Введение

В предыдущей статье я рассказал о понятиях категории и функтора в контексте категории Hask, состоящей из типов данных и функций языка Haskell. Теперь я хочу рассказать о другом примере категории, построенном из уже известных нам понятий, а так же о весьма важном понятии моноида.

Обозначения

В прошлый раз я хотел обозначить морфизм/функцию буквой f, но она была занята для обозначения функтора/переменной типа f – никакой проблемы с точки зрения языка Haskell в этом нет, но при невнимательном прочтении это может вызвать путаницу, и я использовал для морфизма букву g. Пустяк, но всё же, я считаю, что полезно визуально разделять сущности, имеющие разную природу. Обычные типы я буду называть их обычными именами, а вот переменные типов я буду называть маленькими греческими буквами, причём простые (∗) – буквами из начала алфавита, а параметрические (∗ → ∗) – буквами из конца алфавита (θ не из конца, но она смотрится лучше, чем χ, которая слишком похожа на X). Итак, в терминологии категории Hask:

• Объекты: α, β, γ, δ ∷ ∗
• Функторы: θ, φ, ψ, ω ∷ ∗ → ∗
• Морфизмы: f, g, h ∷ α → β

Ввиду того, что GHC довольно давно поддерживает unicode, эти обозначения ничего не меняют в отношении синтаксиса и носят чисто косметический характер.

Ещё одно замечание, касательно терминологии: как вы уже заметили, то, что я в прошлый раз называл словом “кайнд” (kind), я теперь называю словом “сорт” – это считается общепринятым переводом.

Категория с объектом Hask

Давайте рассмотрим категорию, в которой будет только один объект – сама категория Hask. Что же будет морфизмами в такой категории? Это должны быть какие-то отображения Hask → Hask, и мы уже знаем такой тип отображений – это эндофункторы категории Hask, то есть типы сорта ∗ → ∗, воплощения класса Functor. Теперь нужно продумать как устроены единичный морфизм и композиция в этой категории, так чтобы они удовлетворяли аксиомам.