Всем добрый день. В этой статье я бы хотел рассказать про пару алгоритмов, относящихся к вычислительной геометрии, которые, в настоящее время, широко применяются при разработке игр. Если Вы хотя бы раз программировали игру, в которой есть передвигающийся по локации персонаж(и), Вам приходилось решать задачу поиска пути. Об одном из подходов к решению этой задачи и я хочу рассказать.

С недавних пор существует элегантная формула для вычисления числа Пи, которую в 1995 году впервые опубликовали Дэвид Бэйли, Питер Борвайн и Саймон Плафф:


Казалось бы: что в ней особенного — формул для вычисления Пи великое множество: от школьного метода Монте-Карло до труднопостижимого интеграла Пуассона и формулы Франсуа Виета из позднего Средневековья. Но именно на эту формулу стоит обратить особое внимание — она позволяет вычислить n-й знак числа пи без нахождения предыдущих. За информацией о том, как это работает, а также за готовым кодом на языке C, вычисляющим 1 000 000-й знак, прошу под хабракат.

Оглавление (на данный момент)

Часть 1. Описание, операции, применения.
Часть 2. Ценная информация в дереве и множественные операции с ней.
Часть 3. Декартово дерево по неявному ключу.
To be continued...

Декартово дерево (cartesian tree, treap) — красивая и легко реализующаяся структура данных, которая с минимальными усилиями позволит вам производить многие скоростные операции над массивами ваших данных. Что характерно, на Хабрахабре единственное его упоминание я нашел в обзорном посте многоуважаемого winger, но тогда продолжение тому циклу так и не последовало. Обидно, кстати.

Я постараюсь покрыть все, что мне известно по теме — несмотря на то, что известно мне сравнительно не так уж много, материала вполне хватит поста на два, а то и на три. Все алгоритмы иллюстрируются исходниками на C# (а так как я любитель функционального программирования, то где-нибудь в послесловии речь зайдет и о F# — но это читать не обязательно :). Итак, приступим.

Введение

В качестве введения рекомендую прочесть пост про двоичные деревья поиска того же winger, поскольку без понимания того, что такое дерево, дерево поиска, а так же без знания оценок сложности алгоритма многое из материала данной статьи останется для вас китайской грамотой. Обидно, правда?

Следующий пункт нашей обязательной программы — куча (heap). Думаю, также многим известная структура данных, однако краткий обзор я все же приведу.
Представьте себе двоичное дерево с какими-то данными (ключами) в вершинах. И для каждой вершины мы в обязательном порядке требуем следующее: ее ключ строго больше, чем ключи ее непосредственных сыновей. Вот небольшой пример корректной кучи:

На заметку сразу скажу, что совершенно не обязательно думать про кучу исключительно как структуру, у которой родитель больше, чем его потомки. Никто не запрещает взять противоположный вариант и считать, что родитель меньше потомков — главное, выберите что-то одно для всего дерева. Для нужд этой статьи гораздо удобнее будет использовать вариант со знаком «больше».

Сейчас за кадром остается вопрос, каким образом в кучу можно добавлять и удалять из нее элементы. Во-первых, эти алгоритмы требуют отдельного места на осмотр, а во-вторых, нам они все равно не понадобятся.