В этом посте речь пойдёт о реализации процедуры вычисления значения функции распределения Стьюдента без использования каких-либо специальных математических библиотек. Только Java (либо C/C++, код вполне универсален).
История и будущее специальных функций
26 min
Translation
Перевод статьи Стивена Вольфрама (Stephen Wolfram) "The History and Future of Special Functions".
Выражаю огромную благодарность Кириллу Гузенко за помощь в переводе.
Статья представляет собой запись выступления, сделанного на Wolfram Technology Conference 2005 в Шампейне, штат Иллинойс, как часть мероприятия в честь 60-летия Олега Маричева.
Так, хорошо, сейчас я бы хотел вернуться к той теме, которую поднимал сегодня утром. Я бы хотел поговорить о прошлом и будущем специальных функций. Специальные функции были предметом моего увлечения как минимум последние 30 лет. И, полагаю, моя деятельность оказала весомое влияние в продвижении использования специальных функций. Однако, получилось так, что я никогда ранее не поднимал эту тему. Теперь пора исправить это.
Выдержка из Математической энциклопедии (под редакцией И. М. Виноградова)
СПЕЦИАЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ — в широком смысле совокупность отдельных классов функций, возникающих при решении как теоретических, так и прикладных задач в самых различных разделах математики.
В узком смысле под С. ф. подразумеваются С. ф. математич. физики, которые появляются при решении дифференциальных уравнений с частными производными методом разделения переменных.
С. ф. могут быть определены с помощью степенных рядов, производящих функции, бесконечных произведений, последовательного дифференцирования, интегральных представлений, дифференциальных, разностных, интегральных и функциональных уравнений, тригонометрических рядов, рядов по ортогональным функциям.
К наиболее важным классам С. ф. относятся гамма-функция и бета-функция, гипергеометрическая функция и вырожденная гипергеометрическая функция, Бесселя функции, Лежандра функции, параболического цилиндра функции, интегральный синус, интегральный косинус, неполная гамма-функция, интеграл вероятности, различные классы ортогональных многочленов одного и многих переменных, эллиптическая функция и эллиптический интеграл, Ламе функции и Матъё функции, дзета-функция Римана, автоморфная функция, некоторые С. ф. дискретного аргумента.
Теория С. ф. связана с представлением групп, методами интегральных представлений, опирающихся на обобщение формулы Родрига для классических ортогональных многочленов и методами теории вероятностей.
Для С. ф. имеются таблицы значений, а также таблицы интегралов и рядов.
В узком смысле под С. ф. подразумеваются С. ф. математич. физики, которые появляются при решении дифференциальных уравнений с частными производными методом разделения переменных.
С. ф. могут быть определены с помощью степенных рядов, производящих функции, бесконечных произведений, последовательного дифференцирования, интегральных представлений, дифференциальных, разностных, интегральных и функциональных уравнений, тригонометрических рядов, рядов по ортогональным функциям.
К наиболее важным классам С. ф. относятся гамма-функция и бета-функция, гипергеометрическая функция и вырожденная гипергеометрическая функция, Бесселя функции, Лежандра функции, параболического цилиндра функции, интегральный синус, интегральный косинус, неполная гамма-функция, интеграл вероятности, различные классы ортогональных многочленов одного и многих переменных, эллиптическая функция и эллиптический интеграл, Ламе функции и Матъё функции, дзета-функция Римана, автоморфная функция, некоторые С. ф. дискретного аргумента.
Теория С. ф. связана с представлением групп, методами интегральных представлений, опирающихся на обобщение формулы Родрига для классических ортогональных многочленов и методами теории вероятностей.
Для С. ф. имеются таблицы значений, а также таблицы интегралов и рядов.
История многих понятий и объектов математики прослеживается ещё со времён древнего Вавилона. Ведь ещё 4000 лет назад в Вавилоне была разработана и активно использовалась 60-ричная арифметика с различными сложными операциями.
В то время операции сложения и вычитания считались довольно простыми. Но это не касалось операций умножения и деления. И для того, чтобы производить подобные действия, были разработаны некоторые подобия специальных функций.
По сути, деление сводилось к сложению и вычитанию обратных величин. А умножение довольно хитрым образом сводилось к сложению и вычитанию квадратов.
Таким образом, практически любые вычисления сводились к работе с таблицами. И, конечно, археологам доводилось находить вавилонские таблички из глины с таблицами обратных величин и квадратов.
То есть у вавилонян уже была идея о том, что существуют некоторые кусочки математической или вычислительной работы, которые можно использовать многократно, получая весьма полезные результаты.
И, в какой-то мере, история специальных функций начинается с открытия принципов работы с последовательностями из этих самых «кусочков».
Следующие «куски» были, вероятно, теми, которые включают тригонометрию. Египетский папирус Ринда 1650-го года до н.э. уже содержал некоторые проблемы касательно пирамид, решение которых требовало тригонометрии. Стоит упомянуть, что была найдена вавилонская табличка с таблицей секансов.
Астрономы тех времён со своей моделью эпициклов, безусловно, уже вовсю использовали тригонометрию. И, опять-таки, все математические операции сводились к работе с небольшим количеством «специальных» функций.