Comments 7
Спасибо за увлекательное исследование, особенно интересно про бифуркационные диаграммы и циклы. Обратил внимание на точку примерно -1.55, где пересекаются все моды нижних порядков, она имеет какие-то интересные свойства на множестве Мандельброта? Мне кажется, там должно быть что-то тоже примечательное.
Таких точек много, они возникают каждый раз, когда сталкиваются разные ветки мод.
Вот произошла первая бифуркация и моды разделились на два жгута.
В конце концов это жгуты сомкнулись и моды массово пересеклись в одной точке.
Такие же точки есть и в местах, когда сталкиваются жгуты от последующих бифуркаций.
Это уже за «горизонтом событий», но какая-то преемственность поведения траекторий сохраняется.
Вот произошла первая бифуркация и моды разделились на два жгута.
В конце концов это жгуты сомкнулись и моды массово пересеклись в одной точке.
Такие же точки есть и в местах, когда сталкиваются жгуты от последующих бифуркаций.
Это уже за «горизонтом событий», но какая-то преемственность поведения траекторий сохраняется.
Я всё-таки посчитал, это точка -1,54368901269208. На множестве Мандельброта там все-таки отмечается некая «минимальная точка», с симметричными узорами, почти одинаковыми справа и слева в любом масштабе (они склоняются к этой точке, как скобки). Более точно — это один 3 из корней уравнения x^4 + 2 x^3 + x^2 + x — (x + (x + (x + x^2)^2)^2) = 0
Ещё обратил внимание на интересную деталь. Вы в статье рассматривали только действительные корни многочленов вида x+(x+(x+(x+x**2)**2)**2)**2. Я завел это уравнение в Wolfram Alpha, и оно посчитало также и комплексные корни. www.wolframalpha.com/input/?i=x%2B%28x%2B%28x%2B%28x%2Bx**2%29**2%29**2%29**2
Выглядит как точная карта «минибротов», соответствующих этой итерации/моде/гармонике! Жаль, что дальше степень растет экспоненциально, и бесплатная версия уже не решает на корни. (да и вряд ли сильно дальше вообще аналитически решается в разумное время)
Выглядит как точная карта «минибротов», соответствующих этой итерации/моде/гармонике! Жаль, что дальше степень растет экспоненциально, и бесплатная версия уже не решает на корни. (да и вряд ли сильно дальше вообще аналитически решается в разумное время)
да, комплексные корни и образуют всю эту фрактальную бахрому
(тьфу, кнопкой промахнулся, -1 получилось:( )
(тьфу, кнопкой промахнулся, -1 получилось:( )
Решил всё-таки проверить и наложил, ibb.co/5GW3KkT. Получилось, что каждый корень определяет гиперболические компоненты множества с соответствующим периодом, в данном случае — 15 компонент с периодом 5. Что, в общем-то, логично. x=0 определяет основную кардиоиду, период 1, x+x**2=0 большой довесок, период 2, и далее. Иерархия кругов… Интересно самому все это находить, хотя это давно уже где-то исследовано во всех подробностях, наверное.
вот, например
Sign up to leave a comment.
Как устроено множество Мандельброта. Хвост