Comments 31
Читая про "Сетунь" в голову сразу приходит фраза "Голь на выдумки хитра". На сайте по приведённой ссылке очень красиво и обтекаемо расписаны причины -" изучение в течение года имевшихся в то время вычислительных машин и технических возможностей их реализации привело к нестандартному решению ".
А в мемуарах прямо написано что машину такой делали от нищеты, на свой страх и риск. В СССР не хватало транзисторов. Всё более-менее высокочастотное\скоростное забирала армия. То, что оставалось в прямом смысле поштучно распределялось по предприятиям. И хорошо если рабочий диапазон этих остатков выходил за пределы ультразвука
Стояла задача - сделать недорогую производительную машину для народного хозяйства. С минимальным количеством транзисторов.
И её создатели ухитрились создать связку АЛУ-память на диодах и ферритовых кольцах. Именно от колец и пошла троичная система. Поскольку кольцо может быть намагничено в двух полярностях или размагничено. Три состояния.
К стати, последний раз я ферритовую память в СССР видел на плате изготовленной году в 85-м. Работала она со 155-й TTL логикой. Диодную матрицу размером примерно 20х20 я долгие годы использовал как "бесконечный" источник маломощных диодов. Сколько времени заняло изготовление этой платы мне даже страшно представить.
Спасибо, труд фундаментальный. Что думаете про теорию категорий?
Спасибо большое за статью и за то, что собрали основные положения в одном месте! Всегда в своих лекциях студентам и школьникам упоминаю Николая Петровича и его творение "Сетунь". Обязательно вашу статью сохраню для ознакомления наиболее активным студентам.
В сущности, вся теория сводится к внедрению в стандартную двоичную логику термина "ХЗ" в виде сигмы, который появляется в случаях 0=>ХЗ и ХЗ=>1. Для этого зачем-то взгромоздили классы с атрибутами и неизвестной пустотой, из-за которой этот самый ХЗ и всплыл. Сама идея, кажется, позволяет писать на ней алгоритмы SAT в виде "начнем со всех ХЗ и начнем строить дизъюнкты по имеющимся условиям, определяя значения переменных", но де-факто разве не так ли они работают на булевой алгебре без всякого третьего состояния?
В булевой алгебре третье состояние всегда подразумевается в выражении, которое можно минимизировать путём склеек. Оно также явно вылезает, когда берём обратные функции от коньюнкции и дизъюнкции. Но, на сколько я знаю (хотя могу ошибаться), в SAT-солверах работают именно классические булевы выражения. Дизъюнктов там нету. Дизъюнкт - это интегральная сумма по комбинаторному множеству строго фиксированного размера. Здесь ключевую роль играет не наличие третьего состояния ХЗ, а необходимость присутствия/отсутствия в множестве вещи, описываемой булевым выражением. На такое чистая булева алгебра не способна.
Труд при написании статьи затрачен большой, но, к сожалению, неоправданный.
Всё начинается с нестрогого заявления:
Т.е. ни таблицы истинности, ни свойства коммутативности или идемпотентности не являются смыслом теории
В строгом смысле у математических теорий нет смысла. Хотя их можно применять к ситуациям из реального мира, учитывая ограничения, заложенные в теории.
В чём смысл строгости? В том, что оперирующая строгими правилами машина всегда даст корректный (с точки зрения теории, на основе которой создан алгоритм) результат. Обратное - размазанный по длинным рассуждениям и примерам "смысл" простая машина не сможет преобразовать во что-то корректное в математическом смысле слова. Хотя вполне может дать нечто такое, что авторы алгоритма произвольно будут трактовать как корректное, но такая "корректность" кроме них никому не интересна.
Математически строгая теория не предполагает внешних по отношении к ней сущностей, но автору текста потребовались примеры и фразы вроде "Если мы провозгласим данность атрибута", что бы ввести эти самые сущности, которые в теории никак не объявлены. Поэтому результат получился математически не строгим, что означает возможность введения произвольных дополнительных определений, условий, ограничений и т.д. Но если мы вводим дополнения, то нет причин для того, что бы мы не могли получить новую теорию, с выводами, отличающимися от старой. А это называется "противоречивая теория". Математики давно столкнулись с такими явлениями и абсолютно логично решили их исключить из-за возможности вывести всё, что угодно, например одновременно 2=2 и 2!=2.
Далее в тексте выдвигаются претензии к операции импликации:
Если Y истинно, то истинность импликации не зависит от истинности посылки X.
Если X ложно, то истинность импликации не зависит от вывода Y.
И делается вывод:
Другими словами, истинное следует из чего-угодно, из ложного следует что-угодно
Да, если мы постфактум вводим в теорию рассуждения про "что угодно", то вполне возможно, из этого "угодно" следует ещё какое-то "что угодно", но общепринятая математика так не работает.
Нормальная математика вводит набор аксиом и набор операций. После этого момента ничего более не добавляется. Именно поэтому таблицы истинности верны в рамках введённого набора аксиом. В частности, аксиомы не требуют от нас обязательного следования Y только из X. Поэтому в таблице истинности мы видим значение 1 для Y при значении 0 для X. То есть теория не знает, только ли при X Y становится истинным. Теория допускает, что при X=0 Y тоже может быть истинным, но по каким-то другим причинам.
Если кому-то не нравится такое построение таблицы истинности для импликации, то он может ввести свою таблицу истинности. Но от введения новой таблицы (то есть новой операции) булева алгебра никак не изменится. Потому что все выводы, полученные для ранее существовавших таблиц остаются в силе. Но для новой таблицы можно получить какие-то другие выводы, которые (важно!) не будут противоречить всей остальной теории.
То же самое и с обратными функциями - если аксиомы не требуют их однозначности, то значит в рамках теории всё логично. И если кому-то нужны однозначно обратимые функции - пусть вводит их в рамках существующей теории, либо создаст для них новую. Но не требует от существующей теории изменений лишь потому, что ему показалось важным добавить однозначность в таблицы истинности.
Всё это лишь критика введения к дальнейшим выкладкам, но уже видно, что начиная с введения автор грубо нарушает закон строгости, обязательный для нормальной (без противоречий) математики. Поэтому далее встречаются вот такие перлы:
объявить некую структуру, которая не может быть подмножеством чего-либо - шаг хороший, но скорее искусственный, чем содержательный, ведь, у того же Аристотеля не было понятие класса
То есть автор ссылается на авторитет Аристотеля (понятия не имевшего о современном уровне математики), что бы доказать неверность некоего объявления. Является ли такое "доказательство" строгим? Нет, это просто произвольные заявления, подкрепляемые "авторитетом", пусть неглупого, но ничего не знающего про обсуждаемую тему человека.
Ну и финальный аккорд:
к выражениям алгебры можно применять операции коньюнкции, дизъюнкции, отрицания и извлекать из них естественно-языковой смысл, как из полноценных булевых выражений
устранить парадоксы (импликации в первую очередь)
Это требования к новой теории. Обратим внимание - "естественно-языковой смысл" - что это? Очередное обращение к авторитету Аристотеля?
Повторю вводную мысль - автор неоправдано потратил кучу времени, как своего, так и читателей, на изложение не относящихся к математике мыслей. Неудивительно, что книги, на которых основывается автор, были опубликованы лишь в постперестроечной России, где можно было публиковать абсолютно всё, от барабашек до зелёных человечков. Не скажу, что уровень книг соответствует распространённому сегодня мракобесию в дешёвой литературе, но выше достаточно ясно показано, что этот уровень никак не может считаться достаточным для рассуждений о математике, о чём и хотелось бы предупредить неопытного читателя.
Математически строгая теория не предполагает внешних по отношении к ней сущностей
Но их тут и нету. Все сущности уже находятся внутри совокупностного выражения. Данность чего-то мы объявляем, когда имеем какие-то стартовые условия, факты, на основе которых хотим сделать различные выводы. Стартовые условия - это термины-критерии и их связанность друг с другом посредством булевых связок. Булевы связки целиком и полностью естественно-языковые. Если в процессе вы хотите внести какие-то дополнения, потому что появились новые факты и условия, вы добавляете новый термин-критерий в универсум. А новые факты появились, потому что у вас есть вещи, которые этим критерием обладают, и которые им не обладают. Именно поэтому из-за отличимости одних вещей от других у вас появляется предмет для разговора и выводов. То, что машина обрабатывает всё это по своему алгоритму - дело десятое.
Да, если мы постфактум вводим в теорию рассуждения про "что угодно", то вполне возможно, из этого "угодно" следует ещё какое-то "что угодно", но общепринятая математика так не работает
Конечно, не работает. Ни кто в здравом уме не будет в своих рассуждения использовать парадоксы только потому, что они верны в некой системе аксиом. Вы мне пытаетесь доказать, что "если снег белый, то дважды два равно 4 и дважды два не равно 4". Импликация - это просто одна из 16-ти булевых функций, не более. Не нужно использовать для рассуждения инструмент, для этого не предназначенный.
Всё это лишь критика введения к дальнейшим выкладкам, но уже видно, что начиная с введения автор грубо нарушает закон строгости, обязательный для нормальной (без противоречий) математики.
Описанная вами строгость - это формализм возведённый в культ. Алгебра совокупностей непротиворечива внутри общего универсума.
Описанная вами строгость - это формализм возведённый в культ
Нет, к сожалению, то, что вы называете культом, есть простое непонимание сути математики очень многими изобретателями велосипеда.
Булевы связки целиком и полностью естественно-языковые
Вот-вот. Вместо внятного определения всех сущностей, вы отсылаете читателей к "естественным" в неком "языке" вещам, то есть к полностью произвольно трактуемым понятиям, чем и забиваете голову неокрепших умов.
Правильно ли я понимаю, что суть математической строгой теории заключается в построении непротиворечивых систем аксиом, а попытки соотнести эти системы с каким-либо реальным объектом являются непрофессионализмом и непониманием математики?
Вы понимаете неправильно. Вы делаете акцент на непрофессионализме, что переводит разговор в эмоциональную плоскость, не свойственную математике.
Я делаю акцент на соответствии математики реальности. Можно придумать какие угодно правила и строить по ним какие угодно теории ради теорий. Если математик найдет того, кто ему за это заплатит, можно этому математику только позавидовать. Но у Брусенцова речь везде о том, как сделать полезную теорию, которая позволяет реализовать достоверное рассуждение. Такое, в котором, например, вывод "Если книга напечатана в конце 90-х годов, то она про зеленых человечков или что-то подобное" не был бы правильным.
Вы неправильно понимаете смысл импликации. Импликация означает, что её левый операнд является достаточным условием правого операнда, но не является необходимым.
Например, если мы имеем идеальные грабли, то:
Я наступил на грабли IMP Я получил по лбу = верно, в следствие идеальности граблей.
Я наступил на грабли IMP Я не получил по лбу = неверно, противоречит идеальности граблей.
Я не наступал на грабли IMP Я получил по лбу = верно, я получил по лбу не граблями и по другой причине.
Я не наступал на грабли IMP Я не получил по лбу = верно, в этом нет ничего удивительного.
Описанная вами строгость - это формализм возведённый в культ
Формализм - необходимое условие верифицируемости математической теории. Если формализм какой-то теории не абсолютен - мы, потребители, не можем проверить её корректность, следовательно не можем ей доверять.
Хорошо, возможно на счёт формализма я рубанул с плеча. Для верефицируемости он действиетельно необходим. Поправьте меня, если я ошибаюсь. Но формализм ведь это то же самое, что правило построения формулы внутри какой-то теории? Т.е. формализм всегда сводится к корректности синтаксиса. Или нет?
Импликация означает, что её левый операнд является достаточным условием правого операнда, но не является необходимым.
Да, всё верно. Левый операнд - достаточное условие для правого, правый - необходимое условие для левого.
Я не наступал на грабли IMP Я получил по лбу = верно, я получил по лбу не граблями и по другой причине.
Вот здесь кроется основная ошибка. В первом, втором и четвёртом случаях вывод делается с необходимостью в силу, как вы выражаетесь, идеальности граблей. 4-й случай тоже работает в силу идеальности граблей, потому что идеальные грабли ни когда не ударят человека, который на них не наступал. А вот в 3-ем случае ни какой необходимости нет. Нельзя делать вывод, что человек обязательно получил по лбу, но по другой причине. Он может как получить по лбу, так и не получить. Это чистая случайность. Поэтому значение 3-го выражения = сигма.
А вот в 3-ем случае ни какой необходимости нет.
Вот именно! И на отсутствие такой необходимости указывает 4 случай. Всё чётко, никакой ошибки.
Результат импликации - это признак правдоподобности, что после A наступило B.
импликации - это признак правдоподобности
Здесь я с вами тоже соглашусь. Импликация - это потенциальное следование. То, какими выводы могут быть. Это варианты того, что может последовать, когда я на ступил на грабли, и когда на них не не наступи. А теперь представьте, что истинность импликации - это не указание на то, что чисто теоретически возможно, а то, что неизбежно произойдёт. Тогда вы сразу увидите разницу между импликацией и следованием.
Если вы наступили на грабли, вы неизбежно получили по лбу.
Если вы не наступили на грабли, вы точно не получили по лбу.
Не может быть так, что вы наступили на грабли, но не получили по лбу.
Неизвестно, почему вы получили по лбу, если не насупили на грабли.
4 ситуации. Ситуация неизбежна в первых трёх случаях. Только в 4-й она потенциальна, необходимости в ней нет.
Я потерял нить. Импликация - не потенциальное следование. А достаточное, но не необходимое следование. Понимаете? Чтобы получить по лбу, не обязательно наступать на грабли. Существует бесконечно много других возможных источников удара в лоб.
Таблица истинности импликации показывает, бывает или не бывает такое сочетание A и B.
Чтобы получить по лбу, не обязательно наступать на грабли. Существует бесконечно много других возможных источников удара в лоб.
Да, всё верно. Мы действительно говорим об одном и том же.
Импликация - не потенциальное следование. А достаточное, но не необходимое следование.
А вот это не совсем так. Здесь только посылка A - достаточное условие для следствия B. А вот значение самого следования в таблице истинности, равное 1 - это необходимое выполнение этого следования с достаточностью A для B. Но в импликации это не так. Там равенство импликации единице - это именно что "бывает или не бывает такое сочетание A и B".
Просто не знаю, какие ещё аналогии привести.
Поэтому в таблице истинности мы видим значение 1 для Y при значении 0 для X. То есть теория не знает, только ли при X Y становится истинным. Теория допускает, что при X=0 Y тоже может быть истинным, но по каким-то другим причинам.
Вот здесь абсолютно верно. Ключевое слово "может быть истинным". А может и не быть. Мы этого не знаем. Нет необходимости ни в истинности, ни в ложности.
Но не требует от существующей теории изменений лишь потому, что ему показалось важным добавить однозначность в таблицы истинности.
Вот здесь мои заявления не были категоричными. От существующей теории не требуется ни каких изменений. В своей системе аксиом она завершена и красива. Просто в классических учебниках по дискретной математике никогда не упоминается о случаях вы хода за пределы набора состояний 0 и 1, как будто это что-то постыдное. А для общего и всестороннего понимания теории это было бы не лишним. В учебниках же не стесняются писать о вычитании и отрицательных числах, и квадратном корне и комплексных числах.
Нет необходимости ни в истинности, ни в ложности
Да, если вы ввели троичную логику, то понятно, что ответ "может быть" вроде бы ложится в ваше построение. Но вы же в статье утверждаете, что импликация вносит противоречия, но как раз противоречий никаких нет - это одна из таблиц истинности, где нет возможности для "может быть", поэтому и результат при X=0 будет 1, но не 0, ведь если нет причины X, то нет гарантий, что не существует причины Z.
Итог - вы, ссылаясь на якобы противоречие, обосновываете необходимость новой системы. Но противоречия нет. Вывод - необходимость новой системы не обоснована.
Мало того, использованные вами отсылки к авторитету вообще никто из математиков никогда не признает доказательством.
в классических учебниках по дискретной математике никогда не упоминается о случаях вы хода за пределы набора состояний 0 и 1
Потому что все явления мира вполне прилично описываются в рамках бинарной логики. При этом в частных случаях возникает некоторая избыточность, которую вы и пытаетесь неявно привести в качестве одной из причин (а явно её пришлось озвучить мне). Но проблема в том, что в любой логике для полноценного описания мира всегда потребуется что-то избыточное. Например: при X=0 Y может быть, а может и не быть равен 1. В бинарной логике мы вводим дополнительную переменную и обозначаем ею признак "точно известно или неизвестно". Да, получаем два бита с 4-мя значениями на 3 возможных варианта, но для других ситуаций точно так же получите, например, три троичных бита для описания значения от 0 до 9 (перевод в десятичную систему), и в этом случае избыточность будет гораздо больше, нежели в двоичной логике.
Другое дело, если бы вы указали на некую нишу, в рамках которой ваша троичная логика даёт какие-то преимущества, как например было с троичной ЭВМ, хотя в том случае опять была сплошная избыточность, но относительная дешевизна ферритовых сердечников оправдала такой подход. То есть пример должен быть актуальным для нашего времени, когда ферритовые сердечники "слегка" устарели в вычислительной технике (хотя может в условиях какой-то сверх-жёсткой радиации, да и то не факт, тогда просто катушки коротить начнёт).
Но главное - строгость доказательств. Её у вас нет. Ссылки на авторитет и некий "смысл" - это от лукавого, это не математика.
поэтому и результат при X=0 будет 1, но не 0, ведь если нет причины X, то нет гарантий, что не существует причины Z
Верно. Нет гарантий, что не существует причины Z, и нету гарантий, что причина для Z есть. Но таблица истинности категорично утверждает, что причина точно найдётся, и не важно, какая. И если категоричность для (X=1, Z=1) и (X=0, Z=0) абсолютно оправданны (как и 0 для X=1 и Z=0), то необходимость (X=0, Z=1) для вывода следствия просто бессмысленна. И про импликацию я не утверждал, что она противоречива. Она парадоксальна.
Да, получаем два бита с 4-мя значениями на 3 возможных варианта, но для других ситуаций точно так же получите, например, три троичных бита для описания значения от 0 до 9
Тоже верно. Моделирование троичности 2-мя битами имеет свои издержки. Но если троичность нам именно понадобилось, а железная реализация только двоичная, то зачем нам в тоичной реализации двумя тритами моделировать 9 состояний? Откуда вообще возникнет нужда в 9-ти состояниях? Если нужно промоделировать 4 состояния, то, да потребуется 2 трита, но каждое третье переключение можно сделать двойным, и это будет отличной эмуляцией двоичного железа.
Зачем же понадобилась сама троичная логика? Для сокращённых форм. Для явного выражения привходимости вещи в множестве. Для того, чтобы компьютерная логика не была островом Рыцарей и Лжецов, который не адекватен реальности.
Но таблица истинности категорично утверждает, что причина точно найдётся, и не важно, какая
Таблица истинности утверждает лишь то, что в ней написано. Всё остальное - ваше домысливание.
Я понимаю, что хочется видеть какую-то аналогию со знакомым вам миром, хочется сразу применить булеву логику к знакомым явлениям, не вдаваясь в детали и не постигая глубин. Да, экономия затрат - важная потребность всего живого. Но вы же про математику. А в ней нужно напрягаться, по крайней мере некоторое время, что бы понять, когда можно напрямую применять что-то, и когда нельзя.
В математике нет смысла, я вам уже про это писал. Но можно использовать математику для решения практических задач. Только в этом случае вы должны понимать весь набор ограничений, который сопровождает применение абстракций в реальном мире. Абстракция - это обобщение. При этом теряются детали. Поэтому, исходя из наличия лишь двух состояний (ведь логика бинарная), импликации в таблице истинности поставили в соответствие известный вам набор значений. Если вы подумаете и поставите другой набор значений, то от реальности ваши значения буду ещё дальше. Именно поэтому таблица выглядит так, как вы её видите. Это называется - абстрагирование. Но если вы зайдёте со стороны аксиом, то всё будет прекрасно сочетаться и никаких ни противоречий, ни их синонимов (парадоксов) не будет. Парадоксы появляются лишь тогда, когда математику применяют без глубокого обдумывания к ситуациям, в которых не учитывают сторонние сущности, эффекты и т.п.
Зачем же понадобилась сама троичная логика? Для сокращённых форм. Для
явного выражения привходимости вещи в множестве. Для того, чтобы
компьютерная логика не была островом Рыцарей и Лжецов, который не
адекватен реальности.
Здесь вы снова про возможность задавать произвольные правила в рамках той или иной логики. В рамках двоичной это возможно, для примера возьмите браузер, через который вы здесь пишете. Для троичной логики это тоже возможно, но с дополнительными издержками. Например, неустранимой проблемой любой логики с более чем двумя состояниями является повышение алгоритмической сложности операции деления. Поэтому двоичная логика и была выбрана, как оптимально подходящая под решаемые людьми задачи. Но вы можете задать другие критерии оптимальности и найти место для троичной логики, правда не факт, что остальные согласятся с вашими критериями.
Хорошо. Быть может я не до конца понимаю ту самую математическую строгость, о которой вы говорите, и которой не хватает в статье. Правильно ли я понимаю, что строгость на нужна для верифицируемости математических выражений в рамках некой теории? Т.е. проверка корректности синтаксиса формулы внутри данной теории. Или не так?
К тому же, есть же в математике, такой подход к верифицируемости, как конструктивизм. Что-то существует только тогда, когда у нас есть способ это сгенерировать неограниченное число раз. Алгебра совокупностей имеет физическое воплощение в виде Урны Лукасевича. Это мешок вместимостью 
вещей. Отличимость вещей друг от друга строго определена. Описание одной вещи всегда однозначно. Нет ни каких различных толкований и объектов внешних по отношению к этому мешку. Неужели такой строгости недостаточно?
Если вы подумаете и поставите другой набор значений, то от реальности ваши значения буду ещё дальше.
Не нужно для импликации ставить како-то иной набор значений в таблице истинности, ведь тогда она перестанет быть одной из 16-ти булевых функций. В своей нише импликация прекрасно справляется со своими задачами. Но для следования выводов нужна не просто одиночная булева функция, а дизюнктивная интегральная сумма, которая работает как квантор существования. Мы объявляем существование класса импликации, а потом выделяем результат в универсуме Аристотеля. Куда уж более формальный и точный подход.
Правильно ли я понимаю, что строгость на нужна для верифицируемости математических выражений в рамках некой теории?
Строгость нужна для однозначной интерпретации любых утверждений в рамках формальной (то есть строгой) теории.
Например, есть аксиома - имеем А и Б, более ничего нет. И есть операция - установить объект (А или Б) в позицию либо 1, либо 2, в зависимости от задаваемого параметра. В позициях всегда есть либо А, либо Б. Всё, вот весь наш мир, более ничего нет. Теперь, даже если мы отдадим моделирование мира в руки железного "Феликса" (был такой арифмограф), то на выходе получится частная реализация мира, полностью соответствующая ожиданиям всех математиков, понимающих ограничения, накладываемые формализмом. Это означает, что между математиками не будет споров - правильная модель получилась или неправильная. Они возьмут операцию, зададут параметр, и убедятся, что результат полностью соответствует набору аксиом и операций.
Мы же с вами спорим. То есть у нас осталось место для неоднозначности в оценке модели. Неоднозначность появляется, когда в систему вводятся дополнительные сущности. Например, в систему выше вы вводите, для большей наглядности, кубики, на которых написано А и Б. И вот вы располагаете кубики в позициях 1 и 2, а потом, увлёкшись привнесёнными свойствами, например трёхмерностью кубов, вы переворачиваете один из кубиков и получаете пустое место, без надписи, там нет ни А, ни Б. И вы заявляете - ваша логика неполноценна, она не включает такую очевидную ситуацию, когда нет ни А, ни Б. Но заявление стало следствием именно введения в систему новых сущностей, про которые система ничего не знает. Без этих сущностей в системе всё гармонично и логично - всегда есть А или Б, а третьего не дано. Да, третье, при введении дополнительных сущностей, вполне возможно, но это уже будет другая система, в ней будут другие правила, в ней получатся другие теоремы и другие доказательства. Вот это слово "другие" автоматически даёт вводящему новые свойства возможность спорить. А если других сущностей не вводить - нет места для споров. Поэтому такую однозначно интерпретируемую систему можно смело моделировать на компьютере (в т.ч. на железном "Феликсе"). А вот систему с кубиками, компьютер с программой на основе системы только с А и Б, смоделирует неправильно, и вы заявите - ваша логика не работает. Но не логика компьютера здесь не работает, а теряется логика у возражающего, способного сколько угодно добавлять сущности и тем самым вводить всё новые и новые ситуации, с которыми никакая модель не сможет работать, ведь произвольные дополнения в ней не предусмотрены.
Т.е. проверка корректности синтаксиса формулы внутри данной теории. Или не так?
Понятие "синтаксис" применяется к языковым конструкциям. Формулы тоже есть язык, но даже в математике часто встречаются случаи обозначения одних и тех же понятий разными символами (или их сочетаниями). То есть говорить только о синтаксисе неправильно. Здесь вам нужно вспомнить начальные главы из учебника по математической логике. Там объявляется множество символов (алфавит), затем правила построения "слов" (выражений), что даёт нам "язык". Без всех этих формальных приседаний вы опять сможете сказать, что мол видели где-то вот такой замечательный символ, а в вашем языке его нет! Ну и далее опять вернёмся к недоказуемости утверждений при неограниченном расширении системы.
Проверять же в рамках теории можно соответствие аксиомам. Если все аксиомы выполняются, независимо от последовательности и количества разрешённых операций, значит некое утверждение является истинным в рамках данной теории.
А таблица истинности, например, является аксиомой, но не теоремой, как вам показалось. То есть таблицу истинности не нужно доказывать. Она принимается без доказательств. И если вам не нравится какая-то её часть - ну что-ж, тогда вам нужно создавать вашу личную теорию с "правильной" частью. Но в рамках булевой логики всё корректно (без парадоксов и противоречий).
Алгебра совокупностей имеет физическое воплощение в виде Урны Лукасевича... Неужели такой строгости недостаточно?
Понимаете, если вы пишете, что математическая логика приводит к парадоксам, причём сразу, начиная с аксиом о таблицах истинности, то и проверять ваши дальнейшие рассуждения нет смысла - вы опять введёте новые сущности, не удержитесь, и начнёте неявно расширять систему до такого состояния, когда на ваш взгляд всё будет "логично", но для математики там будет всё потеряно.
Задайте строго (не изменяя в будущем) набор аксиом и операций. Далее формально, без привлечения аналогий (кубики и т.д.) выводите заключения, доказывайте теоремы. А в рассуждениях в "наивном" стиле очень часто встречается выход за рамки системы, и его не так просто обнаружить. Поэтому и проверять сложно - долго и нудно. Ну а если не указан список аксиом - вообще невозможно.
Но для следования выводов нужна не просто одиночная булева функция, а дизюнктивная интегральная сумма, которая работает как квантор
существования
Что такое "следование выводов"? Возьмите учебник по математической логике - там в самом начале описан алгоритм подстановок, который и даёт нам доказательства всех возможных формальных теорем. Там нет зависимости от сущности "дизюнктивная интегральная сумма, которая работает как квантор существования".
Другими словами - вы предлагаете свой подход к выводу доказательств. Предложенный математиками подход проверяется легко - чисто механическими действиями, которые можно поручить компьютеру. Ваш подход пока что вообще непонятно как проверять, потому что он не опирается на конечное множество начальных посылок. Ну а при бесконечной возможности вводить новые сущности получается... Вы уже знаете что.
Начав читать, я загорелся идеей начать разбираться и понимать. Но после вот этого я это понимать... не понимаю...
иметь прямые углы, значит быть квадратом и быть равносторонним;
не иметь прямые углы, значит быть равносторонним, но не быть квадратом;
не известно, имеем ли мы прямые углы, если это не квадрат и не равносторонняя фигура;
прямоугольность невозможна как понятие, если мы имеем неравносторонний квадрат
Разве логика не должна быть логичной? Объясните, пожалуйста, как понимать эти высказывания, мне они не кажутся логичными, по крайней мере, в такой формулировке. Как простому человеку их понять?
Хм. Возможно тут не совсем корректная формулировка. В этом месте делается вывод о наличии признака "имеет прямые углы" по двум заданным признакам "это квадрат" и "это равносторонняя фигура". Если оба заданных признака имеются, то прямые углы у фигуры есть (или "у всех фигур", так как речь здесь о множестве, сгруппированном по признакам), если признака "квадрат" нет, а "равносторонняя фигура" есть, то прямых углов у неё нет. Если обоих признаков нет, то мы не можем сказать ничего о том, имеет ли фигура прямые углы, а если это квадрат, но стороны у него неравные, имеем невозможность (пустое множество), для которого понятие "иметь прямые углы" неприменимо или не определено.
Да, на этот вопрос уже хорошо ответил @vesper-bot. Тут дело в том, что каждый из признаков в уравнения не самостоятелен, и проявляется только в связке с остальными. Это мы сейчас подкованные в геометрии наперёд знаем, какая прямоугольность может быть в каких многогранниках. А конкретно в этом уравнении не существует многогранников и вообще фигур как таковых. Даже квадрат здесь - это просто признак, не несущий информации о геометрии, евклидовости и других вещах, которые есть у нас в голове. Существует только связанность трёх терминов в универсуме. Эти 4 вывода можно сделать об одном термине через остальные.
На протяжении статьи галочек становится все больше и больше.
Алгебра совокупностей Брусенцова и не только