В последнее время мы видим немало топиков об образовательной системе окрашенных нейтрально-негативно. Да, можно жаловаться, можно идти против системы, а можно предложить разумные дополнения. Речь пойдет про одну питерскую школу, в которой учат многому, но кроме всего прочего, самому важному — учат учиться. И тут, казалось бы, всё просто, но особенностей достаточно, чтобы можно было про это рассказать.

В процессе учебы мы приобретаем какие-то конкретные знания, они могут нам пригодиться в таком виде, как мы их получили, но вот скорее всего не пригодятся. Можно принять это как аксиому, можно доказывать опытным путем, так или иначе — школа не готовит специалистов, и не должна. Школа расширяет кругозор, формирует конструктивное мышление, дает навыки обработки и усвоения информации.

У русской Википедии есть много отличий от английской в плане содержания статей. В английской они более подробны и зачастую более нейтральны, это можно вполне объяснить количеством участников. Но всё-таки есть одна вещь, которая меня всегда ставила в ступор.

Примерно так выглядят английские статьи по физике:

В классической механике, импульс — это произведение массы и скорости объекта (p = mv). Более точные определения импульса указаны ниже.

(9 класс)

А так русские:

Импульс — аддитивный интеграл движения механической системы; соответствующий закон сохранения связан с фундаментальной симметрией — однородностью пространства.

(3 курс)

И примерно такая же ситуация в большинстве статей о физике и математике. В связи с этим возникает вопрос: с чем связана эта особенность национальной математики?

Здравствуйте, уважаемые люди.

Я хочу предложить вам довольно интересную задачку, я сам наткнулся на неё довольно давно в эхе ру.головоломка, и с тех пор не встречал её ни в личной жизни, ни на просторах рунета. Поиск на хабре также не принёс результата.
Поэтому предлагаю её вашему сообществу в том виде, в котором сам в первый раз её прочёл.

Вспомнилась интересная пространственная задачка с одного собеседования:

Есть 2 проекции фигуры (нет скрытых линий, т.е не шар внутри куба),
надо найти третью проекцию или нарисовать всю фигуру. Удачи.

Давным давно, еще в классе 10-ом (лет 8 назад) я случайно обнаружил довольно нехитрое объяснение того, почему факториал нуля равен единице.

Я рассказывал про это многим учителям, но никого не торкнуло. Поэтому я просто выложу это знание здесь, а то вдруг кому-то пригодится или наведет на определенные мысли. Сразу скажу я не математик, наткнулся на это случайно, когда игрался с числами. Я тогда даже не знал что такое факториал :)

^{Системы рекомендаций:
— Советы от машины
— Холодное начало
— Введение в гибридные системы
— искусственные имунные системы и эффект идиотипов}


Для успешного применения систем рекомендаций критически важно иметь большой объем справочных данных. Но что делать, если нужных данных совсем нет, или не достаточно? Такое состояние называется холодным началом (cold start). Например, на сайте зарегистрировался новый пользователь, и система еще ничего о нем не знает. Или в магазине появился новый товар, который никто никогда не покупал и не оценивал. Или совсем плохо, система только начала свою работу и данных у нее нет вообще. Посмотрим, что можно сделать в таких ситуациях.

Рассказали мне недавно супер-задачу, потребовалось несколько дней чтобы решить.

Есть бесконечно много узников (счётное число), пронумерованных натуральными числами. Каждый узник знает все номера, в том числе свой. Узники умеют бесконечно быстро думать, и у них бесконечно много памяти. Сначала у них есть время на обсуждение алгоритма.
Их выстраивают по порядку, так что первый смотрит в спину второго, второй в спину третьего и т.д. На них одновременно надевают колпаки двух цветов. Каждый узник видит, какие колпаки надеты на узниках с большими номерами (первый видит все колпаки, кроме своего, второй — все, кроме своего и первого и т.д.). Никакой информацией они уже не обмениваются. Дальше каждый из них должен одновременно со всеми сказать, какой на нём колпак. Кто не угадает — того расстреливают. Как сделать так, чтобы лишь конечное число узников расстреляли?

PS Не хватает кармы, чтобы переместить в блог «Занимательные задачки». Спасибо за карму, перенёс в блог «Занимательные задачки».

UPD Решение в комментах.

Ещё одна задача про узников. На этот раз не такая теоретическая.

Есть 30 узников, пронумерованных от 1 до 30. Каждый знает все номера, в том числе свой. У них есть время на обсуждение алгоритма. Дальше их по одному заводят в комнату, где есть 30 пронумерованных коробок. В каждой коробке по одному ключу с номером какого-то узника (номер коробки и номер ключа в ней могут быть различными). Ключи по коробкам распределены совершенно случайно (т.е. все перестановки ключей в коробках равновероятны). Каждый узник по очереди открывает 15 коробок и смотрит, какие в них ключи, причём, открывая очередную коробку, он может сначала посмотреть, какой в ней ключ, а потом решить, какую открывать следующей. Если в одной из этих 15 коробок оказался ключ с его номером, то его отпускают, если нет — расстреливают. Комната и все коробки в ней после этого приводятся в изначальное состояние, т.е. следующие узники не получают никакой информации о том, что было с предыдущим узником.
Придумайте алгоритм, чтобы с вероятностью не меньше 30% выжили все узники.

PS Можно использовать калькулятор.

UPD Решение в комментах.

Не так давно на Хабре была опубликована статья, обсуждавшая вопрос ЕГЭ по программированию. И там была бурная дискуссия на тему адекватности конкретных тестовых вариантов и возможности использования тестирования для оценки знаний вообще.

В связи с этим я вспомнил похожие дискуссии по поводу тестов по математике и связанную с этим забавную задачку.

Вася и Петя где-то добыли арбуз (считаем арбуз идеальным шаром единичного объёма) и разрезали его на 20 частей — возможно неравных. Таня упросила их дать ей одну часть (по её выбору) и Вася согласился взять себе только 9 частей, а оставшиеся отдать Пете. Каков максимальный объём может гарантировать себе Вася при удачном разрезании?
A) не более 0.8; B) не более 0.9; C) не более 1.0; D) более 1.0

Как несложно догадаться «ответ в стиле ЕГЭ» — B. Но правильный-то математический ответ — вовсе даже D! Соответственно вопросы:
1) Является ли человек давший ответ D на ЕГЭ адекватным?
2) Захотите ли вы с ним работать в одной команде?
3) Можете ле вы предложить изменение формулировки, которое бы сделало правильным ответом B — и разумно ли так менять формулировку?

Исправление. Кажется меня не совсем правильно поняли. Я как раз ни в коем разе не требую чтобы школьник умел дать ответ D. Наоборот — я считаю что в этой задаче правильным вариантом считался только B — а если какой-нибудь любитель «выпендрится» в результате пролетит мимо ВУЗа и пойдёт в дворники — то всем будет только лучше. Точно также как в предыдущем случае я считал неразумным принимать ответ 119бит. Шибко умный специалист без знаний о том, когда и куда их применить — «обезъяна с гранатой»… Лично мне в команде такой не нужен и мне интересно — нужен ли он кому-либо ещё…

Страсть к машинам

Информатика и программирование в частности уже неотделимы от нашей жизни. Это «наш хлеб» и «наше зрелище». Они делают нашу жизнь… Проще? Сложнее? Остановимся на том факте, что они делают нашу жизнь. Информатика влияет на человечество подобно словесности, философии, физике, математике. Решая свои проблемы с её помощью, мы в очередной раз (как в случае со всеми науками, теориями) описываем саму жизнь, её законы.

Я не хочу делать далеко идущие умозаключения, разводить пустую демагогию. Постараюсь просто провести, кажущиеся интересными, некоторые параллели между законами информатики и законами мира, в котором мы и придумали эту информатику.

Во встроенном калькуляторе на Google.com обнаружились проблемы с простейшими математическими вычислениями. Ошибки имеют необъяснимую природу, они действительно странные и проявляются только на очень больших числах. Например, если из 500 000 000 000 002 вычесть 500 000 000 000 001, то результат должен быть 1, но Google показывает ноль.



Опытном путём удалось установить, что проблемы именно с этой операцией у калькулятора начинаются после 333 трлн. То есть на 333 трлн ещё всё нормально, а вот на 334 трлн при вычитании уже показывается неправильный результат.

Есть и другие странности. Например, если чуть подкорерктировать вышеприведённый пример, и из 500 000 000 000 008 вычесть 500 000 000 000 003, то результат правильный: это 5.

Пару-тройку месяцев назад наткнулся на замечательный ресурс Project Euler.

Project Euler представляет собой набор математических задач, которые вам предлагается решить хоть программным методом, хоть на бумаге.

Для участия в проекте надо пройти быструю регистрацию, после чего можно смело штурмовать алгоритмы.

Максимальное количество ходов, которое требуется для сбора кубика Рубика, сокращено до двадцати трёх. Эту математическую задачу решил стенфордский выпускник Томаш Рокицки. Разработанная им стратегия была запущена на вычислительной станции, которая подтвердила правильность расчётов.

Рокицки применил оригинальный подход. Вместо анализа отдельных ходов он взял в расчёт форму кубика и разбил её на набор его состояний. Всего получилось 2 млрд состояний (sets) с 20 млрд элементов в каждом. В этой концепции ходы рассматриваются как пары «связанных состояний» (cosets). Рокицки доказал, что большое количество состояний на самом деле повторяют друг друга и поэтому могут быть проигнорированы. Но даже после оптимизации для расчёта всей модели требуются очень большие вычислительные ресурсы. Предыдущий рекорд (25 ходов) потребовал 1500 часов на машине с процессором и Q6600 (1,6 ГГц) и 8 ГБ оперативной памяти. Сейчас Рокицки позаимствовал 7,8 ядро-лет вычислений на более мощном кластере в известной киностудии Sony Pictures Imageworks (вычисления выполнялись во время простоя на тех же машинах, где просчитывались спецэффекты «Человека-паука 3» и мультика «Лови волну»): всего было проанализировано более 200 тыс. связанных состояний.

Хочу порадовать уважаемое хабрасообщество ещё одной занимательной задачей, она мне показалась достойной внимания просвещённой компании и я ее предлагаю вам, друзья.

Навеяно вот этим постом.
В большинстве своем математика оперирует с понятием актуальной бесконечности, это вся аналитическая геометрия, почти весь математический анализ, алгебра полей характеристики ноль и многое многое другое.
Мы настолько к привыкли к значку ∞, что даже не замечаем как его используем, причем не только в математике, но и в реальной жизни. Приятно считать время непрерывным, но понятие непрерывности задается через предел, который в свою очередь оперирует именно с бесконечностью.
Понятие бесконечности одно из максимально простых. Не верите?
Скажите, что вам проще воспринять — ∞ или число 1307489315878623114365278078516974?
На самом деле реальная бесконечность начинается совсем недалеко. Для примера возьмем чиселко 10¹⁰¹⁰, про которое можно смело утверждать, что это реальная плюс бесконечность. Именно реальная, а не введенная на уровне абстракции.

Несколько лет назад одна моя знакомая с гуманитарным образованием сказала: «Да что у вас в математике, все строго, все открыто, 2+2 всегда равно 4, скукота». К сожалению я еще был школьником и достойно ответить не смог.


Сколько же раз, во время подготовки к экзамену, я ворчал: «Ну Коши, блин, напридумывал тут, ничего не понятно, ему делать что ли нечего было». Разумеется, я понимал, что все это не просто так, но порой, от обилия различных абстрактных теорем мне начинало казаться, что это все придумано только чтобы загрузить студентов.

Людям, использующим математику на практике, понятно, что это не так. Они представляют, зачем может понадобиться то или иное. Но что делать другим? Вот, например, урок в обычной школе:

«Сегодня мы узнаем, что такое синус угла. Синус — это отношение длины противоположного катета к длине гипотенузы… Что, Иванов, у тебя вопрос?… Зачем это нужно? Понимаешь, это основа тригонометрии, которая используется в частности в аналитической геометрии… Иванов! Да ты спишь что ли?»

В это время Иванову снился сон, в котором он был великим математиком давних времен:

Предлагаю желающим решить следующую задачу:

Есть 15 шариков, 2 из них радиоактивны. Есть прибор с лампочкой, в который можно поместить любое количество шариков (хоть все пятнадцать), и который покажет наличие радиации. То есть, если среди положенных в прибор шариков есть хотя бы один радиоактивный — лампочка загорится, если нет — не загорится.
Необходимо найти 2 радиоактивных шарика, используя прибор не более 7 раз.

Привет!

Сегодня на YAC были интересные задачки на анализ данных.

Приведу парочку из них для желающих поразмять мозг. Если вы были на конференции(а хаброидов было не мало) и в курсе решения, то будет разумно не вываливать все, что вы и так уже знаете.

Вольный перевод одного из ответов с mathoverflow. Ответ, в принципе, такой самодостаточный и интересный, что вполне может быть прочитан и без усвоения сути вопроса. Поэтому, если по каким-либо причинам вы застопорились на прочтении вопроса, я вам советую перейти сразу к ответу.

Вопрос

Иногда в жизни бывают ситуации, которые описываются предложениями типа: «я знаю, что ты знаешь, что я знаю… что-то». Представьте себе, что вы испекли вишневый пирог и положили его остывать на подоконнике, а я потом втихаря его съел. Приведем список все более и более сложных предложений, которые все ближе и ближе подводят нас к полному знанию о происходящем. Например,

: «Я знаю, что вы испекли пирог и положили его остывать на подоконник; но вы не знаете, что я знаю». В таком случае, если я съем пирог, то об этом скорее всего никто и не узнает.

: «Я знаю, что вы испекли пирог и положили его остывать на подоконник; вы знаете, что я знаю; но я не знаю, что вы знаете, что я знаю». Если я съем пирог, то это может привести к довольно к щекотливой ситуации для меня.

: «Я знаю, что вы испекли пирог и положили его остывать на подоконник; вы знаете, что я знаю; я знаю, что вы знаете, что я знаю; но вы не знаете, что я знаю. что вы знаете, что я знаю». В таком случае после того как я съем пирог у меня останется надежда вывернуть ситуацию так, что вы не узнаете о моем преступлении.
…

Для маленьких значений , я еще могу вообразить, как при переходе от предложения к действительно меняется суть происходящего. Но я совершенно не могу вообразить, как, скажем, переход от к может повлиять на мою стратегию действий после того, как я съем пирог.

Есть ли какие-либо ситуации в жизни, будь-то реальные или искусственные, где переход от к для больших значений может реально повлиять на стратегию действий? А что насчет ? Как такие ситуации моделируются в математике?