Comments 29
Развив в себе хорошее интуитивное понимание логарифмических выражений, вы будете ощущать себя бесконечно увереннее в работе с уравнениями, включающими в себя логарифмы, и сможете справляться с уровнем сложности, который раньше считали немыслимым. А ещё они будут меньше пугать или отвлекать вас, когда встретятся в каком-то другом контексте.
Но зачем???
Но зачем???
А зачем учить стихи? Или монолог Гамлета? ;)
Надо же чем-то занять школьников, чтобы тихо сидели.
ЗЫ "Это что, я все константы помнить должен?"
Таков путь...
Я подробно опишу, зачем. А то у меня накипело уже. Оторвусь на вас.
На линейной алгебре нам как-то рассказали про собственные векторы и собственные числа линейных операторов. Изначальная мысль тоже была: «но зачем?». Но через некоторое время, когда я получше познакомился с ними, я начал периодически чувствовать линейнооператорность и собственновекторность в жизни.
Когда в бытовой ситуации присутствуют собственные векторы (один-два раз в день), возникает то самое терпкое чувство линейнооператорности и ощущение собственновекторности.
Собственные векторы не ощущаются как, собственно, векторы. Скорее, они ощущаются как особые места на теле линейного оператора. Собственные векторы, соответствующие собственным числам, по модулю большим единицы, ощущаются выпуклостями. Собственным числам, по модулю меньшим единицы, соответствуют ямки. Если же собственное число комплексное, то при мысленном ощупывании линейного оператора соответствующее место вибрирует.
Случай из жизни
Давным-давно, будучи студентом, я видел, как мужики делали фундамент под гараж. Им нужен был прямоугольник. Они воткнули в землю 4 колышка, измерили расстояния между ними, сместили колья, снова измерили, снова сместили… Я смотрел на это и почувствовал странное, необычное чувство собственновекторности — ни бугор, ни ямка, и ни вибрация. Вернувшись домой, я взял ручку и бумажку, и попытался разгадать эту тайну. У меня получился оператор проецирования с собственным числом, равным единице. А метод, которым я получил этот оператор, впоследствии оказался методом главных компонент (я тогда ещё не знал этого метода).
Возвращаясь к вопросу «Зачем?». Дело в том, что математика — это чувственная, эмоциональная область. Когда речь заходит о чувствах и эмоциях, вопрос «зачем» теряет смысл. А зачем мы живём? А зачем нам светит свет от Солнца?
Человек, конечно, может закрыть глаза, заткнуть уши, и повторять «ничего не вижу, ничего не слышу, нет никаких логарифмов, нет никаких собственных чисел», но от этого те же логарифмы не перестают быть, не перестают встречаться ему по 10 раз на дню.
А ещё со стороны выглядит очень глупо, когда человек спотыкается о собственный вектор, соответствующий большому собственному числу, падает, разбивает нос в кровь, поднимается и говорит «ой, что это было?», и идёт дальше, даже не посмотрев, обо что споткнулся. Потом снова спотыкается, снова падает. И так далее.
Помимо чувств и эмоций можно рассмотреть и материальную сторону вопроса — всё это достаточно прибыльно. Я, например, ежемесячно получаю больше полумиллиона рублей «на руки», просто занимаясь несколько часов в день любимой математикой. Прямо сейчас на моём столе лежат листы бумаги, исписанные логарифмами. Не нужно ходить в офис, не нужно даже находиться в определенной стране. Но самое главное — не нужно общаться с людьми, — это самый большой стресс (после двухчасового общения с людьми я обычно беру отгул на день).
На самом деле, только два отличающихся числа n и m удовлетворяют требованию n^m = m^n, это 2^4 = 4^2
Тут ведь говорилось только про целочисленные пары? Вещественных пар бесконечно много. Равенство ведь можно переписать как n^(1/n) = m^(1/m). А функция y = x^(1/x), как известно, сначала возрастает до x=e, потом убывает. Других целых пар, кроме (2, 4), конечно, нет.
Логарифмическая линейка собственно и работает на этих принципах, когда Непер это открыл, то появилась и линейка. В свою очередь она представляет собой справочник, чтобы вот это всё не запоминать.
По моим ощущениям, вот такая возня с числами очень приятно упражняет мозг. По работе много всего делаю в Maple, и... это не то, он всё делает за тебя.
Помню, в молодости примерно так развлекался. Достаточно было запомнить только lg(2) и lg(3), все остальное вычисляется в уме с приемлемой точностью. Например, тот же lg(8) - это lg(2^3) = 3lg(2). А, например, lg(7) = 0.5lg(49), что примерно равно 0.5lg(50) = 0.5lg(100/2) = 0.5(2-lg(2)). Ну и т.д.
Хотя, даже и lg(3) не особо нужен, т.к. lg(3) = lg(81)/4. А lg(81) это примерно lg(80) = lg(8)+1
Логарифмы, конечно, гениальнейшее изобретение!
Такая большая статья и ни одного графика собственно логарифмической функции.
Для меня одно из самых частых применений логарифмов на калькуляторе это логарифм по основанию два для оценки минимального количества разрядов, необходимого для хранения целочисленных значений нужного диапазона либо мантиссы с заданной точностью. Считается на калькуляторе ln2(x) = ln(x) / ln(2) либо ln2(x) = lg(x) / lg(2)
Не удивлюсь если сами калькуляторы и FPU вычисляют десятичные логарифмы также через натуральный логарифм lg(x) = ln(x) / ln(10).
Подозреваю, что калькуляторы все логарифмы, через двоичный логарифм.
Я где-то читал, что целую часть двоичного логарифма мы уже знаем - это значение двоичной экспоненты, а дробная - интерполируется полиномом.
Для вывода (печати) чисел используется, чтобы отбросить лишние ветвления.
Чтобы узнать, сколько цифр потребуется - берётся номер самого старшего значащего бита (который примерно и есть ln2) - что в нынешних процессорах делается одной ассемблерной командой. И дальше переходим к основанию 10 (по сути ещё одна-две команды) - и всё, без единого сравнения знаем, с какой цифры начинать )
У Перельмана в "занимательной алгебре", кажется, приводился пример, что достаточно запомнить 5-6 значений десятичных логарифмов для большинства вычислений
Для меня был открытием простейший способ расчёта десятичного логарифма в уме, спасибо @sepetov
Приближённая формула для вычисления десятичного логарифма числа X без калькулятора и даже без особых умственных усилий:
1. Целая часть - количество цифр в числе X минус один.
2. Дробная часть - первая цифра числа X плюс два.
3. Уточняющее исключение: дробная часть равна первой цифре исходного числа, если она единица или девятка
Примеры:
lg(456) = 2,6
lg(4567) = 3,6
lg(1234) = 3,1
lg(12345) = 4,1
Тогда уж лучше сразу учить метод Ньютона в голове считать.
мы можем прийти к выводу, что так как
, а
, то
Я не могу прийти к этому выводу. Как вы это сделали?
Как вы это сделали?
Аппроксимировали кривую между известными точками 4^2 и 5^2 прямой. В числителе 5-4, в знаменателе 5^2-4^2.
Значит, вам известно две точки. Вы по ним проводите прямую. И какую точку на этой прямой вы находите?
Ту, которая лежит на 1/9 от левого края.
Т.е. sqrt(16 + x) будет примерно 4+(х/9) для х не более 9.
Если я правильно понял.
А что, если под корнем сложение, мы можем извлечь корень из первого слагаемого и просто прибавить второе, поделив его на 9? Откуда это следует?
Откуда это следует?
Из уравнения прямой, которой мы решили аппроксимировать кривую.
Известно, что f(16) = 4, а f(25) = 5. Точка x=17 делит отрезок [16, 25] в отношении 1 к 8. В первом (линейном) приближении точка y = f(x) делит отрезок [4, 5] в отношении 1 к 8, то есть, y = 4 + 1/9
del
Как выработать интуитивное понимание логарифмов