 классе я придумал задачу на построение, которую никто из того, кому я её предлагал, так и не смог решить.
Суть задачи заключается в том, что круг надо разделить двумя равными параллельными отрезками на три равных по площади части.
Несколько месяцев назад ко мне явилось алгебраическое решение данной задачи, приведённое под катом.
Разделим круг двумя равными параллельными отрезками, как показано на рисунке. Проведём диаметры окружности к точкам соединения этих отрезков с линией окружности. Таким образом, получаются четыре сектора. Площадь верхней трети, на рисунке обозначенной розовым, равна разнице площади сектора с углом $inline$\alpha$inline$ и треугольника с тем же углом $inline$\alpha$inline$, наложенного на этот сектор. Нижняя треть, обозначенная оранжевым, такая же. Белая треть, срединная, равняется сумме двух треугольников с углом $inline$\alpha$inline$ и двух секторов с углом $inline$\beta$inline$.
Необходимые формулы:
Так как белая и оранжевая (розовая) трети, по условию задачи, должны быть равны, справедливо следующее равенство:
$$display$$\frac{\pi r^2 \alpha}{360^\circ}-r^2sin \alpha=2r^2sin \alpha+2 \frac{\pi r^2 \beta}{360^\circ}$$display$$
Разделим на радиус в квадрате:
$$display$$\frac{\pi \alpha}{360^\circ}-sin \alpha=2sin \alpha + 2 \frac{\pi \beta}{360^\circ}$$display$$
Приведём подобные:
$$display$$\frac{\pi \alpha}{360^\circ}-\frac{2 \pi \beta}{360^\circ} =3sin \alpha$$display$$
Вынесем за скобки то, что можно вынести:
$$display$$\frac{\pi}{360^\circ}(\alpha-2 \beta)=3sin \alpha$$display$$
Разделим равенство на коэффициент перед синусом:
$$display$$\frac{\pi}{3*360^\circ}(\alpha-2\beta)=sin \alpha$$display$$
Зная свойство смежных углов $inline$\alpha+\beta=180^\circ$inline$, выполним преобразование:
$$display$$\alpha-2 \beta=\alpha -2(180^\circ-\alpha)=\alpha-360^\circ+2\alpha=3 \alpha+360^\circ$$display$$
Подставляя полученное выражение в ранее полученное равенство, имеем:
$$display$$\frac{\pi (3 \alpha+360^\circ)}{3*360^\circ}=sin \alpha$$display$$
Можно сократить:
$$display$$\frac{\pi (\alpha+120^\circ)}{360^\circ}=sin \alpha$$display$$
Переведя радианы в градусы ($inline$\pi=180^\circ$inline$), получим:
$$display$$\frac{1}{2}\alpha+\frac{1}{3}=sin\alpha$$display$$
Так как нас интересует угол $inline$\alpha$inline$, целесообразно выразить его значение:
$$display$$\alpha=-\frac{2}{3}+sin \alpha$$display$$
Пакет «Поиск решения» в моей любимой Microsoft Excel способен дать ответ на это уравнение, но мне он представляется нереалистичным: -2,23765490911911 радиан, или -128,208182299255 градусов. К сожалению, я не обладаю пока достаточными знаниями математики, чтобы решить это вручную, поэтому прошу сообщество «Хабрахабра» помочь найти решение, а лучше построение, которое изначально и было вопросом данной задачи.
Суть задачи заключается в том, что круг надо разделить двумя равными параллельными отрезками на три равных по площади части.
Несколько месяцев назад ко мне явилось алгебраическое решение данной задачи, приведённое под катом.
Разделим круг двумя равными параллельными отрезками, как показано на рисунке. Проведём диаметры окружности к точкам соединения этих отрезков с линией окружности. Таким образом, получаются четыре сектора. Площадь верхней трети, на рисунке обозначенной розовым, равна разнице площади сектора с углом $inline$\alpha$inline$ и треугольника с тем же углом $inline$\alpha$inline$, наложенного на этот сектор. Нижняя треть, обозначенная оранжевым, такая же. Белая треть, срединная, равняется сумме двух треугольников с углом $inline$\alpha$inline$ и двух секторов с углом $inline$\beta$inline$.
Необходимые формулы:
- площадь сектора круга: $inline$S=\frac{\pi r^2 \alpha}{360^\circ}$inline$ и $inline$S=\frac{\pi r^2 \beta}{360^\circ}$inline$
- площадь треугольника: $inline$S=r^2sin\alpha$inline$
Так как белая и оранжевая (розовая) трети, по условию задачи, должны быть равны, справедливо следующее равенство:
$$display$$\frac{\pi r^2 \alpha}{360^\circ}-r^2sin \alpha=2r^2sin \alpha+2 \frac{\pi r^2 \beta}{360^\circ}$$display$$
Разделим на радиус в квадрате:
$$display$$\frac{\pi \alpha}{360^\circ}-sin \alpha=2sin \alpha + 2 \frac{\pi \beta}{360^\circ}$$display$$
Приведём подобные:
$$display$$\frac{\pi \alpha}{360^\circ}-\frac{2 \pi \beta}{360^\circ} =3sin \alpha$$display$$
Вынесем за скобки то, что можно вынести:
$$display$$\frac{\pi}{360^\circ}(\alpha-2 \beta)=3sin \alpha$$display$$
Разделим равенство на коэффициент перед синусом:
$$display$$\frac{\pi}{3*360^\circ}(\alpha-2\beta)=sin \alpha$$display$$
Зная свойство смежных углов $inline$\alpha+\beta=180^\circ$inline$, выполним преобразование:
$$display$$\alpha-2 \beta=\alpha -2(180^\circ-\alpha)=\alpha-360^\circ+2\alpha=3 \alpha+360^\circ$$display$$
Подставляя полученное выражение в ранее полученное равенство, имеем:
$$display$$\frac{\pi (3 \alpha+360^\circ)}{3*360^\circ}=sin \alpha$$display$$
Можно сократить:
$$display$$\frac{\pi (\alpha+120^\circ)}{360^\circ}=sin \alpha$$display$$
Переведя радианы в градусы ($inline$\pi=180^\circ$inline$), получим:
$$display$$\frac{1}{2}\alpha+\frac{1}{3}=sin\alpha$$display$$
Так как нас интересует угол $inline$\alpha$inline$, целесообразно выразить его значение:
$$display$$\alpha=-\frac{2}{3}+sin \alpha$$display$$
Пакет «Поиск решения» в моей любимой Microsoft Excel способен дать ответ на это уравнение, но мне он представляется нереалистичным: -2,23765490911911 радиан, или -128,208182299255 градусов. К сожалению, я не обладаю пока достаточными знаниями математики, чтобы решить это вручную, поэтому прошу сообщество «Хабрахабра» помочь найти решение, а лучше построение, которое изначально и было вопросом данной задачи.