Comments 285
Кстати, есть ещё один знакочередующийся ряд:
1 − 2 + 3 − 4 + …
Ну уж раскрыли бы подробнее, как там получается 0.25 :) Или это самостоятельное упражнение для читателей? :)
Один из вариантов
Сперва условимся, что мы вообще можем считать, что у расходящихся рядов могут быть осмысленные конечные суммы. Также договоримся, что
Теперь отыщем сумму ряда
Сложим 
и 
следующим образом: первый член второго ряда сложим со вторым членом первого, второй член второго — с третьим членом первого, третий член второго — с четвертым первого, и так далее:
Отсюда 
А через это уже и до сравнительно простого доказательства, что 
недалеко.
А если представить как разность двух арифметических прогрессии, то выходит для чётной части сумма n первых членов =(n+1)*n, а для нечетной части = n^2, при длинне ряда 2*n.
Если теперь из нечетной вычесть учётную, то выходит = n^2 - (n^2 + n) = - n.
Т.е. с ростом числа членов в ряду сумма ряда стремиться к -infinity.
Если вы считаете, что частичная сумма ряда всегда вычисляется по четному количеству слагаемых, то можно и без арифметических прогрессий обойтись: просто складываете числа с номерами 2i-1 и 2i и видите, что в каждом случае получается -1.
Проблема в том, что способ вычисления по нечетному количеству слагаемых ничем не хуже. И с ним результат получается прямо противоположным.
Без обобщений типа сходимости по Чезаро тут консистентного результата не получить.
А вам не кажется, что ваши доводы про "нечётное количество слагаемых" противоречат условию задачи о бесконечности. ;)
Для того, чтобы решить - чётное или нечётное число слагаемых, надо сначала определить - последнее число бесконечности чётное или нечётное. Но есть загвоздка - у бесконечности нет последнего числа, иначе её бы не назвали бесконечностью.
Есть похожая по смыслу задача - вы берёте параллелепипед со стороной - квадратом 1 на 1 единиц измерения и глубиной 0.5, жёлтого цвета, на него кладете сверху в два раза более узкий красный (с глубиной 0.25), сверху ещё в 2 раза более тонкий жёлтый слой, потом ещё в два раза более тонкий красный слой. То есть вы чередуете красный и жёлтый слои, причем каждый следующий слой в 2 раза тоньше предыдущего. Вопрос - какой цвет будет у последнего слоя, как такая фигура будет выглядеть со стороны, куда она прирастает. И тут также нет верного ответа, просто нет никакого последнего слоя
Есть похожая по смыслу задача - вы берёте параллелепипед
В этой задаче следует обусловиться, что параллелепипед абстрактен и не имеет физического представления. Иначе решение сведется к тому ряду, который упрется в планковскую длину. А все из-за глагола "берёте", вместо которого логичнее было бы использовать "представьте".
В этой задаче следует обусловиться, что параллелепипед абстрактен и не имеет физического представления. Иначе решение сведется к тому ряду, который упрется в планковскую длину. А все из-за глагола "берёте", вместо которого логичнее было бы использовать "представьте".
В этой задаче не надо обуславливаться, и тем более заменять "берёте" на "представьте". Догадайтесь почему ;)
Подсказка: если поменять условие задачи, и сказать, что вы берёте "пластиковый предмет в форме параллелепипеда", то там конец точно будет, причём даже раньше, чем до Планка дело дойдёт.
Я про используемый материал вроде ничего не сказал.
Я про используемый материал вроде ничего не сказал.
Вот в этом-то и ваша ошибка с попыткой привлечь Планка.
Планковская длина не про материалы, а о дискретности пространства в целом.
"Петлевую гравитацию" ещё в "консенсус" не приняли, так что никакой дискретности именно пространства пока ещё нет. Там самая что ни на есть непрерывная непрерывность.
А такое уменьшение толщины в конечном упирается в неопределённость волновой функции элементарных частиц (т.е. мы просто не сможем сказать какой слой выше, какой ниже - у нас суперпозиция слоёв). А это наступит за долго до планковской толщины.
Для задачи andarko это не важно совершенно :)
Хотя, конечно,можно и физический спор замутить, да...
а о дискретности пространства в целом.
А это без разницы.
Т.к. то, что физика описывается математикой - верно, а вот в обратную сторону - нет.
Иначе решение сведется к тому ряду, который упрется в планковскую длину.
Намного раньше - в крайнем случае в размер одной молекулы краски, но скорей больше.
Упрётся, разумеется, намного раньше планковской длины в длину волны красного цвета, после чего рассуждать о цвете нельзя. И тут уже поедставляй - не представляй.
ЕМНИП аналитически там существует два рациональных корня, только один из которых вычисляется посердством рядов.
Если интересно,то у Римана есть теорема о частично сходящихся рядах, которая, вроде, имеет некоторое отношение к теме статьи, но о ней, почему-то, ни слова...
Осмелюсь предложить сразу два решения этой задачи.
Способ первый, математический:
Имеем бесконечное число слагаемых, следовательно если Ꚙ - чётное число, то ответ - 0, если нечетное, то 1. Остается всего-навсего выяснить чётность бесконечности.
Способ второй, практический:
Берём самого усидчивого математика и заставляем записывать последовательность чисел пока не услышим фразу: "Да ну их на х...". Так мы получим ровно половину слагаемых, дальнейший подсчёт не составит труда.
Бесконечность - это не число какое-то, к нему нельзя применить четность/нечетность
Просто это ещё не доказано.
Для ознакомления
Все эти бесконечности в пределах и интегралах - просто удобные обозначения, а не числа. Их по хорошему надо заменять на явное обозначения множества и т.п. - так будет более громоздко, но зато без двусмысленностей.
Есть, конечно, всякие бесконечно малые/большие - но это уже не числа а функции.
Есть ещё нестандартный анализ - но это довольно спорная вещь, в которую не все математики верят. И даже там чётность к собственно бесконечностям не применима.
При рассмотрении стереографической проекции (https://ru.wikipedia.org/wiki/Стереографическая_проекция) бесконечность такая-же точка (северный полюс), как и все остальные.
Не такая же:
Для того, чтобы получить взаимно однозначное отображение целой сферы, нужно дополнить плоскость элементом, являющимся образом выколотой точки N. Этот элемент — так называемая бесконечно удалённая точка, обозначаемая символом ∞
Т.е. эту точку нельзя построить как любую другую (проведя прямую через тот самый северный полюс). И какие -либо операции с ней проводить не очень получится
Оставьте пока плоскость в покое. Возьмем полученную сферу (Римана): какая разница между любой точкой и северным полюсом? Покрутите сферу и поймете. Сами точки на сфере одинаковы. Разумеется можно придумать операции которые по разному работают с различными точками на сфере, но это не изменит точку на сфере. Кстати, некоторые такие, даже алгебраические, операции будут работать одинаково как на замкнутой комплексной плоскости так и на сфере . Например можно складывать бесконечную точку с не бесконечной. А можно ли делить на ноль?
Есть ещё нестандартный анализ - но это довольно спорная вещь, в которую не все математики верят.
Какая-то странная формулировка, и что значит верят или нет? Нестандартный анализ - это одно из основных приложений теории моделей, важная содержательная часть матлога и теории формальных систем в целом. Ни у какого математика, занимающегося этими направлениями, вопроса "спорности" не стоит.
То и значит - что есть математики (общался лично), которые считают нестандартный анализ внутренне противоречивым.
Все еще не понимаю. Что значит "считают противоречивым"? У них есть доказательство противоречивости или нет? Если нет то как бы и все. Я понимаю там еще отрицателей аксиомы выбора без которой НА не работает, но противоречивость откуда?
Ну т.е. понятно что есть странные люди - некоторые топологи (пальцем не будем показывать) свою историю вон выдумывают, кто-то в ультрафинитизм и жидомассонские заговоры ударяется, есть люди (вполне уважаемые, про которых присутствует статья на вики, например) которые прыгают как дебилы по тредам на лямбде чтобы всем рассказать про обман Геделя, и про то что теорема о неполноте неверна, один персонаж (тоже вполне уважаемый) вон недавно "доказал" гипотезу Римана школьными методами, а когда ему вежливо объяснили, что он как бы неправ начал жаловаться на заговор молодых математиков против стариков. Ну шиза она шиза и есть. Смысл ее учитывать? В математике, к счастью, шиза от не шизы отличается очень легко по объективным критериям.
У них есть доказательство противоречивости или нет?
Есть. И я даже не уснул! Причём объяснение было даже вроде бы простое. Но тут как с аксиомами детерминизма и выбора (которые использовались в процессе): точно сформулировать самому - тяжело, если ты постоянно не занимаешься этим.
Если коротко - я не совсем уловил суть возражений и могу сильно соврать.
Недавно доказали, что чётность символа "бесконечность" равна чётности "числа i"
Тогда это надо сразу в аксиомы писать и строить разные математики исходя из этого.
Есть такое понятие, как супернатуральное число.
В копилку:
Представим себе бесконечное бинарное дерево.
Как известно, количество узлов в полном бинарном дереве равно 2^n-1, а количество путей 2^(n - 1).
Еще мы знаем, что в бесконечном бинарном дереве множество узлов счетно, а множество путей - нет.
Комбинируя пункты 3 и 4 получаем, что в бесконечном бинарном дереве количество путей нa 2^(n-1) - 1 раз меньше, чем количество узлов
Из пункта 4 вытекает, что в бесконечном бинарном дереве континуум меньше счетного множеста
Вы сейчас серьезно или это такой сарказм/юмор? Это тоже самое что y = x ^ 2, z = x ^ 3., значит при x = бесконечности, бесконечность y меньше чем бесконечность z, так что ли по вашему?
Как только мы переходим к бесконечности, все остальные множетели теряют смысл - все равно везде будет бесконечность, бесконечность умноженная на миллиард - все равно бесконечность.
Поэтому пункт 2 сразу выкидывайте, так делать просто нельзя (при переходе к бесконечному дереву количество узлов и путей тоже будет бесконечно), соотвественно 4 и 5 не имеют смысла.
"Да ну их на х...". Так мы получим ровно половину слагаемых
... таким образом, количество слагаемых всегда чётно))
Последний приведённый мысленный эксперимент доказывает чётность бесконечности
Если на то пошло, то чётность бесконечности доказывает то, что её всегда можно разделить на два (например, натуральный ряд разделить на два ряда - чётные и нечётные числа). Получим, правда тоже бесконечность (даже две), но разделить-то можно? Значит вроде как чётная!
А как вы определите середину бесконечности?
Так можно и на три (числа, которые при делении на 3 дают в остатках 0, 1, 2). И на четыре, и на пять, и на сколько хошь.
Да, у вас есть принцип, но деление вы никогда не закончите. Сколько бы вы чисел не поделили - всегда будут ещё неполноценные, получается а процессе бесконечного деления всегда будет остаток)
А обязательно ли заканчивать деление? Если взять число 2*n, где n - бесконечно большое целое число, то я знаю, что оно четное, вычислять остаток не нужно.
Нет, я натягиваю сову на глобус отчасти. Но я не уверен, что бесконечность может быть чётной или нечётной в принципе и совсем не уверен даже, что всё так однозначно понятно с 2n. Не компетентен понять. Четность вообще на мой взгляд понятие конечное, отдельное
2n+1 берем и оно сразу нечетное. И их столько же сколько 2n. Бесконечно много
Так и нечётные числа можно на два поделить. И даже дробные)
Вопрос-то в остатках, а не в возможности поделить.
А ноль чётный?
Меня интересует почему все пытаются решить эту задачу добавлением чего-то? Одни видят в этом параллелепипед, даже видят цвета, другие придумывают всевозможные формулы. На мой взгляд, задачка из серии "найди шизофреника", то есть она максимально проста и пока мы не сказали что она проста люди, математики начинают ее решать свои непростым способом. А ведь в условиях задачи нет ни слова о геометрии, синусоидах. В условиях написано, сколько будет если сложить единицу и минус единицу, бесконечное число раз. То есть ?=(1+(-1))*n. Где не важно каким окажется бесконечное число, в итоге оно будет умножаться на ноль. Возможно автор имел ввиду что-то другое, но данное описание задачи этого не предусматривает. А может просто смотрел и удивлялся тому как далеко при решении может зайти человек свернувший не туда.
Потому что эта задача решения не имеет. Более того она хорошо показывает, что невозможно сложить никакое бесконечное число чисел. Даже известная формула 1 + 1/2 + 1/4 + ... = 2 нам по сути врёт (нет алгоритма который выполнит прямое сложение)!
Но подобные объекты появляются регулярно в задачах и как-то работать с ними надо. Потому и придумывают новые сущности и новые операции, исследуют их свойства, смотрят как они могут полезны и т.д. и т.п.
То есть ?=(1+(-1))*n
А почему не 1 + (-1+1)*n?
Заходит как-то в бар бесконечное число математиков
... первый заказывает литр, второй — пол-литра, третий — четверть?
...а уборщица им - а ну кыш, куда по помытому?
четвертый - 1/8, пятый 1/16, а шестой - 23940 литров пива. Бармен достает ружье и убивает шестого математика.
Этим математиком был Статистический Выброс.
А бармена — Скользящее Среднее? ;-)
Кто же тогда та леди на краю стойки застматривающаяся на математиков? Неужто это проститутка Кларен?
Нет, это просто Аня. :-)
Но ведь Аннушка разливает масло на дороге, а не пиво в кружки.
Это скорее имя для ружья
Седьмой заказывает -2 литра пива, $TOTAL пива, аааа пива, "аааа" пива, jo'; drop table clientdebts-- пива. Этим математиком был тестировщик.
Тестировщики, что ли?
Однако в 18 веке учёные ещё не знали о сходимости рядов
Эйлер и компания суммировали этот ряд не потому, что "не догадывались", что в обычном смысле суммы нет. Не нужно их считать за идиотов. В современном мат анализе вполне развиты методы суммирования расходящихся рядов. И, внезапно, сумма ряда из статьи с использованием этих методов получается 1/2.
Можно начать знакомится с этим разделом математики отсюда https://ru.wikipedia.org/wiki/Знакочередующийся_ряд_натуральных_чисел
А как такой вариант: нескончаемая меандра у которой появляется еще один параметр - частота?
Так а решение в рамках современной математики кто-нибудь напишет?
Подозреваю, что правильный ответ дан в статье:
Правильный ответ («невозможно вычислить») дали только 6% опрошенных.
Скорее всего, я слишком глупый для чего-то подобного, но разве в статье даны не четкие условия, сложить 1 и -1, что всегда будет равно 0?
Не всегда — зависит от того, каких чисел в сумме больше (кто из братьев умрёт раньше) — что непредсказуемо, поэтому и решения нет.
Откровенно говоря странная задача от математика и философа, подозреваю что тут больше баг теологии где он хотел доказать что 0 = 1. Ответ 1/2 вообще не математический, а философский из "суммы" целых ни при каких условиях дробное не получится. А сама задача сводится к тезису "Без четкого ТЗ результат ХЗ".
Так братья, по условиям задачи, бессмертны, а сама задача представима в виде (1–1)·∞
Ряд несходящийся, поэтому сумимы нет
Еще есть прикол, что если в таком ряду менять последовательность елементов, то можно прийти к любому числу
Это относится к "условно сходящимся" рядам. То есть таким, у которых сам ряд сходится, а ряд из модулей - нет. Пример такого ряда: 1 - 1/2 + 1/3 - 1/4 + 1/5 + .... Тут действительно можно переставлять слагаемые так, что получится любое наперёд заданное число (или будет расходимость)
Ряд 1-1+1-1+1... по определению сходимости расходится. Здесь интересная другая математика - можно попытаться изменить само определение сходимости ряда. То есть придумать способ суммировать ряды так, чтобы для сходящихся рядов получалась бы та же самая сумма, но при этом получалось бы суммировать больше рядов с сохранением "естественных свойств". Всякие методы, где получаются суммы типа 1/2 как раз получаются отсюда
В современной математике решение принято, что решение зависит от аксиоматики. Какую систему аксиом выберете, такой ответ и получите.
Если вам нравится аксиоматика из учебника Фихтенгольца, то в ней задача не решается, т.к. ряд расходящийся. Но есть и такие аксиоматики, в которых задача имеет решение.
В принципе вам ничего не мешает определить свою собственную аксиоматику, и в ней установить самой первой аксиомой, что сумма этого ряда равна "е в степени пи, умноженное на год вашего рождения".
Так а решение в рамках современной математики кто-нибудь напишет?
Решение: достаточно доказать расходимость ряда. Ряд расходится, если не существует предела последовательности его частичных сумм. Последовательность частичных сумм этого ряда это 1,0,1,0,1..., обозначим её n-ный член x_n. Доказать можно от противного, предположив что такой предел X существует. Тогда, по определению предела, для любого сколь угодно малого ε>0 существует такое N, что все члены последовательности начиная с N удовлетворяют неравенству |x_n - X| < ε. То есть в данном случае
|1 - X| < ε
|0 - X| = |X| < ε
Легко заметить, что например для ε=0.3 таких X не существует (система неравенств относительно X не имеет решения)
Я думаю можно доказать и проще, используя какой-нибудь признак расходимости.
Я думаю можно доказать и проще, используя какой-нибудь признак расходимости.
Через подпоследовательности проще всего. Как вы указали:
Последовательность частичных сумм этого ряда это 1,0,1,0,1...,
Последовательность 1,0,1,0,1… не имеет предела, т.к. если взять подпоследовательность из нечетных членов (1,1,1,1,...) у нее предел 1. У последовательности из четных членов (0,0,0,0,...) — предел 0. Нашли две подпоследовательности, которые сходятся к различным пределам, значит предела у исходной последовательности не существует.
Ответ зависит от того, какую сходимость считают.
Обычной сходимости у этого ряда нет.
Сходимость по Чезаро = 0,5
Как человек лично знавший обоих, скажу, что для Лейбница и Эйлера ответ "невозможно вычислить" не мог быть правильным, такой "ответ", по их мнению, даже и не мог быть назван ответом, это скорее капитуляция и отмаза.
Что, и какую-нибудь несовместную систему линейных уравнений продолжали бы "решать", пока в психушку не уехали?
— Г-голубчики, — сказал Федор Симеонович озадаченно, разобравшись в почерках. — Это же п-проблема Бен Б-бецалеля. К-калиостро же доказал, что она н-не имеет р-решения.
— Мы сами знаем, что она не имеет решения, — сказал Хунта, немедленно ощетиниваясь. — Мы хотим знать, как ее решать.
— К-как-то ты странно рассуждаешь, К-кристо… К-как же искать решение, к-когда его нет? Б-бессмыслица какая-то…
— Извини, Теодор, но это ты очень странно рассуждаешь. Бессмыслица — искать решение, если оно и так есть. Речь идет о том, как поступать с задачей, которая решения не имеет. Это глубоко принципиальный вопрос, который, как я вижу, тебе, прикладнику, к сожалению, не доступен. По-моему, я напрасно начал с тобой беседовать на эту тему.
Ну так во многих областях ответ "нет это сделать невозможно"… не принимается и начинаются поиски пути.
Ну например — химический состав звезд, считали что нельзя потому что ну нельзя ж пробы взять. Решение со спектральным анализом — нашлось.
Или — полеты на больших скоростях, нельзя потому что винт не обеспечит тяги но хочется? Хорошо — винт не обеспечит а турбореактивный двигатель — обеспечит.
Или — нельзя выйти даже на околоземную орбиту потому что уравнение Циолковского не дает? Хорошо, но кто мешает использовать многоступенчатую ракету? Либо использовать не-химические двигатели.
Нельзя на порядки снизить стоимость доставки грузов на орбиту потому что многоступенчатые ракеты — дорого? Так можно системы воздушного старта, можно двухрежимные ВКС (Skylon, ну да пока проблемы но решаемые), можно снизить цену за счет максимального упрощения и массового производства(OTRAG, проект прикрыт совсем не по техническим причинам), можно снизить цену за счет снижения требований к материалам (Sea Dragon, прикрыто вроде потому что не нашли что выводить то в таких объемах а вниз — не масштабируется), можно наконец сделать полностью возращаемые ступени — Falcon успешно летает.
Нельзя летать быстрее света потому что прямой запрет теории относительности? И сколько научных статей в разных местах на тему поиска способов это обойти каким то способом? Вспоминаем откуда вообще похоже изначально идея привода Алькубьерре всплыла? И эволюцию этой идеи в сторону возможности создания. Чисто потому что ответ "нет это не возможно" — слишком многих не устраивает.
Но он, тем не менее, правильный. Вот так (как доказали) - невозможно. Как-нибудь по-другому - вполне себе, ищите, пользуйтесь, не запрещали.
Просто это разные невозможности. Есть невозможность техническая, которая может быть преодолена по мере развития технологий. А есть невозможность теоретическая, когда в рамках заданной аксиоматики строго доказывается принципиальная невозможность получения результата. В первом случае могут быть найдены новые средства для решения практической задачи. Во втором как ни изворачивайся, а обойти законы природы не получится (например, вечный двигатель, генерирующий энергию ниоткуда).
Разумеется, при этом остаётся возможность, что в другой аксиоматике задача получает решение. Но тут вылезает разница между математикой и прикладными науками. В физике аксиоматика подбирается так, чтобы максимально соответствовать природным законам и наблюдаемым явлениям, и поэтому не может быть произвольной. В математике же изучаются чистые абстракции, там свободы гораздо больше, но никто не гарантирует практическую применимость результатов, полученных в рамках бредовой аксиоматики.
Во втором как ни изворачивайся, а обойти законы природы не получится (например, вечный двигатель, генерирующий энергию ниоткуда).
Ну как пример — задача ж не обязательно стоит "энергию из ниоткуда"?
Энергия "из окружающей среды" или из чего то, о чем мы даже не знали момент формулировки запрета, для решения практической задачи — тоже подойдет. Ядерный распад и синтез например (да — с освоением синтеза для получения энергии есть проблемы, но что это сделать можно — уже всем понятно). А можно просто скидывать мусор в черную дыру и брать энергию с аккрециионого диска (ну да — с этим "пока" есть огромная куча проблем к которым даже непонятно как подступится. Пока.).
Вот с точки зрения науки XIX века модульные АЭС(которые заправляются топливом один раз а потом утилизируются) это что? А АПЛ пусть даже не с модульным реактором (реактор то надо раз в несколько перезагружать — таких деталей можно сразу и не заметить)? Никто ж не говорил что "вечный двигатель" должен еще и ресурс иметь неограниченный.
Ну и исследования "вечных" двигателей науку тоже немного продвинули.
В математике же изучаются чистые абстракции, там свободы гораздо больше, но никто не гарантирует практическую применимость результатов, полученных в рамках бредовой аксиоматики.
При этом практическая применимость может появится потом. Теория чисел вот очень даже применимой стала.
При более тщательном анализе ситуации может вообще оказаться что и проблемы то нет… уравнение Мальтуса то же, и куча паники что ой будет ужас ужас жрать нечего и вообще. Вот только не учли такую штуку как демографический переход и у большинства стран проблемы скорее обратные а с жрат — проблемы вполне себе решаются если в стране хоть немного думали.
Я и не говорил, что получив ответ "невозможно", надо ложиться в гробик и помирать. Но доказательство невозможности само по себе имеет большую пользу. Получив его, ты точно знаешь, что вот здесь, конкретно на этом ледовом катке рыбы нет и не будет, хоть весь его издырявь лунками. И что больше нет смысла тратить тут время и силы, а надо искать какое-то другое место.
Вот с точки зрения науки XIX века модульные АЭС(которые заправляются топливом один раз а потом утилизируются) это что?
Это электростанция на неизвестном физическом принципе.
Есть вещи, невозможные принципиально, например, вечный двигатель. Любые попытки его создать обречены на провал.
Я не знаю кто и как доказывал невозможность выяснения химического состава звезд, можно статью на эту тему?
Невозможно - вполне нормальный ответ. Но его нужно доказать. И вот доказать то может быть очень не просто. Для начала нужно дать определение, что значит невозможно. Одно это уже совсем не тривиально
Лейбниц, Готфрид Вильгельм (1646—1716)
Эйлер, Леонард (1707—1783)
Как человек лично знавший обоих,
Да вы, батенька, хорошо сохранились, я смотрю…
А вдруг вампиры все же существуют.
Четко указано "Как человек лично знавший обоих". Значит все таки человек, возможно речь идет об общении с нейросеткой надевшей личину математиков.
Он мог знать их ещё будучи человеком, а вампиром уже стать позже.
А где сказано что вампир не может считать себя человеком?
Ну и вариант с нейросетью вполне возможен. И… ведь для этого совсем не обязательно сканирование мозга.
Да, вспоминается как раз серия https://author.today/work/series/10057 рассказов про мир где загрузку со сканированием мозга не освоили — слишком мол сложно но… нашли более простой путь, а то, что из-за этого вопросы "а это — тот же самый человек" возникают даже у самих же загруженных… ну так и что
Но предложение отправить Канта в Соловки не только не поразило иностранца, но даже привело в восторг. — Именно, именно, — закричал он, и левый зеленый глаз его, обращенный к Берлиозу, засверкал, — ему там самое место! Ведь говорил я ему тогда за завтраком: «Вы, профессор, воля ваша, что‑то нескладное придумали! Оно, может, и умно, но больно непонятно. Над вами потешаться будут».
Как раз в последнее время всякая чертовщина творится...
Поэтому он сделал из своих выкладок сугубо теологический вывод: мир — это единица, ноль — это ничто. Получилось ещё одно доказательство того, что мир создан из ничего.
Никак не могу построить логичную связь между "миром" и "1". Ну вот есть у нас 1 и 0, почему мир это 1, а не 2… или 3… Может он 5? Почему мир впихиваем в рамки задачи? Только потому что мы эту задачу придумали?
Ну нормировка же. Как в теории вероятностей принято нормировать всё пространство на 1, так и Гранди просто отнормировал всю вселенную на 1.
В других вселенных нашей мультивселенной будет 2 и 3 и 5.
не могу построить логичную связь
так он философ и богослов
почему мир это 1
Вселенная умеет только ноль, единицу и бесконечность. Вот вселенная одна (1), другой у нас нет (0). А всего, чего в ней два, на длинной дистанции вполне может стать три (см. хомяки), а на бесконечном отрезке (времени и пространства) - бесконечно много.
Каком бесконечном отрезке времени? Начало вселенной : 0. Конец вселенной: 1. Всё время можно (и логично) задать как (0,1).
Причём, я бы даже сказал (0;1]
Конец вселенной? А как это?))
Как-то так, наверное.
Даже не обязательно бесконечный отрезок - если вы что-то разделяете на два, у вас должна быть ещё третья сущность, связывающая первое и второе. Она всегда подразумевается. Видящий - видимое - видение. Наблюдатель - наблюдаемое - наблюдение и т.д.. Заряд - антизаряд - способность иметь заряд или антизаряд
А я вот думаю по поводу того, как потомки будут владеть камнем.
Предположим, что у одного брата 10 детей, а у второго - только 2. Как тогда делить время владения? Например, семья каждого брата владеет одинаковое время, а затем внутри себя опять делит время поровну. Или все дети братьев одинаковое время владеют камнем?
И как быть с женами (или вдовами) братьев? Они тоже будут иметь долю времени во владении или нужны только потомки?
Если жены тоже могут владеть, то не получиться ли что один из родственников женится на нескольких женщинах чтобы увеличить время владения для своей семьи.
И могут ли владеть усыновленные дети или только родные? И не получится ли так, что кто-то специально усыновит много детей.
И как будет определяться очередность владения, поскольку через несколько поколений очередной потомок может просто не дожить до своей очереди.
Можно ли будет сдавать камень в аренду другому родственнику? В этом случае мы получаем внутрисемейную валюту, которая сильно меняет правила игры.
О общем, рай для математиков и ад для юристов :)
Да пофиг. Владеть драгоценностью, которую никогда нельзя продать это всё равно, что не владеть драгоценностью.
Продать нельзя, но можно взять кредит под залог. Или музей организовать
Ну почему. Заменим драгоценность на компьютерную игру, например, и вполне себе это уже ресурс текущего пользователя. На камень можно друзей позвать посмотреть, можно с ним пафосно ходить. У него нет ценности обмена, нет ликвидности, но сам по себе он не обязательно лишён смысла, просто для нашей культуры труднее осознать его самоценность
Ад для юристов будет, когда под "пользоваться" начнут брать на него кредиты и прочий "под залог". ;)
Вот там сразу 1/2 и вылезет. Хотя да, интересно, может ли один из братьев "свой год" уступить третьему лицу (банку)? А если оба уступят разным лицам? Прям юридический фильм ужасов "Проклятие камня Гранди"!
Почему ад? Рай же, как раз! А потом можно ещё посчитать за сколько просроченный кредит продать коллекторам...
невозможно вычислить
Похоже в современном мире немногие математики обладают сакральным знанием, что в случае не абсолютной сходимости, сумма ряда - любое наперед заданное число.
Это только если разрешено менять слагаемые местами
Не абсолютной, но всё же сходимости. Обсуждаемый ряд расходится.
А вот и ничего подобного.
В определённых смыслах можно "найти сумму" (точнее сказать - сопоставить число), но это не делает ряд сходящимся. А раз он не сходится - то расходится.
Полез проверять. Фихтенгольц, том 2, глава XV параграф 1:
Если ряд имеет конечную сумму, то его называют сходящимся.
Но этот ряд не имеет суммы вообще - ни конечной, ни бесконечной. Т.е. это ряд в частности не имеет конечной суммы и, следовательно, расходится.
Имеет. Фишка в том, что вы можете сформулировать утверждение вида: "Сумма этого ряда равна (число)" и доказать его, предъявив конкретную схему суммирования.
Ряд не имел бы суммы только в одном случае - сама бы операция сложения не может быть определена.
Ну при таком определении тогда вообще расходящихся рядов не существует! Я к каждому ряду могу предъявить конечное число по той или иной схеме.
Например, нарекаем "суммой ряда" - единицу! Всегда.
Вопрос не в том, что вы так "нарекли", вопрос в том, что можете ли привести доказательство.
IMO, здесь вопрос не в доказательстве. Можно, действительно, определить, что для расходящегося ряда сумма всегда равна 1 (by definition) и ничего страшного не случится. Но будет ли такое определение полезным? Очевидно, что нет.
От любого вменяемого способа суммирования ожидается, что он будет себя вести "хорошо". Например, Sum( {a + b} ) = Sum( {a} ) + Sum( {b} ). То есть суммирование должно "уважать" естественные операции типа сложения, масштабирования, умножения. Неплохо было бы, что определение было "естественным", то есть будучи применённым к сходящемуся ряду, дало бы ту же сумму. Было бы классно, если бы определение вело себя консистентно с ТФКП, то есть при разложении в ряд и предельном переходе давало бы тот же результат. И так далее...
Вот тогда уже можно сказать, что есть способ суммирования, который даёт определённый результат. Или, что при любом способе суммирования с заданными свойствами будет получаться нужный результат
так и вы не сможете привести доказательство того, что сумма этого ряда равна какому-либо числу. напоминаю, что сумма ряда равна Х тогда и только тогда когда для любого e > 0 существует N' = N(e) такое, что все частичные суммы после N' отстоят от Х не более чем на e (определение суммы ряда, можете заглянуть в Фихтенгольца и убедиться)).
Так что вам для доказательства надо указать Х и доказать существование описанной ф-и N(e). оптимально - в явном виде ее построить, но пойдет и просто доказательства существования.
И у вас это доказать не выйдет. А вот у меня вполне выйдет доказать, что такой ф-и не существует ни для какого Х)
Ноу проблем. Докажем что ряд сходится к 0: (-1+1) + (-1+1) + (-1+1) ... , каждое выражение в скобках равно 0, а вместе с ней и сумма ряда.
Вот только это доказательство не удовлетворяет определению. Требуется, чтобы условие выполнялось для всех частичных сумм, а не только для специально построенных и отобранных.
Я сделал тождественную замену.
Это не тождественная замена. И для любой замены определения требуется сначала привести доказательство равнозначности нового определения, прежде чем им можно будет пользоваться вместо.
Мы, математики, народ недоверчивый. Докажете, что замена была тождественной, т.е. что группировка слагаемых не меняет значение предела в смысле определения выше?
То, что вы просите - доказать инвариантность суммы ряда относительно этой операции. Я же начал ветку со ссылкой на теорему, что это не так.
А операция тождественна в силу аксиом операции сложения в их классическом виде.
То, что вы просите - доказать инвариантность суммы ряда относительно этой операции. Я же начал ветку со ссылкой на теорему, что это не так.
Так, получается, вы начали с того, что ваше преобразование тождественным не является, но при этом утверждаете, что оно тождественное? Это как?
А операция тождественна в силу аксиом операции сложения в их классическом виде.
Я не знаю, как работает операция сложения для бесконечного множества слагаемых, и какие у нее свойства. В "классическом виде" она совершенно точно ни как не работает, потому что просто не определена.
так что вам все еще нужно:
определить операцию сложения так, чтобы она работала для бесконечного числа слагаемых и была согласована с "классическим" сложением
показать, что она ассоциативна, т.е. результат сложения независим от способа группировки
но со вторым пунктом, как вы сами заметили, у вас проблемы - он ложен и вы его не докажете. потому и доказать утверждение "Сумма этого ряда равна (число)" вы не можете.
Сложение допускает перестановку слагаемых, и это не зависит от того, конечная сумма или бесконечная. То есть, да, вы можете суммировать в любом порядке. Проблема не в перестановках и не в группировках, а в том, что вы незаметно подменили определение суммы ряда. В исходном определении требуется, чтобы последовательность частичных сумм сходилась. Эта последовательность выглядит как 1, 0, 1, 0, … Вы же, сгруппировав слагаемые и рассмотрев только суммы этих групп, по сути заменили полную последовательность на одну из подпоследовательностей. В данном случае состоящую только из нулей. Но сходимость подпоследовательности не является достаточным условием сходимости всего ряда. Вы лишь доказали, что ряд 0+0+0+… сходится к нулю. Замечательно, только к исходной задаче не имеет ни малейшего отношения.
Эквивалентным определением сходимости ряда является схождение всех его подпоследовательностей к одному и тому же числу. То есть, если вы переходите к группировке, то обязаны рассмотреть и все остальные вариации группировок. И никакая смена порядка суммирования не может превратить расходящийся ряд в сходящийся.
И никакая смена порядка суммирования не может превратить расходящийся ряд в сходящийся.
Это не так. Если ряд сходится но не абсолютно (то есть ряд их модулей расходится), то перестановками можно получить:
ряд сходящийся к абсолютно любому наперёд заданному числу
ряд расходящийся к + бесконечности
ряд расходящийся к - бесконечности
ряд расходящийся - нет предела частичных сумм
То есть наоборот тоже можно. Берём расходящийся ряд, полученный перестановкой из сходящегося и переставляем назад
Виноват; действительно, ошибся. Забыл уже об этом свойстве, давно в матане не ковырялся. Но всё-таки пусть некоторые расходящиеся, полученные перестановкой, и можно превратить обратно в сходящиеся, но всё же это не охватывает всё множество расходящихся рядов, нес па? В частности, сабжевый ряд вряд ли можно заставить перестановками сходиться к какому-то числу, всегда будут дискретные прыжки на ±1, и их никак не уменьшить до эпсилона. Разве что к плюс или минус бесконечности можно привести.
Сложение допускает перестановку слагаемых, и это не зависит от того, конечная сумма или бесконечная.
Вот вы осторожнее будьте, что такое "бесконечная сумма"?
Есть определение суммы как бинарной операции, далее это определение естественным образом распространяется на любое конечное число слагаемых. А вот на бесконечное число слагаемых - уже нет, так что прежде чем говорить о бесконечных суммах - надо определиться сначала, что это вообще такое.
А дальше уже можно исследовать свойства данной операции. И в частности, если вы определите бесконечную сумму через предел частичных сумм - то окажется, что "обычные" свойства сложения выполняются только для абсолютно сходящихся рядов, как уже верно заметили ниже.
https://ru.wikipedia.org/wiki/Теорема_Римана_об_условно_сходящихся_рядах
Я утверждаю, что вы не можете привести такую перестановку(биекцию) 
, что 
, и, более того, могу это доказать. Вам же достаточно привести одну такую функцию S, чтобы опровергнуть меня
Я не математик, не судите строго.
Насколько я понял, дело в коммутативности операции суммирования («от перестановки слагаемых…»). Существуют ли в математике некоммутативные аналоги суммирования, упорядочивающие слагаемые единственным способом, после чего ответ появляется?
UPD. Сейчас почитал, может быть, это не коммутативность, а ассоциативность. Но суть моего вопроса это не меняет.
Чтобы ответ появился придумали понятия сходимости, отличные от классического. Сходимость по Чезаро, например.
"Попробуйте провести аналогичный опрос про сумму знакопеременного ряда среди ваших знакомых, далёких от математики"
Я думаю меня пошлют нафиг когда я скажу, что ряд БЕСКОНЕЧЕН. Бесконечности плохо вписываются в нематематическое сознание. И жизненный ответ - ну либо ноль либо один - смотря сколько членов ряда возьмем выглядит неметематически очевидным.
Можно подумать в математическое сознание бесконечность хорошо вписывается. Математики просто представляют себе бесконечность неким конечным абстрактом, с которым можно работать. А впихать в конечное сознание бесконечно даже математик не сможет )
Помнится, Шива ещё тролил бесконечностью Вишну вместе с Брахмой. Те спорили, кто из них круче, а Шива прикинулся бесконечным столбом света и предложил данным всемогущим богам долететь до конца этого луча, дабы выяснить степень их крутизны. Они полетели в разные стороны, всё ускоряясь и ускоряясь на все свои сверх возможности, но в конечном счёте им пришлось сдаться и оба пали ниц перед Шивой - олицетворением бесконечности. Каким бы всемогущим не было существо - оно пыль перед бесконечностью)
Вот дураки, по тангенсу, по тангенсу надо было ускоряться! Пролетели бы весь столб туда обратно ... ка-пи раз!
:-D это конечно круто, но опишите, пожалуйста, поэтапно, как ускоряться по тангенсу? Боюсь, что конечные существа могут ускоряться по тангенсу в лучшем случае, как Архимед, догоняющий черепаху. Потому что где-то в этом процессе у вас обязательно должно быть этап - вот мы сейчас двигаемся со скоростью Х, а через мгновение - бесконечность. Однако сами понимаете, что такие кульбиты выглядят, как волшебство)
И всё это происходит во сне Брахмы?
Конечно правильный ответ на задачу это ноль!
Что толку от камня, который продать не можешь, а через год вообще надо отдать и ждать пока вернут... и при этом потом все равно продать не сможешь? Ценность такого камня для братьев изначально равно нулю!
Хотя если бы они не поступили по воле отца, взяли бы камень, продали, а деньги поделили пополам, то ответ был бы 1/2!
😁
Сегодня на вопрос, сформулированный Гвидо Гранди
Забавно, я прочитал вступление, а нигде эту задачу так и не сформулировали в явном виде, весь текст вода :)
Я заметил, что многие математические статьи пишут так, как будто читатель абсолютно в курсе происходящего. Видимо, после прочтения про братьев, я должен был воскликнуть: «Аааа, так это же задача о сходимости рядов!»
Действительно - это же элементарно! У нас дворник-таджик и то о сходимости рядов по телефону балакает на своём, пока метёт (серьёзно - учится где-то заочно, когда услышал слега прифигел).
Прямо-таки старинная ирландская сказка "Учёные Мангрета".
+ ещё и в явном виде нигде не сказано про правильный ответ на задачу. Перечислено несколько вариантов с пометкой «это все неправильно»
>вообще затруднились ответить. Правильный ответ («невозможно вычислить») дали только 6% опрошенных.
При этои данный ответ является неправильным
С чего неправильным?
Выше и ниже несколько раз объяснили, что ответ зависит от определения понятия "вычислить". В лоб никакой бесконечный ряд вычислить невозможно, надеюсь, это очевидно? Поэтому возможность и результат вычисления данного конкретного ряда прямо зависит от опредения понятия "сумма бесконечного ряда"
Зато у некоторых рядов можно вычислить к чему сумма сходится
Нельзя вычислить. Можно доказать. Есть небольшая разница.
вот прямо в сообщении, на которое Вы отвечаете:
возможность и результат вычисления данного конкретного ряда прямо зависит от опредения понятия "сумма бесконечного ряда"
Так я же написал не вычислить точную сумму, а к какому числу сходится
Так а к какому числу сходится — вычислить, или это знание, даваемое нам свыше?
Ну вообще говоря да. То что (x+2)/(x+100500) -> 1 - это именно квалифицированная "догадка", а не вычисление.
Вычисление - это последовательность арифметических (в широком смысле) действий которые из исходных данных дают нам сразу ответ.
Хотя да - многие пределы именно вычисляются исходя из известных значений элементарных пределов и свойств пределов. Но это частные случаи. В общем случае - приходится именно что искать значение предела, используя эмпирические правила, аналогии, наитие и матчутьё.
Схождение это пусть и постепенное, но приближение. А знакопеременный ряд это не приближение, а кружение вокруг одной точки. Можно ещё сделать по-другому: выбрать точку, и шагать чётко в сторону от неё. А можно для всех трёх случаев эту особую точку как-то обозначить. И тогда это не будет "сходимостью", но в каком-то смысле "результатом" ряда. Хотя бы просто особым значением для описания ряда не через элементы. Ошибся не Эйлер или Лейбниц, ошибаются вот такие авторы-снобы, которые выдают "сейчас мы говорим так, а тогда не знали как говорить", за "тогда были совершены ошибки и сейчас они повторяются школьниками". Ну, или это тупой юмор такой, кликбейт.
Я неделю назад опубликовал на хабре статью со схожей темой. Тоже, кликбейтный заголовок "Большое расследование", а под ним художественный рассказ про то как детектив силился расследовать невозможное дело, фоном проводилась аналогия как подсчитать сумму 1+2+3+..., которая расходится, но при некоторых условностях всё же имеет значение. Неизвестно зачем и почему. Финала нет, только призыв думать своими мозгами.
Так вот, тема схожая, но я там не говорил что "Эйлер ошибался", за такие слова надо лупить канделябром, а на пластыре писать "школьник".
А если посмотреть со стороны сложения множеств единиц и минус-единиц? Характеристики множеств по идее должны быть тождественны, отличаются только знаком, => (интуитивно) они друг друга поглотят и в итоге дадут 0. ?
Представьте функцию g(x,y) которая единица если координаты лежат на оси, иначе ноль. Вы можете отождествить её с y=f(x)=0, и для одной оси это будет верно, а другая ось в этом представлении - всего лишь одно значение x, можно не учитывать. Тем более, если вместо x использовать z=1/x, то этот вариант будет где-то совсем далеко. В общем, если z не бесконечность, то совпадение полное.
Однако, в вашем случае количество бесконечное, и значит, надо проявлять внимание, вдруг кто-то натянул сову на глобус, и все отличия совы от глобуса спрятал в бесконечность.
А "интуитивно" надо чувствовать, что подвох наиболее вероятен и надо разбираться детальней.
Ответ: некорректная постановка задачи. У вариативной бесконечности не может быть однозначного ответа (1 значение), который просят в условии задачи. Требование к результату противоречит условию задачи. Или же правильный ответ - это "диапазон целочисленных значений от 0 до 1".
Там ещё должен был быть ответ, что ученика заело и он стал танцевать тикток 😭
Меняем выражение на ((1+1+1+...) - (1+1+1+...)) и получаем выражение (∞ - ∞). Т.к эти бесконечности полностью идентичны, то можно смело сказать, что они аннигилируют друг друга и дают 0.
Эм, а с чего вы взяли что у множеств +1 и -1 одинаковая мощность? Бесконечность может быть в одном случае четной, в другом-нечетной, тогда мы получим 1 или даже -1
Пилите статью в научном журнале про чётные и нечётные бесконечности - вас оценят!
А с чего вы взяли что у этих множеств разная мощность? Если дополнительных условий нет, то не вижу никаких причин считать эти бесконечности разными. Если бы речь шла о вычитании абстрактных бесконечностей, которые логически друг с другом не связаны, то это неопределенность, но здесь другой случай.
О, да это же я сегодня с утра (∞ - ∞)
∞ - ∞
то можно смело сказать, что они аннигилируют друг друга и дают 0.
Мне за такое на уроках мат.анализа учитель по рукам интегралом давал. (так как сразу не видел в этом неопределенности) (когда изучали и это была одна из 7 неопределнностей)
А зачем это все? Какая практическая ценность? Вот дали вам задание раздать миллиард на полезное дело. Вы дадите математикам решать такие задачи или лучше медикам на новые лекарства? Задача про камни изначально бредовая. Смысл во владении камнем? Он приносит удачу или дает дополнительную силу? Если я не могу продать, то отдам брату навсегда этот хлам.
Миллионы задач решают математики без практической ценности. Ну хватит. Тренируйте мозг на полезных задачах. Даже придумать такую задачу это хорошая задачка.
От математики очень большая практическая ценность. Я бы даже сказал, математика - одна из самых практичных наук. Вы только подумайте: она дает алгоритмы решения задач!
Раньше вы не могли решить какую-то постоянно возникающую задачу. Затем бац! Математик подумал и у вас теперь есть алгоритм! Вы теперь знаете, как, пусть и с большим трудом, её решить.
Нет, если вы дворник ... хотя по стойте, даже если вы дворник - как быстрее всего замостить заданную площадь взмахами метлы с наименьшим перекрытием? - тоже математическая задача!
"Скажите пожалуйста, где мы находимся?"
"В кабине воздушного шара"
"Ватсон, это был математик"
А зачем это все?
Не зачем, а почему. Потому, что "это все" существует. Преобразование Лоренца "полезно", как вы думаете? А было ли оно полезно до того, как Эйнштейн сформулировал ТО?
Какая практическая ценность?
Если рассматривать "ценность" с точки зрения "копать с утра и до забора", то никакой. И ещё, - сослать бы этого Канта на Соловки. Ах, да и это, - пишут, пишут… Конгресс, немцы какие-то… Голова пухнет. Взять все, да и поделить…
Тренируйте мозг на полезных задачах. Даже придумать такую задачу это хорошая задачка.
Тренируйте, кто ж вам не даёт? "Камаринского" на балалайке, опять же, сыграть можно. Полезная задача...
Про практическую ценность, проводя аналогию: в саду растёт яблоня, а вы обожаете яблоки. Но места в саду очень мало, так что решаете убрать всё лишнее, всё что не даёт вожделенные яблоки - какие-то грязные крючковатые корни, дурацкие листья, кору с веток и тд.
Варианты с 1 и 0 выглядят хотя бы частично логичными, хотя как по мне, то вариант с 0 куда логичнее. Но откуда там вылезает 1/2 - загадка! По логике самого же Гранди, если кодировать 1 как владение первым братом, а -1 - вторым, то вполне очевидно, что по сути камнем не владеет никто, то есть, ответом должен быть 0.
А если немного изменим условие на то, что они могут его продать? Тогда получится 1/2. Т.к. вырученную сумму можно поделить пополам. 1/2 выглядит вполне логичным если допустить что само владение камнем даёт некую ценность. Напоминает задачу где приговоренному пожизненно заключенному начальник тюрьмы подарил полсрока на свободе. И решением там является то, что человек 1 день сидел, 1 день был на воле. И тут снова парадокс - он либо отсидит на 1 день меньше чем половина пожизненного, либо на 1 день больше. Средне как раз 1/2
Тогда ряд построен Гранди некорректно, откуда взялось это противопоставление первого и второго в виде положительного и отрицательного? В такой трактовке в виде ценности оно звучит так, словно один из братьев сначала получает выгоду от использования камня, а потом теряет столько же от его использования другим братом, так что в итоге итоговая выгода равна 0. Для получения 1/2 нужно рассматривать братьев отдельно друг от друга, тогда для каждого ряд будет выглядеть как 1, 0, 1, 0, 1..., то есть, средняя выгода составит как раз 1/2
Неожиданный вывод - оказывается современные люди не особо умнее математиков прошлого!!! Кто-бы мог подумать!
Многие понятия, которые сейчас нам кажутся примитивными и очевидными, оказывается это результат столетий развития науки. Даже что-то вроде совсем примитивное, вроде позиционной системы счисления с нулем - попробуй дойди до такого своим умом, без помощи учителей..
Неожиданный вывод - оказывается современные люди не особо умнее математиков прошлого!!! Кто-бы мог подумать!
Небольшие уточнения: Оказывается, среднестатистический современный человек не особо умнее великих математиков прошлого! Кто бы мог подумать?!
На самом деле, у сегодняшнего среднестатистического человека есть огромное преимущество в сравнении со среднестатистическим человеком прошлого (от начала 20-го века и ранее), у него есть масса свободного времени, неплохое образование, и легкий доступ практически к любой научной информации. Во времена какого-либо Эйлера это было совсем не массовым явлением, большинство людей было вынуждено много работать что-бы просто не голодать, а образование в лучшем случае ограничивалось примитивной грамотой - чтение и счёт, что-бы заниматься наукой, тогда надо было быть довольно обеспеченным человеком.
А почему нельзя хотя бы сказать, что сумма этого ряда S >= 0 и S <= 1? Мы тогда хотя бы сможем сравнивать с другими подобными рядами!
Мне в этом контексте больше нравится такое:
Ага
1/0 = 1+2+4
2/0 = 2+4+8
2/0-1/0 = -1
Вот поэтому на ноль делить и нельзя.
Может ещё и корень из отрицательного числа брать нельзя?
Вы не понимаете! Это другое!
(причём серьёзно - другое)
Ну прям другое. Деление как решение уравнения a*x=b даёт либо пустое множество решений, либо множество из одного решения, либо множество из бесконечного числа решений. Взятие корня же, как решение уравнения x*x=a же даёт либо множество из двух решений, либо из одного.
Другое потому что введение i=sqrt(-1) не даёт противоречивых последствий и позволяет ввести комплексные числа, которыми можно оперировать почти также как и обычными.
А введение s =1/0 - не даёт нам вообще ничего кроме противоречий.
Нет там противоречий, s - пустое множество значений, i - множество из двух значений.
а чем "деление на 0 дает пустое множество значений" эффективно отличается от "делить на 0 нельзя"?
0/0 даёт далеко не пустое множество.
так это зеркальная ситуация, разницы нет, 0a = 0b => a = 0b/0 => существует число которое при умножении на b даст a. но мы это и так знаем.
и сравнение с многозначными аналитическими функциями ниже у вас некорректно, потому что мы можем двигаться вокруг особых точек и вдоль траектории ф-я будет однозначной
, i - множество из двух значений
????
i - это не множество, а вполне конкретное единственное уникальное фиктивное число. Ну если вы конечно не придумали свою собственную математику и с нами не поделились.
"i" - это конкретный корень из "-1". Не два, а один конкретный, второй корень "-i"
А по этому определению, это именно множество из двух корней.
Пожалуйста, возьмите любой учебник по комплексному анализу, прочитайте определение и не позорьтесь.
Ваше утверждение ложно, т.к. функция sqrt - возвращает только одно из двух решений уравнения, а второе получают из первого с помощью унарного минуса.
Ребята, может хватит умничать? По ссылкам выше всё написано.
Вот и не умничай. Там не написано ничего, подтверждающего, что
это именно множество из двух корней.
Я долго пытался пройти мимо, но тут не смог.
Не сочтите за грубость, но вы сами читали текст на скриншоте, который приводите? Как справедливо заметили выше функция f(x)=sqrt(x) возвращает одно значение. Иначе это была бы не функция, по крайней мере в классическом понимании.
Достаточно вспомнить график
Ну ей-богу, у вас ведь на скриншоте написано "Если требуется учесть двузначность корня, перед радикалом ставится знак плюс-минус". То есть мы извлекаем арифметический корень, а второй, при надобности, получаем, поменяв знак у результата на "-".
Если вам кажется, что в выражении sqrt(-1) = i под i скрывается множество из двух значений, то как по вашему, в выражении sqrt(9) = 3 под "3" тоже множество из двух значений подразумевается?
Действительные числа довольно интуитивно продолжаются комплексными. Однако, с делением на ноль совсем другая история. Если разрешить делить на ноль, получившаяся структура окажется до жути неинтуитивной
y=(x-a)/0 - очень даже интуитивное уравнение вертикальной прямой. Слезайте с колёс, они до добра не доведут.
Комплексные числа интуитивны сами по себе, без контекста в виде уравнения прямой. Если ваше деление на ноль имеет смысл только в уравнении прямой, то это не более чем удобная запись. Числами в полной мере это не является
С многозначной функцией проблемы ещё серьёзнее. Эта структура вообще перестаёт быть группой и у неё ломается куча свойств, например, x/y больше не равно x*(1/y), (a+b)/c не равно a/c + b/c
Эка не видаль. Векторное умножение даже не коммутативно.
Кстати, найдите 10 отличий:
Sqrt(-1)^2 = -1
(1/0)^-1 = 0
Вы ведь понимаете, что комплексные числа вводятся не как 
? Формально они определяются (один из способов) как пары 
, которые складываются и вычитаются покомпонентно, а умножение определено как 
Вы можете привести хотя бы одно формальное определение для вашего деления на ноль?
Вы ведь понимаете, что в этих уравнениях фигурируют исключительно вещественные числа, без каких-либо тензоров? А, нет, не понимаете..
Формально 
это всё разные вещи.
Натуральная единица задана аксиомами Пеано
Целая единица это пара из знака и натуральной единицы
Рациональная единица это пара (числитель и знаменатель) из целой единицы и натуральной единицы
Действительная единица это вообще пара
И несмотря на эти отличия, мы спокойно используем различные числа вместе. Каждое множество погружается в следующее с сохранением всех операций.
Если честно, я не понимаю чем погружение действительных чисел в комплексные принципиально отличается
Надо понимать, что математика создает абстрактный виртуальный мир, который зависит от своих аксиом. Он совсем не обязательно должен быть связан с реальным миром.
Давайте, теперь подумаем
Если мы будем сдавать камень в аренду (тем женщинам, которые хотят носить дорогой камень, но не хотят его покупать), то его стоимость для каждого из братьем будет 50% на время им владения, то есть практический ответ будет 1/2. Для большей простоты можно представить, что в наследство достался не камень, а дом/квартиры, которую можно сдавать или где можно жить 50% времени, но нельзя продать. В некоторых случаях, реальный ответ может быть меньше 1/2, но больше 0. Так как сдавать квартиру только на год может быть сложнее, чем на совсем, да и перезжать каждый год в другую квартиру — неудобно.
Если мы рассматриваем камень как ценность, то он равен 0 и даже отрицательный — потому что продать мы его не можем, но хранить должны (и еще и тратить время и силы на передачу каждый год).
Если рассматриваем сумму как у кого камень будет через N лет, то либо 0, либо 1 в зависимости от четности и нечетности. Надо понимать, что в реальной жизни бесконечности по времени нет, даже наша Галактика не бесконечная, камень тоже не вечен, соотвественно говорить о бесконечности с практической точки зрения нет смысла.
То есть с практической стороны, ответы 0, 1, 1/2 и даже некоторые другие (между 0 и 1/2 и даже меньше 0).
С чего это варианты неверные? 1/2 волне верный вариант для многих физическим моделей.
Если у нас напряжение равно то 1 , то 0 , поставь на выходе конденсатор и получишь 1/2.
Либо мы в казино , не знаем какой член ряда нам выпадет. Тогда получаем опять же 1/2
В каких-нибудь дискретных системах это вполне может быть эквивалентно 0 или 1 по своему эффекту.
Со знакочередующимися расходящимся рядом сложнее. Как не крути, там вылезает деление на 0.
Если у нас напряжение равно то 1 , то 0 , поставь на выходе конденсатор и получишь 1/2
Все хорошо, но откуда там 1 и 0, у него же ряд 1 и -1, так что 1/2 там и близко не подходит. Если бы он хотел получить среднее значение выгоды, то не брал бы -1, так что это никакой не парадокс, а неверное построение ряда.
Ну тут же сумма ряда. Прибавили 1 , стало 1, отняли 1 , стало 0 , потом опять 1 , потом 0 и так в каждый момент времени. Сумма =напряжение. Каждый член ряда=изменение напряжения.
И где тут получается 1/2?
Предел среднего значения разве что.
Ну тк. см. начальный пост. На выходе конденсатора будет 1/2. Равно как и любой физический процесс , имеющий на входе то 0 то 1 будет в результате усреднения давать 1/2.
Также если выигрыш в казино равен сумме ряда при неизвестном игроку значении членов, то одна попытка игры к казино в каком-то смысле эквивалентна 50 копейкам.
Откуда 1/2?
Я конечно не математик, поэтому тупо суммирую все положительные единицы ( ∞ ) и все отрицательные ( -∞ ). Складываем. ∞ - ∞ = 0
Инженерный подход рулит!
∞ - ∞ = 0
А почему, собственно, нулю?
Несложно заметить, что, например ∞-78 = ∞. Отсюда ясно видно, что ∞-∞=78.
Отсюда ясно видно, что ∞-∞=78.
Неа. С бесконечностью обратное не работает.
∞ = ∞ так? ∞ /∞ =1 Так?
∞ - ∞ = 0, либо бесконечно малое.
Ну извините, 25 лет прошло с последней пары по матану, на уровне логики получается так.
∞ /∞ =1 Так?
Не так, что я, собственно, и пытался показать своим комментарием. Вы пытаетесь обращаться с бесконечностями, как будто это такие числа, просто очень большие. А это не так. ∞/∞ это неопределённость, как и ∞-∞. Нет результата у этой операции в классическом анализе, как нет результата у операции -78i+"красный". По крайней мере до тех пор, пока мы не переопределим сложение.
Вопрос человеку, не знакомому с рядами в матанализе, о сумме этого ряда, может давать различные результаты, что на примере школьников и получили. Всё дело в том, что без применения определений сходимости и суммы ряда этот вопрос не имеет смысла, так как не определено понятие суммы. Да, мы пытаемся на ходу придумать такое определение ("сумма всех членов при их количестве, стремящемся к бесконечности"), и это именно то, что Эйлер с Лейбницем и пытались сделать. А когда стало понятно, что результат суммирования членов зависит от того, как мы их группируем, и возникло понятие сходимости и запрет на существование суммы расходящегося ряда. Это как с делением на ноль, приходится запрещать, чтобы система была внутренне непротиворечивой. Говорить об "ошибке" Эйлера и Лейбница, так же как и о "ошибке" школьников, не знакомых с матанализом, нельзя. Просто вопрос задан в рамках системы, с которой отвечающие не знакомы.
Лично я не вижу ничего странного, что люди, незнакомые с матаном, не могут дать верный ответ.
Всё равно, что показать людям несуществующий китайский иероглиф, и накидать вариантов, что он значит.
А потом писать: смотрите, только 6% указали верный ответ - "такого иероглифа не существует".
Всё-таки, знания - это не интуитивное, а приобретённое.
Интеграл синуса - косинус. Странный спор
В 2000 году подобный эксперимент провели в итальянском научном лицее города Тревизо. Ряд Гранди показали учащимся в возрасте 16-18 лет. 34% вообще затруднились ответить. Правильный ответ («невозможно вычислить») дали только 6% опрошенных. Зато варианты ответов из 18 века в совокупности имели огромный успех:
«0» — 29%
«0 или 1» — 20%
«½» — 5%
«1» — 4%
Ещё 2% дали немного неожиданный ответ: «бесконечность». Интересно, что рассуждения учащихся во многом совпадали с логикой математиков 18 века.
1) это удивительно! это поражает воображение! оказывается! - до сих пор люди рождаются без знания математики от рождения! кто бы мог подумать! 
2) кто знает - почему, глядя на "а давайте проведем соц.опрос про математическую задачу" - у меня сразу впечатление что проделать это могло прийти в голову только нематематику?
Для тех, кто хорошо знаком с современной математикой, а точнее с математическим анализом, ответ будет очевиден.
...С точки зрения математика всё очевидно.
Бесит этот снобизм математиков. Всё очевидно, поэтому в статье мы об этом не скажем. Правильно Нобель поступил, правильно
Тема суммирований Чезаро/Абеля/Рамануджана не раскрыта...
1 − 2n + 3n − 4n + …
У вас степени уехали 🙃
No problem. Вот одна из простейших идей, как такое можно получить. Идея не глупая, и местами полезная:
f(z) = 1 - z + z^2 - z^3 + ..... + (-1)^n * z^n + ....
По формуле геометрической прогрессии:
f(z) = 1 / (1+z)
f(1) = 1/2
Если формально подставить 1 в исходных ряд, то будет
f(1) = 1 - 1 + 1 - 1 + 1 - 1 + ....
«а в среднем едят голубцы»
Сдаётся мне, Лейбниц и Эйлер всё понимали, просто искали способ максимально осмысленно обобщить сумму ряда на этот случай (чтобы результат был полезен в вычислении чего-то ещё). Как в своё время обобщили извлечение корня на отрицательные числа.
Скорее всего ответ: 38 попугаев... - пока не будет доказано обратно.С практической точки зрения данное выражение с бесконечностью не имеет математической пользы, только философская(и то не факт - скорее как развлечение). То же самое, что гадать на кофейной гуще: какое число появится на дне, если кружку крутить по очереди по часовой и против часовой бесконечное количество раз.
Причём в пользу каждого из вариантов проводились отдельные, вполне убедительные для того времени, доказательства.
Описанный ряд ни на одном этапе не содержит суммирования целого числа с нецелым. Следовательно, его сумма в принципе не может быть равна 0,5 или любому другому нецелому числу. Любая аргументация, которая приводит к такому ответу, априори неверна и лишена смысла.
Ответ будет такие, каким образом люди договорятся. А что дальше? Сделали мы себе проблему и условно решили её. А дальше пора создать ещё мозголомку! Например: мой кот срет каждый день, посерит он завтра?
Спасибо за статью. Судя по бурному обсуждению, заголовок попал в точку.
Осмелюсь обратить внимание, что сегодня мы можем дать ещё один ответ для этой задачи, который, не противореча официальному, в некотором смысле будет ещё одной плоскостью решения.
Дело в том, что это очень похоже на систему в суперпозиции, в которой братья квантово спутаны.
Наблюдая за такой системой с макроуровня, мы будем видеть два осциллирующих камня, а братьев вообще видеть не будем - они для нас, по сути - два места в пространстве.
Но если мы отнимем у них камень, то мы, во-первых, сможем отнять только один (хотя, не замечая с макроуровня самого процесса передачи, мы видели два осцилятора). Во-вторых, безусловно, будем знать, у которого брата его отняли, соответственно (если узнаем о спутанности двух осцилляторов), будем точно знать и состояние второго брата (без камня и в бешенстве :).
Причём, запустить обратно этот процесс мы не сможем: формально мы прервали традицию. Если даже мы вернём камень братьям, то сами мы не являемся их отцом, чтобы они нас послушались. Вероятнее всего, на фоне возникшего риска, камень либо присвоит кто-то один "на хранение", либо его распилят, либо положат в банк. В любом случае, бодрой движухи, которая давала жизнь семейным отношениям, уже не будет.
Подводя итог, решение данной задачи можно дать в терминах процессов: это одна штука обычного процесса, какие происходят повсюду вокруг нас (в организме, в ДВС, в физических столкновениях и химических реакциях). Вот только они подчиняются какой-то своей логике исчисления (довольно сложно в традиционной парадигме без статистики и численного моделирования складывать улиток, которые постоянно рождаются, умирают и уползают из корзинки), но мы определённо можем их исчислять, что гораздо лучше, чем "невозможно вычислить".
Ответ будет 0.
По условию задачи (∞×1)+(∞×-1) =∞-∞=0
Парадокс Гранди. Как современные школьники повторяют ошибку Лейбница и Эйлера