Кватернионы для чайников

В данной статье на конкретном примере рассматриваются особенности применения различных методов поворота 3D объекта в пространстве. В частности, сравнивается применение углов Эйлера и кватернионов.


Данная статья пригодится вам, если вы уже прочитали определение кватерниона и давно ищете наглядный материал для того, чтобы понять, зачем придумали кватернионы, и чем же они отличаются от углов Эйлера.


Наглядная демонстрация поворота по углам Эйлера уже была описана в статье на Хабре, особенно интересно поиграть с моделью самолётика (ссылки на программу в той же статье внизу).


Заручившись помощью чудесного сайта tinkercad.com представляю вам более наглядную демонстрацию поворотов предмета по углам Эйлера и сравнение с поворотом на основе кватерниона.


Демонстрация поворотов по углам Эйлера


Поворачивать будем избушку на курьих ножках. Вот ссылка на модель: Izba3D.


Избушка в изометрии
Рис. 1. Избушка в изометрии


Поворот вокруг оси Z, а потом оси Y


  1. Повернуть на 90 градусов вокруг оси Z

image2
Рис. 2. Результат поворота рисунка 1 на 90 градусов вокруг оси Z


  1. Повернуть на 90 градусов вокруг оси Y

image3
Рис. 3. Результат поворота рисунка 2 на 90 градусов вокруг оси Y


Поворот вокруг оси Y, а потом оси Z


  1. Повернуть на 90 градусов вокруг оси Y

image4
Рис. 4. Результат поворота рисунка 1 на 90 градусов вокруг оси Y


  1. Повернуть на 90 градусов вокруг оси Z

image5
Рис. 5. Результат поворота рисунка 4 на 90 градусов вокруг оси Z


Сравнение и выводы


Сравним получившиеся картинки:


image6
Рис. 6. Сравнение результатов поворота


Вывод: Порядок применения поворотов влияет на результат.


Кватернион


Гораздо удобнее пользоваться кватернионом, а именно, вектором и величиной поворота вокруг этого вектора.


Допустим, мы хотим повернуть избушку вокруг зелёного крылечка на 90, а потом снова на 90 градусов. Тогда пусть направление вектора совпадает с направлением зелёного крылечка.


image7
Рис. 7. Избушка на курьих ножках с зелёным крылечком


image8
Рис. 8. Поворот на 90 градусов вокруг вектора, совпадающего с крылечком


image9
Рис. 9. Второй поворот на 90 градусов вокруг вектора, совпадающего с крылечком


Литература
  1. Кручу-верчу, запутать хочу: углы Эйлера и Gimbal lock, http://habrahabr.ru/post/183116/, 23.06.2014
  2. Углы Эйлера, Википедия, http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A3%D0%B3%D0%BB%D1%8B_%D0%AD%D0%B9%D0%BB%D0%B5%D1%80%D0%B0, 23.06.2014
  3. Maths — AxisAngle to Quaternion, http://www.euclideanspace.com/maths/geometry/rotations/conversions/angleToQuaternion/, 23.06.2014
  4. Вращение и кватернионы. Сборник рецептов, http://www.gamedev.ru/code/articles/?id=4215, 23.06.2014
  5. https://tinkercad.com/

Метки:
кватернионы, quaternion, углы эйлера, 3D