У билайна есть ещё одна интересная опция — подменять скрипты сайта по http своими, нарушая логику загрузки.
Например, есть скрипт с defer. Они подменяют его своим скриптом, который вставляет оригинальный скрипт рядом с параметром n=2 (если мне не изменяет память), но уже без каких-либо атрибутов
Я не могу точно сказать, что это, но вроде как кусок скрипта тулбара для личного кабинета

Не всё так просто. Важно различать notifications api и push api. Notification — фактически показ попапа с веб-страницы, это умеют большое количество браузеров. Push Api — показ нотификаций по событиям от сервера.
Недавно вышла какая-то свежая статья: https://developers.google.com/web/fundamentals/getting-started/codelabs/push-notifications/.
На https://serviceworke.rs есть несколько примеров push-нотификаций, включая серверный код.

Запуск сервис-воркеров происходит при запуске браузера

Не совсем так — сервис-воркер всё же запускается по событиям, на которые подписан (браузер не запускает все подряд сервис-воркеры при запуске). Но для десктопа это отчасти верно: с выключенным браузером пуш-нотификации не получить. На андроиде должно работать получение нотификаций и с выключенным браузером (собственноручно не тестил).

Также поговаривают, что можно сделать то ли расширение, то ли приложение для десктопного хрома, которое будет получать пуш-нотификации при закрытом браузере.
Для десктопного сафари есть своё собственное апи пуш-ноификаций (без сервис-воркеров), но это вряд ли кому-то интересно.
На iOS пуш-нотификаций для сайтов нет (обычных нотификаций, впрочем, тоже). В хроме для iOS в том числе.

Это перевод немного соседней статьи) Добавил и оригинал, и оба перевода, спасибо!

Добавлено

Спасибо! Добавил