Comments 8
Мне кажется, что на сфере можно разместить 8 равноудаленных точек. Вписать в нее куб.
UPD: Понял свою ошибку. Нельзя
Очень хорошая и нужная статья. Очень продуманные графики.
А вы можете также разместить красных линий, и одну из них в форме котенка?
Да, знаю, эта тема уже мелькала, но было бы очень любопытно взглянуть на проблему во всех многообразиях.
Насколько я помню, есть "кружковское" определение проективной плоскости: плоскость R^2, к которому добавили "бесконечно удалённые" точки (классы эквивалентности параллельных прямых), так чтобы любые две прямые пересекались в одной точке.
Можно как-нибудь нарисовать 6 "равноудалённых" точек на ней (видимо, без сохранения расстояний, с ними при бесконечно удалённых точек проблема)? Как вообще должен быть устроен гомеоморфизм между "кружковское" проективной плоскостью и лентой Мёбиуса с подклеенным диском?
ЗЫ может я что-то напутал, но я всегда считал, что эти поверхности эквивалентны, но не никогда понимал, как из одной "смять" другую.
Всё верно. Топологией вещественной проективной плоскости 
обладает много разных пространств:
упомянутая вами плоскость, дополненная идеальной линией;
пространство прямых, проходящих через одну точку;
сфера, факторизованная отношением эквивалентности антиподальных точек;
заклеенная лента Мёбиуса;
поверхность Боя и римская поверхность;
гемикубооктаэдр и полумногогранники;
пространство треугольников, факторизованное отношением подобия;
пространство однородных координат..
Топологически, бесконечная плоскость 
гомеоморфна открытому диску конечного радиуса. Таким же образом можно от бесконечной "кружковской" проективной плоскости перейти к открытому диску с отождествлёнными точками, симметричными относительно его центра, а дальше строить гомеоморфизм, как показано на этих видео:
Спасибо большое! Видимо, этих видео мне и не хватало. Если кто-то как я с первого просмотра не понял, то:
- в первом прокалывание диска эквивалентно вырезанию кружка - отсюда подпись "Проективная плоскость - диск = лента Мёбиуса". При этом сворачивание того, что осталось в ленту Мёбиуса - чертова магия, надо поставить на паузу и внимательно следить за направлением стрелок.
- второе ИМХО нагляднее, только надо понять, почему, склеивая диск из двух половинок, одну из них нужно перевернуть. Проще всего самому поиграть с бумажным стаканчиком и карандашом - проделывая те же операции.
Соблюдаем дистанцию, как топологи